立体几何垂直证明题常见模型及方法

立体几垂证明题见型及方证明空间线面垂直需注意以下几点：①由已知想性质，由求证想判,即分析法与综合法相结合寻找证题思路。②立体几何论证题的解答中，利用题设条件的性质适当添加辅助(或面）是解题的常用方法之一。③明确何时应用判定定理，何时应用性质定,用定理时要先申明条件再由定理得出相应结论。垂转：线直

线垂

面垂;直○

等（等三角形中的中线错

错错错ABCD1111

中O为面ABCD的中心E为

CC1

，求证：

AOE1（2异面垂直（利用线面垂直来证明，高考中的意图）例1

在正四面体ABCD中，求证BD变式如，在四棱锥

P

中，底面

是矩形,已知PAPD2,PAB

．证明：

ADPB

;

'错111'错111111变式如，在边长为的正方形中点E是AB的点，点是BC的点，eq\o\ac(△,)AED,分沿DEDF折，使,两重合于AA求证

A'

EF

；E

DB

变式如，在三锥

PABC

中，⊿

PAB

是等边三角形，∠=∠º明⊥利用线面例2

ABCD1111

中，O为面ABCD中心E为

CC1

，求证：A面BDE1变式：

ABCD1111

中,，求证：

AC平面11变式：如图：直三棱柱ABC－ABC中=AA，∠ACB为的中点D点上且DE=错。求证：CD⊥平面A;

变式3：如图，在四面体ABCD中,O、分别是BD、BC的点

CACDBD2,

A求证：面BCD;DOBEP,AD∥,ABCDADAB3

C

PAC

PA

DE错

B

例在三棱锥—ABC中底面ABC,面面PBC求：BC面PAC

。方法点拨：此种情形,条件中含有面面垂直。变式，在四锥面PAB底面BCD

求：

BC面AB变式：

B，B，类型：面面垂直的证.(本质上是证明线面垂直）例1如，已知面ACD，DEADDE，为的中点。

平面

ACD

eq\o\ac(△,,)

ACD

为等边三角形，

E）求：AF//平BCE;（2求证：平面面CDE;

AC

F

D例2

如图，在四棱锥中，底面，AB，ACCDPAABBC（1证明CDAE（）证明面ABE；

，是PC中点．PEAD变式1已直四棱柱ABCD—A′B′C′D的底面是菱形,

B60

E分是棱CC与′上的且EC=BC．（求证:平面⊥平面′C′；

举一反三设M表平面，a、b表直线，给出下列四个命:①

aba

②

abM

//

③

aMa

∥

④

a//ba其中正确的命题是(）A①②B①②③。②③④D。①②④。下列命题中正确的是（)若条直线垂直于一个平面内的两条直,这条直线垂直于这个平面若条线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面C。一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线若条直线垂直于一个平面，垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面如图所，在正方形ABCD中EF分是AB、的点现在沿、及把△ADE△CDF和△BEF折起，使、BC三点重合重合后的点记为P。那么，在四面体PDEF中必（)A.DP平面PEFB.⊥面PEFC.PM⊥平面DEFD。PF⊥平面DEF设a是异面直线，下列命题正确的（)A过不在、上的一点一可以作一条直线和a、b都交B过不在a、b上一点一可以作一个平面和、b都垂直C。a一定可以作一个平面与垂D。a定可以作一个平面与b平

第图如果直线lm与面α,,γ足:l=βγ，lα，αm⊥γ，那必有(）αγ且l⊥Bα⊥γ且m∥βmβ且l⊥αβ且α⊥γ。AB是圆的直径是圆周上一点PC垂直于圆所在平若，，则P到AB的离为（）A1B。C.

235(

有三个题：①垂直于同一个平面的两条直线平行；②过平面α的一条斜线l有且仅有一个平面与α垂直；③异面直线a、b不直那么过任一个平面与b都垂直其中正确命题的个数为(）A.0B。1C。2是面直线ab的垂线，平面α、β满足aα，bβ，则下面正确的结论是）Aα与β必相交且交线∥d或m与重αβ相交且交线mdm与不重合C。与β必相交且交线m与定不平行αβ不一定相交。设l、为直线，α为平面，且l⊥α，给出下列命题

．．．1．．．11①若mα，则∥；②若⊥l，m∥α；③若∥α，则ml；④若ml则m⊥α，其中真命题的序号是（)A①②③①④C②③④D①③④。已知直线l⊥平面α，线平面β给出下列四个命:①若α∥β，则l；②若α⊥β，则lm;若l∥m则α⊥;若l，则α∥β其中正确的命题是(

）③④B.①与③二思激

②④

D。①②11。如图所示，ABC是角三角形是边，三个顶点在平面的同,它们在α内的射影分别为′，B′，′，如果eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)′B′′是正三角形，且AA′＝3cmBB′＝5cmCC＝4cm，则eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)′′′的面积是。第11题

第题图第题图所,在直四棱柱D-ABCD中当底面四边形ABCD足条件有ACD（:上你认为正确的一种条件即可,必考虑所有可能的情形）图示棱锥V三条侧棱VBVC之满足条件有VCAB.(注填上你认为正确的一种条件即可）三能提

时，时，如所三棱锥—中,AH侧面VBC且H是△VBC的心是边的高。）求证⊥AB；（若二面角——的小为30,求VC与面所成角的大.第14题15.如图所示，PA矩形所平面、分是、的点

1111111111111（1求证:∥面。(2)求证：⊥.(3)若∠PDA＝45，求证:MN平面.。如图所示，在四棱锥P—中底面是平行四边形，∠BAD＝°AB＝4，＝2侧棱PB15

PD＝

(1)求证：BD⊥平面PAD）若PD与面成60的角试求二面角—BC-A的小。

第15题图第16题知直三棱柱ABC-A中∠ACB=90°∠BAC°=1AA的中点，求证：⊥A．

M是CC如图所示方体—′′′′的棱长为aM是AD的点是BD上一点且D′N∶＝∶与BD于P.）求证⊥面。）求平面与面′DD所的角。（求点C到面D′的离第18题图

=11111=11111第4课线垂习解。A两行中有一条与平面垂直，则另一条也与该平面垂直垂于同一平面的两直线平行。由线面垂直的性质定理可.3.A折⊥，⊥，PE。4.D过a上一点作直线′∥b，则ab确定的平面与直线b平5.A依题,⊥且α则必有α⊥γ为l=∩γ则有lγ⊥γl⊥m，故选A。。D过P作PD⊥于D，连，则CD⊥AB，=AC

AC，AB5∴PD

PC

5

。由定理及性质知三个命题均正确。8.A显α与β不平行。。垂于同一平面的两直线平行，两条平行线中一条与平面垂直，则另一条也与该平面垂直。10B∵∥βlα，∴⊥m。

cm2

设正三角A′B′′的边长为a.∴AC2

=a，=a22+4,又AC2

BC2=

，∴a2．

eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)C

32

cm212直棱柱ABCD—中底面四边形满条件AC（或任何能推导出这个条件的其它条例如ABCD是方形，形等）时，有C⊥D(：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情。点：13⊥VA，VCAB.由⊥，⊥AB知⊥平面。14(1)明：H为△的垂心，∴VC⊥，又AH⊥面VBC∴为线AB在面上射,∴⊥.（2)解由（知⊥AB⊥，∴VC平面在平面上作ED，又AB⊥VC∴⊥面。

22∴⊥CD∴∠为二面角—-C的面角，∴∠°，∵⊥平面,∴在面上的射影为。∴∠为与面所成角，又VCAB⊥∴VC面，∴VCDE∴∠°，故∠ECD=60°，∴VC与所成角为60。15证明：(1）如图所示取中点，连结,EN1则有EN∥AB∥AM，EN＝CD＝AB＝AM故AMNE为行四边.2∴∥AE.∵平PADMN平面，∴MN∥平面PAD.）∵⊥平面ABCD，∴⊥AB.又AD⊥，∴AB⊥平面∴⊥AE，即⊥。又CD，∴⊥.（3PA平面ABCD，∴⊥.又∠PDA°E为PD的中点。∴⊥，即MNPD又MN⊥，∴⊥面。如图（1)证由已知AB，AD２∠BAD＝60°，

第题图解故BD

＝

AB-2ADcos60＝×××

12

＝。又AB

＝2，∴△是直角三角形，∠ADB＝°，即AD⊥BD在△中＝3

，PB15

BD＝12,∴＝2，故得⊥.又PD∩ADD∴BD平面PAD。（2由⊥平面PADBD平。∴平面⊥面ABCD作PE⊥AD于,又PE平PAD，∴⊥平面ABCD∴∠是PD与面ABCD成的角。

第题图解∴∠PDE°，∴＝PD°3作EF⊥BC于F连PF则⊥BF∴∠PFE二面角—BCA的面角。又EF＝＝12，eq\o\ac(△,Rt)中3∠＝3

3。2

111111111111111111111111111111111111111111111121故二面角P——的大小为arctan

AC连结，MC1

36

2

CC1CA1

2∴eq\o\ac(△,Rt)∽eq\o\ac(△,Rt)，∴∠=∠MA，∴∠A+AC=∠MC+∠MA=90.∴M⊥AC，又ABC为直三棱柱，∴⊥BC，CC，∴B⊥平面AC。由三垂线定理知AB⊥M。点1111111A118）明：在正方形中∵△MPD∽△CPB，且MD＝

12

，∴DPPB＝MD∶＝∶又已知DN∶＝∶，由平行截割定理的逆定理得NP∥DD，又DD⊥平面ABCD,∴NP平面ABCD.∵∥DD′∥′，∴NP、CC′在同一平面内，CC′为平面与面CC′D′D成二面角的棱。又由CC′⊥平面，得′，CC⊥CM，∴∠为二面角的平面角.在eq\o\ac(△,Rt)MCD中知1∠＝，为所求二面角的大2由已知棱长为a可得等△面＝,腰′面积S＝离为h,即为三棱锥CDMB的。1Sh，∵三棱锥D′—体为23

设所求距∴h

12

63

a

空间中的计算基础技能篇类型一:点到面的距离方法1：直接法把点在面上的射影查出来，然后在直角三角形中计算例1：在正四面体，边长为a，求点A到面BCD的距离。变式在正四棱锥中，底面ABCD边长为侧棱长为b。求顶点V到底面ABCD的距离.变式2正四棱锥，底面ABCD长为侧棱长为b.求顶点A到底面VCD的距离。方法2：等体积法求距离—--在一个三棱锥中利用体积不变原理，通过转换不同的底和高来达到目的.例2

已知在三棱锥VABC中，VA,VB,VC两两垂直，VA=VB=3，求点V到面ABC的距离。变式：

如图所示的多面体是由底面为

ABCD

的长方体被截面

1

所截而得到的，其中

ABBCBE1

．（1)

BF

的长;(2）求点

C

到平面

1

的距离．

．．．．变式如，在四锥OABCD中底ABCD是四边长为的菱形，

4

OA

面

，

OA2

．求点B到面OCD的距离．

变式3正四面体ABCD，边长为，求它的内切求的半径。类型二：其它种类的距离的计算(点到线,点到点）

例3如棱

OABCD

中ABCD四边长为1的形ABC

4

，

OA面ABCD,OA2

，M为中点,AM和A到直线距离．

举一反三1．正三棱锥P—ABC高侧与底面所成角为，则点到面PBC的距离是A．

B．

C．6D．

62．如图，已知正三棱柱

ABC1

的底面边长为1,高为8，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两到达

1

点的最短路线的长为A．10．20C．30．40二、填空题：3．太阳光照射高为3m的竿,它在水平地面上的射影为1m，同时，照射地面上一圆时，如图所示，其影子的长度AB等于3cm，则该球的积为_________．4．若一个正三棱柱的三视图如图所,则这个正三棱柱的高和底面边长分别_．2主视图三、解答题：

左视图

俯视图

CC5．已知正三棱柱ABC—ABC的棱长和底面边长均为，M底面BC边上的中点N是侧