2.1 离散型随机变量及分布列（学生版）

2.1离散型随机变量及分布列【基础梳理】【典型例题】题型一概念辨析【例1】(1)（2019·林芝市第二高级中学高二期末（理））先后抛掷一枚质地均匀的骰子5次,那么不能作为随机变量的是()A．出现7点的次数 B．出现偶数点的次数C．出现2点的次数 D．出现的点数大于2小于6的次数(2)（2020·全国高三专题练习）袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，可以作为离散型随机变量的是（）A．至少取到1个白球 B．至多取到1个白球C．取到白球的个数 D．取到的球的个数(3)（2019·湖北省松滋市第一中学高二课时练习）从标1～10的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为ξ，那么随机变量ξ可能取的值有（）A．17个 B．18个C．19个 D．20个【举一反三】1．（2018·海林市朝鲜族中学高二课时练习）10件产品中有3件次品,从中任取2件,可作为随机变量的是（）A．取到产品的件数 B．取到正品的概率C．取到次品的件数 D．取到次品的概率2．（2019·江西南昌二中高二期末）下列随机试验的结果，不能用离散型随机变量表示的是()A．将一枚均匀正方体骰子掷两次，所得点数之和B．某篮球运动员6次罚球中投进的球数C．电视机的使用寿命D．从含有3件次品的50件产品中，任取2件，其中抽到次品的件数3.写出下列随机变量可能取的值，并说明这些值所表示的随机试验的结果．(1)袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，取后不放回，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数；(2)一个袋中装有8个红球，3个白球，从中任取5个球，其中所含白球的个数为X.题型二两点分布【例2】袋中有红球10个，白球5个，从中摸出2个球，如果只关心摸出两个红球的情形，问如何定义随机变量X，才能使X满足两点分布，并求分布列．【思路总结】【思路总结】两步法判断一个分布是否为两点分布(1)看取值：随机变量只取两个值：0和1.(2)验概率：检验P(X＝0)＋P(X＝1)＝1是否成立．如果一个分布满足以上两点，则该分布是两点分布，否则不是两点分布．【举一反三】1.已知一批100件的待出厂产品中，有1件不合格品，现从中任意抽取2件进行检查，若用随机变量X表示抽取的2件产品中的次品数，求X的分布列．题型三超几何分布【例3】（2020·浙江高三专题练习）袋中装有10个除颜色外完全一样的黑球和白球，已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是.（1）求白球的个数；（2）从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X,求随机变量X的分布列.【举一反三】1.（2020·浙江高三专题练习）四川省阆中中学某部根据运动场地的影响，但为尽大可能让学生都参与到运动会中来，在2018春季运动会中设置了五个项目，其中属于跑步类的两项，分别是200米和400米，另外三项分别为跳绳、跳远、跳高学校要求每位学生必须参加，且只参加其中一项，学校780名同学参加各运动项目人数统计如下条形图：其中参加跑步类的人数所占频率为，为了了解学生身体健康与参加运动项目之间的关系，用分层抽样的方法从这780名学生中抽取13人进行分析．（1）求条形图中m和n的值以及抽取的13人中参加200米的学生人数；（2）现从抽取的参加400米和跳绳两个项目中随机抽取4人，记其中参加400米跑的学生人数为X，求离散型随机变量X的分布列．题型四分布列性质【例4-1】（2020·浙江高三专题练习）设随机变量的概率分布列为则（）1234A． B． C． D．【例4-2】（2020·浙江高三专题练习）已知离散型随机变量的概率分布列如下：01230.20.30.4则实数等于()A．0.5 B．0.24 C．0.1 D．0.76【例4-3】（2020·浙江高三专题练习）已知离散型随机变量X的分布列如图，则常数c为（）X01PA． B． C．或 D．【举一反三】1．（2020·浙江高三专题练习）若离散型随机变量的分布列如下，则=__________.012．（2020·浙江高三专题练习）设随机变量的分布列（其中），则___．3．（2020·浙江高三专题练习）邮局工作人员整理邮件，从一个信箱中任取一封信，记一封信的质量为(单位：克)，如果,，那么等于_________.4．（2020·全国高三专题练习）随机变量的概率分布列规律为其中为常数，则的值为（）.A． B． C． D．【强化训练】1．（2019·宁夏银川一中高二期中（理））袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，有放回地依次取出2个球，设两个球号码之和为随机变量，则所有可能值的个数是（）A．25 B．10 C．9 D．52．（2018·海林市朝鲜族中学高三课时练习）先后抛掷一枚质地均匀的骰子5次,那么不能作为随机变量的是()A．出现2点的次数B．出现偶数点的次数C．出现7点的次数D．出现的点数大于2小于6的次数3．（2020·浙江高三专题练习）袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出一个球，直到取出的球是白色为止，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为()A．1,2，…，6B．1,2，…，7C．1,2，…，11D．1,2,3…4．（2019·江苏高二期末（理））引入随机变量后，下列说法正确的有：__________（填写出所有正确的序号）.①随机事件个数与随机变量一一对应；②随机变量与自然数一一对应；③随机变量的取值是实数.5．（2020·浙江高三专题练习）随机变量ξ服从两点分布,且P(ξ=1)=0.8,η=3ξ-2,则P(η=-2)=_________.6．（2011·江苏高二期中（理））在分布中，设，则______.7．（2020·全国高三专题练习）随机变量X的分布列如下：X－101Pabc其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝________，公差d的取值范围是________.8．（2017·湖北省松滋市第一中学高二课时练习）甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛，规定采用“七局四胜制”．用ξ表示需要比赛的局数，写出“ξ＝6”时表示的试验结果．9．（2017·湖北省松滋市第一中学高二课时练习）写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量取值所表示的随机试验的结果．(1)在10件产品中有2件是次品，8件是正品，任取三件，取到正品的个数ξ；(2)在10件产品中有2件次品，8件正品，每次取一件，取后不放回，直到取到两件次品为止，抽取的次数ξ；(3)在10件产品中有8件正品，2件次品，每次取一件，取后放回，直到取到两件次品为止，抽取的次数ξ；(4)在10件产品中有8件正品，2件次品，每次取一件，取后放回，共取5次，取到正品的件数ξ.10．（2020·浙江高三专题练习）在10件产品中,有3件一等品，4件二等品，3件三等品．从这10件产品中任取3件．求：（1）取出的3件产品中一等品件数的分布列；（2）取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．11．（2020·浙江高三专题练习）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列.12．（2020·全国高三专题练习）某项大型赛事，需要从高校选拔青年志愿者，某大学学生实践中心积极参与，从8名学生会干部(其中男生5名，女生3名)中选3名参加志愿者服务活动.若所选3名学生中的女生人数为X，求X的分布列.13．（2020·天津高三期末）每年的12月4日为我国“法制宣传日”.天津市某高中团委在2019年12月4日开展了以“学法、遵法、守法”为主题的学习活动.已知该学校高一、高二、高三的学生人数分别是480人、360人、360人.为检查该学校组织学生学习的效果，现采用分层抽样的方法从该校全体学生中选取10名学生进行问卷测试.具体要求：每位被选中的学生要从10个有关法律、法规的问题中随机抽出4个问题进行作答，所抽取的4个问题全部答对的学生将在全校给予表彰.⑴求各个年级应选取的学生人数；⑵若从被选取的10名学生中任选3人，求这3名学生分别来自三个年级的概率；⑶若被选取的10人中的某学生能答对10道题中的7道题，另外3道题回答不对，记表示该名学生答对问题的个数，求随机变量的分布列及数学期望.14．（2019·辽宁高二期末（理））某高校在2018年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，折合成标准分后，最高分是10分．按成绩共分成五组：第一组[0，2），第二组[2，4），第三组[4，6），第四组[6，8），第五组[8，10），得到的频率分布直方图如图所示：（1）分别求第三，四，五组的频率；（2）该学校在第三，四，五组中用分层抽样的方法抽取6名同学．①已知甲同学和乙同学均在第三组，求甲、乙同时被选中的概率②若在这6名同学中随机抽取2名，设第4组中有X名同学，求X的分布列和数学期望．15．（2019·四川高三（理））某校为提高课堂教学效果，最近立项了市级课题《高效课堂教学模式及其运用》，其中王老师是该课题的主研人之一，为获得第一手数据，她分别在甲、乙两个平行班采用“传统教学”和“高效课堂”两种不同的教学模