二次函数基础测试题附答案

二次函数基础测试题附答案一、选择题1.已知二次函数y=QX2+bx+c(a>0)经过点M(-1,2)和点M1，-2),则下列说法错误的是()A.a+c=0B.无论a取何值，此二次函数图象与x轴必有两个交点，且函数图象截x轴所得的线段长度必大于21C.当函数在x<历时，y随x的增大而减小2D.当-1<m<n<0时，m+n<—a【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的图象和性质对各项进行判断即可.【详解】解：•・•函数经过点M(-1,2)和点N(1,-2),；.a-b+c=2,a+b+c=-2,...a+c=0,b=-2,•J正确；/c=-a,b=-2,y=ax2-2x-a,.•.△=4+4a2>0,・•・无论a为何值，函数图象与x轴必有两个交点，.*x.+.*x.+x,=—,

12ax1x2=-1,・・|x1-x2l=2 >2,,B正确；二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴x=1当a>0时，不能判定x<时，y随x的增大而减小;,C错误；.-1<m<n<0,a>0,2•・m+n<0,—>0,a2...m+n<—；a•・D正确，故选：C.【点睛】本题考查了二次函数的问题，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.2.如图，在四边形ABCD中，AD//BC,DC1BC,DC=4cm,BC=6cm,AD=3cm，动点P,Q同时从点B出发，点P以2cm/s的速度沿折线BA—AD—DC运动到点C,点Q以1cm/s的速度沿BC运动到点C,设p,Q同时出发ts时，ABPQ的面积为ycm2，则y与t的函数图象大致是（）O\2.5467 2.546l【答案】B【解析】【分析】分三种情况求出y与t的函数关系式.当0如2.5时：P点由B到A；当2.5<t<4时，即P点在AD上时；当4<t<6时，即P点从D到C时.即可得出正确选项.【详解】解：作AEXBC于E,根据已知可得，AD疔~AB2=42+(6-3)2,解得，AB=5cm.

下面分三种情况讨论下面分三种情况讨论:当0WtW2.5当0WtW2.5时：P点由B到A,丁=-・t・21・-=-t2,y是t的二次函数.最大面积=5cm2;乙 JJ1当2.5<t<4时，即P点在AD上时，>=-tX4=21,y是t的一次函数且最大值=—x4x4=8cm2•；当4<t<6时，即P点从D到C时，y=11-(12—21)=-12+61,y是t的二次函数故符合y与t的函数图象是B.故选：B.【点睛】此题考查了函数在几何图形中的运用.解答本题的关键在于分类讨论求出函数解析式，然后进行判断..二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，且a中0)I中的x与y的部分对应值如表:x…-1013…y…-1353…下列结论错误的是()A.ac<0 B.3是关于x的方程ax2+(b-1)x+c=0的一个根；C.当x>1时，y的值随x值的增大而减小；D.当-1<x<3时，ax2+(b-1)x+c>0.【答案】C【解析】【分析】根据函数中的x与y的部分对应值表，可以求得0、b、c的值然后在根据函数解析式及其图象即可对各个选项做出判断.【详解】解：根据二次函数的x与y的部分对应值可知：当x=-1时，y=一1，即a-b+c=-1,当x=0时，y=3,即c=3,当x=1时，y=5,即a+b+c=5,a—b+c——1联立以上方程：，。—3 ,a+b+c—5a--1解得：a-3,c—3y——x2+3x+3；A、ac——1x3——3<0，故本选项正确；3、方程ax2+(b—1)x+c―0可化为—x2+2x+3—0,将x―3代入得：一32+2x3+3——9+6+3—0,・•・3是关于x的方程ax2+(b—1)x+c―0的一个根，故本选项正确；-- ， 3、 21C、y——x2+3x+3化为顶点式得：y——(x—-)2+—,Va——1<0,则抛物线的开口向下，3 3・.•当x>不时，y的值随x值的增大而减小；当x<弓时，y的值随x值的增大而增大；故本选项错误；D、不等式ax2+(b—1)x+c>0可化为—x2+2x+3>0,令y——x2+2x+3,由二次函数的图象可得：当y>0时，-1<x<3，故本选项正确；故选：C.【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数与不等式的关系，根据表中数据求出二次函数解析式是解题的关键.4.如图，正方形ABCD中，AB=4cm,点E、F同时从C点出发，以1cm/s的速度分别沿CB-BA、CD-DA运动，到点A时停止运动.设运动时间为t(s),AAEF的面积为S(cm2),则S(cm2)与t(s)的函数关系可用图象表示为( )

【解析】试题分析：分类讨论：当。如4时，利用S=S正方形ABCD一S△ADF-S△ABE-S△CEF可得S=-1t2+4t,配成顶点式得S=[(t-4)2+8,此时抛物线的开口向下，顶点坐标为(4,8)；当4VtW8时，直接根据三角形面积公式得到S=£(8-t)2=,(t-8)2,此时抛物线开口向上，顶点坐标为(8,0),于是根据这些特征可对四个选项进行判断.解：当0WtW4时，S=S正方形abcd-S^adf-S^abe-S^CEF1 , 、 / / 、工=4*4--*4*(4-t)--*4*(4-t)--*t*t£—ji1=--t2+4t=(t-4)2+8；当4<t<8时，S=,・(8-t)2='(t-8)2.故选D.考点：动点问题的函数图象..已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：@a+b+c<0；@a-b+c>l；@abc>0；@9a-3b+c<0；®c-a>l.其中所有正确结论的序号是()A.①②【答案】DB.A.①②【答案】DB.①③④C.①②③④D.①②③④⑤【解析】【分析】根据抛物线的开口方向可得出。的符号，再由抛物线与y轴的交点可得出c的值，然后进一步根据对称轴以及抛物线得出当X=1、X=-1、X=-3时的情况进一步综合判断即可.【详解】由图象可知，a<0,c=1,对称轴：x=对称轴：x=2a二-1,・•.b=2a,・•.b=2a,①由图可知：当x=1时，②由图可知：当x=-1时③abc=2a2>0,正确；④由图可知：当x=-3时y<0,，a+b+c<0,F确；y>1,•••a-b+c>1,正确；y<0,；.9a-3b+c<0,正确;^⑤5己=1-己>1,正确；,①②③④⑤正确.故选：D.【点睛】本题主要考查了抛物线的函数图像性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键..小明从如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中，观察得出了下面五条信息:①c>0,②abc<0,③a-b+c>0,④b2>4ac,⑤2a=-2b，其中正确结论是A.①②④【答案】C【解析】A.①②④【答案】C【解析】( ).B.②③④C.③④⑤D.①③⑤【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.【详解】①由抛物线交y轴于负半轴，则c<0,故①错误；②由抛物线的开口方向向上可推出a>0；•・•对称轴在y轴右侧，对称轴为x=-b>0,2a又.・）>0,.•・b<0；由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，.•.c<0,故abc>0,故②错误；③结合图象得出x=-1时，对应y的值在x轴上方，故y>0,即a-b+c>0,故③正确；④由抛物线与x轴有两个交点可以推出b2-4ac>0,故④正确；b1⑤由图象可知：对称轴为x=---=—2a2则2a=-2b,故⑤正确；故正确的有：③④⑤.故选：C【点睛】本题考查了二次函数图象与系数关系，观察图象判断图象开口方向、对称轴所在位置、与x轴交点个数即可得出二次函数系数满足条件.7.如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，有下面四个结论：①abc>0；②a—b+c>0；③2a+3b>0；④c—4b>0，其中正确的结论是（）A.①② B,①②③ C.①③④ D.①②④【答案】D【解析】【分析】八 b根据抛物线开口方向得到a>0，根据对称轴x=--->0得至1」b<0,根据抛物线与y轴2a的交点在x轴下方得到c<0，所以abc>0；x=-1时，由图像可知此时y>0，所以a-b+c>0；由对称轴x=一二二:，可得2a+3b=0；当x=2时，由图像可知此时2a3y>0,即4a+2b+c>0,将2a=-3b代入可得c-4b>0.【详解】①根据抛物线开口方向得到a>0,根据对称轴x=-b>0得至1」b<0,根据抛物线与y2a轴的交点在x轴下方得到c<0，所以abc>0,故①正确.②x=一1时，由图像可知此时y>0，即a-b+c>0,故②正确._ b1③由对称轴x=--=-，可得2a+3b=0，所以2a+3b>0错误，故③错误；2a3④当x=2时，由图像可知此时y>0，即4a+2b+c>0，将③中2a+3b=0变形为2a=-3b，代入可得c-4b>0，故④正确.故答案选D.【点睛】本题考查了二次函数的图像与系数的关系，注意用数形结合的思想解决问题。8.如图，矩形ABCD中，AB=8,AD=4,E为边AD上一个动点，连接BE,取BE的中点G，点G绕点E逆时针旋转90°得到点F，连接CF,则△CEF面积的最小值是（）A.16 B.15 C.12 D.11【答案】B【解析】【分析】过点F作AD的垂线交AD的延长线于点H，则△FEHs^EBA，设AE=x，可得出^CEF面积与x的函数关系式，再根据二次函数图象的性质求得最小值.【详解】解：过点F作AD的垂线交AD的延长线于点H，VZA=ZH=90°，ZFEB=90°，.\ZFEH=90°-ZBEA=ZEBA，AAFEHsAEBA，HFHEEF• = = TOC\o"1-5"\h\z•• ,AEABBE，：G为be的中点，- 1FE=GE=—BE,2HFHEEF1- = = =—•• ,AEABBE2设AE=x，•「AB—8,AD44,1•HF4-x,EH—4,2DH=AE=%,・，S^CEF 'dhFC+5ACED HiHFTOC\o"1-5"\h\z1 1 1 1 1=-%(-%+8)+*8(4—%)-义4•%2 2 2 2 21 ， “，=—%2+4%-16-4%-%4=1%2-%+16,4%= =2 1・••当 0^1时，4CEF面积的最小值=二*4-2+16=15.214故选：B.【点睛】本题通过构造K形图，考查了相似三角形的判定与性质.建ZCEF面积与AE长度的函数关系式是解题的关键.9.抛物线1—X2+bx+3的对称轴为直线x=-1.若关于x的一元二次方程—X2+bx+3-t=0（t为实数）在-2Vx<3的范围内有实数根，则t的取值范围是（ ）A.-12<t<3 B.-12<t<4 C.-12<t<4 D.-12<t<3【答案】C【解析】【分析】根据给出的对称轴求出函数解析式为y=—x2-2x+3,将一元二次方程一x2+bx+3-t=0的实数根看做是y=—x2-2x+3与函数y=t的交点，再由-2<x<3确定y的取值范围即可求解.【详解】解：・・・y=—x2+bx+3的对称轴为直线x=-1,b=-2,y=—x2-2x+3,,一元二次方程一x2+bx+3-t=0的实数根可以看做是y=-x2-2x+3与函数y=t的交点，,・,当x=-1时，y=4；当x=3时，y=-12,・•・函数y=-x2-2x+3在-2Vx<3的范围内一12<yW4,.\-12<t<4,故选：C.【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题是解题关键..某二次函数图象的顶点为（2,-1），与X轴交于P、Q两点，且PQ=6.若此函数图象通过（1,〃）、（3,b）、（-1,c）、（-3,d）四点，则a、b、c、d之值何者为正？（）A.a B.b C.c D.d【答案】D【解析】【分析】根据题意可以得到该函数的对称轴，开口方向和与x轴的交点坐标，从而可以判断a、b、c、d的正负，本题得以解决.【详解】・•二次函数图象的顶点坐标为（2,-1）,此函数图象与x轴相交于P、Q两点，且PQ=6,・•・该函数图象开口向上，对称轴为直线x=2,•・图形与x轴的交点为（2-3,0）=（-1,0）,和（2+3,0）=（5,0）,・•此函数图象通过（1,a）、（3,b）、（-1,c）、（-3,d）四点，.•・a<0,b<0,c=0,d>0,故选：D.【点睛】此题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答..如图，矩形ABCD的周长是28cm，且AB比BC长2cm.若点P从点A出发，以1cmis的速度沿AfDfC方向匀速运动，同时点Q从点A出发，以2cm/s的速度沿AfBfC方向匀速运动，当一个点到达点C时，另一个点也随之停止运动.若设运动时间为t（s）,aAPQ的面积为S（cm2）,则S（cm2）与t（s）之间的函数图象大致是（）

【答案】A【解析】【分析】先根据条件求出AB、AD的长，当0<t<4时，Q在边AB上，P在边AD上，如图1,计算S与t的关系式，分析图像可排除选项B、C；当4Vt<6时，Q在边BC上，P在边AD上，如图2,计算S与t的关系式，分析图像即可排除选项D,从而得结论.【详解】解：由题意得2AB+2BC=28,AB=BC+2,可解得AB=8,BC=6,即AD=6,①当0<t<4时，Q在边AB上，P在边AD上，如图1,=1AP.AQ=11・2t=12△APQ2 2图像是开口向上的抛物线，故选项B、C不正确；②当4Vt<6时，Q在边BC上，P在边AD上，如图2,图像是一条线段，故选项D不正确；故选：A.【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，根据动点P和Q的位置的不同确定三角形面积的不同，解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出S与t的函数关系式.m12.已知抛物线y=x2+2x-m-1与x轴没有交点，则函数y=1.的大致图象是(【答案】B【解析】【分析】由题意可求m<-2,即可求解.【详解】••抛物线y=x2+2x-m-1与x轴没有交点，.•.△=4-4(-m-1)<0•.m<-2•・函数y=i.的图象在第二、第四象限，【点睛】本题考查了反比例函数的图象，二次函数性质，求m的取值范围是本题的关键.上，)上，)13.在平面直角坐标系内，已知点A(-1,0),点B(1,1)都在直线y=5x+9若抛物线y=ax2-x+1(a工0)与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是(9 9 9A.a<-2 B.a<- C.1<a<-或a<-2D.-2<a<-8 8 8【答案】C【解析】【分析】分a>0,a<0两种情况讨论，根据题意列出不等式组，可求a的取值范围.【详解】•・•抛物线y=ax2-x+1（a00）与线段AB有两个不同的交点，1.•.令2x+2=ax2-x+1,贝U2ax2-3x+1=0.•.△=9-8a>09二a<R8Fa+1+1V0①当a<0时,1a-1+1V1解得：a<-2・•・a<-2Fa+1+120②当a>0时,1a-1+1>1解得：a>19.1<a<o89综上所述：1<a<d或a<-28故选：c.【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象点的坐标特征，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键.14.如图，已知A（-4,-1）,线段AB与x轴平行，且AB=2，抛物线y=-x2+mx+n经过点C（0,3）和D（3,0），若线段AB以每秒2个单位长度的速度向下平移，设平移的时间为t（秒）.若抛物线与线段AB有公共点，则t的取值范围是（）n. oTxAB \

0<t<102<t<0<t<102<t<102<t<82<t<10【答案】B【解析】【分析】直接利用待定系数法求出二次函数抛物线l经过点A时，求出y的值，【详解】解：(1)把点C(0,3)和D(3,「n=3得出B点坐标，分别得出当抛物线l经过点B时，当进而得出t的取值范围；0)的坐标代入y=-x2+mx+n中,得，-32+3m+n=0解得・•・抛物线l解析式为y=-x2+2x+3,设点B的坐标为(-2,-1-2t),点A的坐标为(-4,-1-2t),2+2x(-2)+3=-5,2+2x(-4)+3=-21,W-21<-1-2t<-5,当抛物线l经过点B时，有y=-(-2)2+2x(-2)+3=-5,2+2x(-4)+3=-21,W-21<-1-2t<-5,故应选B【点睛】此题主要考查了二次函数综合以及不等式组的解法等知识，正确利用数形结合分析得出关于t的不等式是解题关键.c15.一次函数y=ax+b与反比例函数y=-在同一平面直角坐标系中的图象如左图所示，则x二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是()B二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是()B.C.【答案】B【解析】【分析】根据题中给出的函数图像结合一次函数性质得出a<0,b>0,再由反比例函数图像性质得b出c<0,从而可判断二次函数图像开口向下，对称轴：X=-丁>0,即在y轴的右边，2a与y轴负半轴相交，从而可得答案.【详解】解：•・•一次函数y=ax+b图像过一、二、四，Aa<0,b>0, c _又•・•反比例函数y=-图像经过二、四象限，X.•・c<0,b，二次函数对称轴：X=一丁>0,2a.♦.二次函数y=ax2+bx+c图像开口向下，对称轴在y轴的右边，与y轴负半轴相交，故答案为B.【点睛】本题考查了二次函数的图形，一次函数的图象，反比例函数的图象，熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、与y轴的交点坐标等确定出a、b、c的情况是解题的关键.16.已知抛物线y=x2+(2a+1)x+g-a，则抛物线的顶点不可能在( )A.第一象限【答案】D【解析】A.第一象限【答案】D【解析】【分析】求得顶点坐标【详解】B.第二象限C.第三象限D.第四象限得出顶点的横坐标和纵坐标的关系式，即可求得.抛物线y抛物线y=x2+一 2a+1(2a+1)x+a2-a的顶点的横坐标为：x=---—纵坐标为：y纵坐标为：y=4a22—a)-(2a+1)3・••抛物线的顶点横坐标和纵坐标的关系式为：y=2x+-,・••抛物线的顶点经过一二三象限，不经过第四象限，故选：D.【点睛】本题考查了二次函数的性质，得到顶点的横纵坐标的关系式是解题的关键.17.如图，抛物线y=ax2+bx+c（。/0）与x轴交于（1，0），（3，0）两点，则下列说法：①abc<0；②ab+c=0；③2a+b=0；④2a+c>0；⑤若A （x〃 y1）,B （x2，y2）,C（x3,y3）为抛物线上三点，且1<x1<x2<1,x3>3,则y2<y1<y3,其中正确的结论是B.②④C.②③④D.②③⑤【答案】D【解析】【分析】①abc<0,由图象知c<0,a、b异号，所以，①错误；②ab+c=0，当x=1时，y=ab+c=0,正确；③2a+b=0,函数对称轴x=T=1,故正确；④2a+c>0,由②、③知:2a3a+c=0,而a<0,；.2a+c<0,故错误；⑤若A（x］，y1）,B（x2,y2）,C（x3，y3）为抛物线上三点，且1<x1<x2<1,x3>3,则y2<y1<y3，ra、b、c坐标大致在图上标出，可知正确.【详解】解：①abc<0,由图象知c<0,a、b异号，所以，①错误；②ab+c=0，当x=1时，y=ab+c=0，正确；③2a+b=0,函数对称轴x=b=1,故正确；2a④2a+c>0,由②、③知：3a+c=0,而a<0,；.2a+c<0,故错误；⑤若A（x1，y1）,B（x2，y2）,C（x3,y3）为抛物线上三点，且1<x1<x2<1,x3>3,则y2<y1<y3，ra、b、c坐标大致在图上标出，可知正确；故选D.【点睛】考查图象与二次函数系数之间的关系，要会求对称轴、x=±1等特殊点y的值.18.如图抛物线，•交/轴于，虫三。I和点氏交「轴负半轴于点一且一一..._ 1_«+b _。小有下列结论：①加「，②〃.,；③ .■0.其中，正确结论的个数是2c()A.” B.। C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴公式以及二次函数图象上点的坐标特征来判断a、b、c的符号以及它们之间的数量关系，即可得出结论.【详解】解：根据图象可知a>0,c<0,b>0,a+b〜・•・c・・.0,故③错误；youdc.AB(-c,0)・•・抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(-2,0)和B(-c,0)两点，c/.2c ,ac2-bc+c=0a1.••二 ,ac-b+1=0,a1Ai!.,,故②正确；1A仃,b=ac+121/.：■_,： I,A2b-c=2,故①正确;故选：C.【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c(a/0),二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab>0）,对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0）,对称轴在y轴右.（简