2.3 离散型随机变量的均值与方差（教师版）

2.3离散型随机变量的均值及方差【基础梳理】【典型例题】题型一均值（（209理XX0123P82749m127则X的数学期望E(X)（ ）2 3A． B．1 C．3 2

D．22202·江三题习已随变ξ分列下则（的大是( )ξ-10aP141a21b4A．58（1）B（2）B

B．1564

C．14

D．19648 4 1 2 【解析（1）由 m 1得m 所以EX0

14223

1．故选：27 9 27 9B

27 9 9 27(2101b-a=00，根据公式得E11a1b1b1bEb21b1，根据二次函数的性质得4 4

4 4 4 4 到函数最大值在轴处取，代入得到15.此时b1,经检验适合题意.故答案为B.【举一反三】

64 81200江三题习知一机量分列下所若E)6.3则a值（ ）a79Pb0.10.4A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A的分布列的性质，可知b0.10.41，所以b0.5，又E()ab70.190.46.3，所以a4，故选A.2（201宁二末理从有颜外全同的3白和m黑的袋随摸一，有放回地摸取6次，设摸得黑球的个数为X，已知EX3，则m等于（ ）A．2 B．1 C．3 D．5【答案】C6PXkCk(6

33

)k(

m3

)mk

X

3 )3mEX6

33

3m3故选C3（201理已知-101p1213163，则E的值为（ ）7A．4 B．3

5C． D．14【答案】B【解析】E()(1)10111111，2 3 6 2 6 3因为23，所以E()2E()32(1)37.3 3题型二方差（标准差）

12【例2】(1)（2019·广东高二期末）已知随机变量X~B, D(2X2 A．9 B．6 C．4 (2)（2019·浙江高三月考）设0x1，随机变量的分布列如下：2012P0.50.5xx则当x在0,1内增大时（ ） 2 A．E减小，D减小 B．E增大，D增大C．E增大，D减小 D．E减小，D增大【答案】(1)B(2)B【解析】(1)因为随机变量X~B6,1,所以D(X)61(11)3, 2

2 2 2 所以D(2X+1)4D(X)436.故选：B2(2E00.51(0.5x2xx0.5x在01内增大时,

E增大 2 D0.5(x0.50)2(0.5x)(x0.51)2x(x0.52)2x22x14D(x1)25x在01内增大时,

D增大故答案选B4 2 【举一反三】1（201理随机变量

B(100,p)，且E(X)20，则D(2X1)（ ）A．64 B．128 C．256 D．32【答案】AXEX20npp0.2DX1000.216，D2X14DX64A.2（201理XXB,pEX3，X9p）41 3 1 2A． B． C． D．4 4 2 3【答案】A

np3

n12np(1p9p1

，故选A. 4 43（201（理若随机变量E1)4，D1)4下列说法正确的是A．E4,D4

B．3C．4,4 D．4【答案】DE14，D14，则：1,24E3,D4.本题选择D选项.题型三 均值的实际运用3-1（2020·安徽高二期末）508,90),90,100100,110110,20120,130130,140140,150].其中，c成等差数列且c2a.物理成绩统计如表.（说明：数学满分150分，物理满分100分）分组[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]频数6920105根据频率分布直方图，请估计数学成绩的平均分；根据物理成绩统计表，请估计物理成绩的中位数；14090663的分布列和期望值.（）117.8分（）75（3见解析.【解析】（1）根据频率分布直方图得，ab2c0.0240.0200.04101ac2b,c2aa0.008,b0.012,c0.016，故数学成绩的平均分x850.04950.121050.161150.21250.241350.161450.08117.8分，50[70,80，7545630、1、2、3.C3C3P(X0)3C36

1 C1CC3 ,P(X33C320 6

9 C2C1C3 ,P(X2)33C320 6

9 C3C3,P(X3C320 6

1.20所以分布列为：X0123P120920920120期望值为：E(X)011929313.20 20 20 20 23-2（2020·浙江高三专题练习）2200500100以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．的分布列；PXn0.5的最小值；n19与n20之中选其一，应选用哪个？（1）见解析.见解析.见解析.（1）8，9，10，110．2，0．4，0．2，0．2，从而；；；；；．所以的分布列为16171819202122由（1）知，，故 的最小值为19．购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用.n=1919×200+500×0.2+1000×0.08+1500×0.04=4040；当n=20时，费用的期望为：20×200+500×0.08+1000×0.04=4080.可知当时所需费用的期望值小于时所需费用的期望值，故应选．【举一反三】1（202理2020100满100分为[40505060607070,809090,100]6方图.的值；记70发生的概率；100[60,80101044[6070)的分布列与数学期望.（1）a（2）0.65（3）详见解析【解析】（1）(0.0050.0100.0200.030a0.010)101，a0.025，（2）成绩不低于70分的频率为(0.0300.0250.010)100.65，事件A发生的概率约为0.65.（3）抽取的100名理科生中，成绩在[60,70)内的有1000.0201020人，成绩在[70,80)内的有1000.0301030人，故采用分层抽样抽取的10名理科生中，成绩在[60,70)内的有4人，在[70,80)内的有6人，由题可知，X的可能取值为0，1，2，3，4，C4 15 1 C3C1 80 8P(X0)6 ,P(X64 ，CC10104 210 14 4 210 CC1010C2C2

90

C1C3

24 4

C4 11010P(X2)64 ,P(X64 ，P(X4)41010CCC4CCC10X的分布列为

210 7

4 210 35

4 210X01234P114821374351210EX01182334418.14 21 7 35 210 52202（19003070020615/件（不含一次性设备改进投资费用）.x（同一组中的数据用该组区间的中点值作代；①根据频率分布直方图估计年销售利润不低于270万元的概率：6（6）【答案】（1）19.8万件（2）①0.6②乙方案.（1）x0.05120.35160.3200.2240.12819.8（万件）.（2）①该产品的销售利润为15元/件，由题意得只有当年销售量不低于18万件时年销售利润才不低于270万，所以年销售利润不低于270万的概率P0.30.20.10.6.万件，由（1）EX19.8，619.81561000782（万元）.设乙方案的年销售量为Y万件，则乙方案的年销售量的分布列为Y121620P0.050.350.6EY)5256602万件，6年的净利润的期望值为25608万元，因为乙方案的净利润的期望值大于甲方案的净利润的期望值,所以企业应该选择乙方案.【强化训练】1209·理X8X~B,6的均值E及方差D分别为（ ）A．6和2.4 B．2和2.4 C．2和5.6 D．6和5.6【答案】B【解析】QX:

B0.6EX100.66，由二项分布的方差公式得DX100.60.42.4，QX8，8X，则EE8X8EX862，DD8XDX2.4，故选B.2（202·设0p1，随机变量则当p在内增大时（ ）A．减小，减小 B．减小，增大C．增大，减小 D．增大，增大【答案】A【解析】由题意得E()011p21p1p，所以当p在(0,1)内增大时，E()减少；2 2 2 2[0(1

p

1[1

p)]2p

[2(1

2 1p p23p

(p3)212 4，2 2 2 2)] p在)]

2 2 2 23（202·1,2,32个，则取出的球的最大编号X的期望为（ ）1 2 8A．3 B．3 C．2 D．3【答案】D【解析】口袋中有编号分别为1、2、3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，取出的球的最大编号X的可能取值为2，3，C2 1 C1C1 2P(X2)2 ，P(X21 ，CC332 2CC333 3XEX21328．故选：D．3 3 34（201·理随机变量XP(Xn)则D(aX)（ ）

an2

(n1,2,3)，其中a是常数，38A． 81

608729

152 52C． D．243 27BXPXn

a n23aaa1得a4n2n 2 6 12 3E（X）=13,又DaXa2D(X)，而D(X)(113)22(213)22(313)21,故9DaXa2DX=608B729

9 3 9 9 9 9点睛：考查分布列的性质和期望、方差的计算，熟悉公式即可，属于基础题.5（201·理Bn,p，若X,X2=A．3 B．6 C．8 D．9【答案】D【解析】随机变量X～Bn,pEXnpDXnp(1p2p1n3

故答案选D6201·理已知随机变量ξ服从二项分布Bn,p，且Eξ7，Dξ6p等于( )6 1A． B．7 7【答案】B

3 4C． D．7 7【解析】随机变量ξ服从二项分布p，且Eξ7Dξ6，7n，6p1）p1，n4.77（201·西二考理随变量分列下且足E)2则E(b)值（ ）123PabcA．0 B．1C．2 Dab有关【答案】B【解析】E()2由随机变量的分布列得到：a2b3c2，012P0.42kk又abc1，解得ac，∴2ab1，∴b)aEbb1．故选：B．8（201·北二考理已离型机量分如，随变1012P0.42kkA．3.2 B．3.4 C．3.6 D．3.8【答案】B【解析】由题意，根据离散型随机变量的分布列的性质，可得0.42kk1k，00.410.420.20.8，又由随机变量31，所以E()3E()130.813.4，故选B．9（202·532中无放回地随机取出3个球，记取出黑球的个数为X，则EX，DX．9 9【答案】5 25【解析】由题意得X的所有可能取值为1,2,3，C1 3

C2C1 6

C3 1PX13

,PX232

,PX33 ，C3

C3 10

C3 105 5 5X123X123P31035110EX

3162139，10 10 10 53 92 3

92 1 92 9 9 9DX 1 2

3

．故答案为，．10 5 5

5 10 5

5251202·从甲地到乙地要经过31路口遇到红灯的概率分别为2

1 1、 、 .3 4XX的分布列和数学期望；22辆车共遇到1个红灯的概率.（EX13（2）1.12 【解析】（1）随机变量X的可能取值为0、1、2、3，则PX01111111， 2

3

4 4 PX111111111111111111，2 3

4

2 3

4

2

3 4 24 PX21111111111111， 2 3 4 2 3 4 2 3 4 4 PX31111，2 3 4 24所以，随机变量X的分布列为X0123EX011112131

13；4 24 4 24 12（2）设Y表示第一辆车遇到的红灯个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数.则所求事件的概率为PYZ1PY0,Z1PY1,Z0PY0PZPYPZ011111111.4 24 24 4 4811所以，这两辆车共遇到1个红灯的概率为48.202·209F,B,CF获胜的概率分别321为,,432

，且各场比赛互不影响．7若选手至少获胜两场的概率大于10F是否会入选；FX的分布列和数学期望．（（见解析（1）P321321121311174 3 2 4 3 2 4 3 2 4 3 2 24∵85

84F会入选120 120（2）X的可能值为0，1，2，3．PX01111，4 3 2 24PX13111211111；4 3 2 4 3 2 4 3 2 4PX232131112111，4 3 2 4 3 2 4 3 2 24PX332114 3 2 4所以，X的分布列为：X0123P12414112414EX0111211312324 4 24 4 121（200）2016年8月213126金18银26铜的成绩名称金牌榜第三、奖牌榜第二，某校体育爱好者协会在高三年级一班至六班进行了“本届奥运会”结果只有满意”和不满意”两种50表：班号一班二班三班四班五班六班频数5911979满意人数478566（Ⅰ）在高三年级全体学生中随机抽取一名学生，由以上统计数据估计该生持满意态度的概率；（Ⅱ）24人中对“本届奥运会中国队表现”不满意的人数为的分布列及其数学期望．（）18（38.25 45【解析】（1）50478566363618.50 25C2C2

6 21 7（2）的所有可能取值为0,1,2,3，P047

，C2C2

10 36 205 9C1C2

C2C1C1

4 21 614 7P47472 ,C2C2 C2 C

1036 1036 155 9 5 9C1C1C1 C2C

4 14 6 1 31P247242

,C2 C2 C2C

10 36 10 36 1805 9 5 9C1C2

4 1 1P342

.C2C2

10 36 905 9所以的分布列为：0123P72071531180190所以071723131.20 15 180 90质量g5,1515,2525,3535,45质量g5,1515,2525,3535,4545,55数量（只）6101284若购进这批生蚝500kg（所得结果；425XX的分布列及数学期望.（）4（EX8.5【解析】（1）由表格中的数据可估算出这批生蚝质量的平均数为6101020123084050428.5g，40

500kg

，这批生蚝的数量为

50028.5

17544只；（2）由表格中的数据可知，任意挑选一只，质量在25的概率为6102，40 5XB42X的可能取值有0、12、3、4， 5 34 81

2