高一数学26指数函数(备课资料)大纲人教版必修

●备课资料一、指数函数的定义函数y＝ax（a＞0且a≠1)叫指数函数，此中x是自变量，函数的定义域是(－∞，＋∞).说明：规定“a＞0且a≠1”的原因：假如a＝0，当x0时,ax恒等于0,当x0时,ax无心义假如a＜0，当x取1，1数时，ax不存在.24假如a＝1，ax是一个常数1，对它没有研究的必需.为了防止出现ax是一个常数或无心义等上述各样状况，因此规定：“a＞0

且

a≠1”.二、参照例题［例

1］若

y＝（a2－4）x是一个指数函数，求

a的取值范围

.x剖析：指数函数y＝a的底数a一定知足：a＞0，且a≠1.a＞2或a＜－2，且a≠±5.故a的取值范围是（－∞，－5）∪（－5，－2）∪（2，5）∪（5，＋∞）.评论：解题时要注意指数函数的定义，特别是指数函数y＝ax中底数的取值范围.［例2］判断函数y＝ax－2＋3的图象能否恒过必定点?假如是，求出定点坐标，假如不是，说明原因.剖析：函数y＝ax－2＋3的图象是随a的变化而变化，也就是说图象的地点是不确立的.但这个函数是由指数函数的图象经过平移获得的，而指数函数的图象恒过一个定点，因此这个函数的图象也应当过一个定点.解：原函数可变成：y－3＝ax－2若设x－2＝x′，y－3＝y′，则y′＝ax′，这是一个指数函数，它的图象恒过定点(0，1)，即x′＝0时，y′＝1，也就是：x－2＝0时，y－3＝1.解得：

x＝2，y＝4.因此，原函数的图象恒过定点

(2

，4).评论：本题也可不换元而直接考虑指数等于

0的情况，因为当指数等于0时，只需底数不等于0，其结果就必定为1.［例3］求函数y＝ax＋k－1（a＞0且a≠1)的图象不且只不经过第四象限的充要条件.剖析：指数函数的图象不经过第三、第四象限，假如把它向下平移，则所得的图象便可能不经过第三或第四象限.解：由已知以及指数函数的特色：可得a＞1，且－1＜k－1＜0，解得：a＞1且0＜k＜1.这就是说，函数y＝ax＋k－1（a＞0且a≠1）的图象不且只不经过第四象限的充要条件是：a＞1且0＜k＜1.评论：一般地，函数y＝f（x）＋k的图象就是由函数y＝f（x）的图象向上(k＞0)或向下(k＜0)平移｜k｜个单位获得的.［例4］已知a＞0，且a≠1，x∈R，x≠1，当ax21a2x时，求a的取值范围.解：∵x∈R，x≠1x2＋1－2x＝（x－1）2＞0x2＋1＞2x又∵a＞0且a≠1，因此当ax21a2x时，就有0＜a＜1.三、参照练习题指出以下函数哪些是指数函数（1）y=4x;(2)y=x4;(3)y=－4x;y=(－4)x;y=πx;y=4x2;y=xx;y=(2a－1)x(a>1且a≠1).2剖析：依据指数函数定义进行判断.解：（1）、（5）、（8）为指数函数；（2）是幂函数；3）是－1与指数函数4x的乘积；4）中底数－4<0,∴不是指数函数；6）中指数不是自变量x,而是x的函数；7）中底数x不是常数.它们都不切合指数函数的定义.评论：正确理解指数函数的定义是解好本问题的重点.2.指数函数

y=f

(x)

的图象经过点（

π

,e

）

,

则f

(0)=

,

f

(1)=

,f(－π)=

.剖析：解答本题的重点是求得f(x),依据指数函数定义，可设指数函数为y=f(x)=ax.解：设y=f(x)=ax,它的图象经过点（π,e).1∴e=aπ,a=e.x于是f(x)=e1∴f(0)=e0=1,f(1)=e,(－π)=e-1=1e●备课资料一、怎样比较幂、指数值的大小利用函数的单一性比较大小波及到无理数和超越数的大小比较，一般须依据这些数的组成特色，追求某个函数作模型，而后将各数一致到这个模型中，利用函数单一性比较大小.结构模型函数，其一般方法是：①指数同样，底数不一样时结构幂函数；②底同样，指数不一样时结构指数函数.［例1］比较以下两数的大小解：因为y＝0.９x在x∈R上是减函数.又因为（a＋1）（a＋2）≥0可得a≥－1或a≤－2.当a≥－1时，（a＋3）2＝a2＋3a＋9＞（a＋1）（a＋2），此24a3(a1)(a2).时(0.9)20.9当a≤－2时，（a＋3）＜0，∵a＋3＜(a21)(a2)，2此时，(0.9)(a3)(a1)(a2).2(0.9)作商法不一样底指数的大小比较往常采纳作商法.在am和bn（a＞0，b＞0）中，不如设m与n均大于零，am(an)m.nbbmnmnnmn若a≥bm时，a≥b；若a≤bm时，a≤b.［例2］比较1618与1816的大小.解：∵1618(16)16162(16)16(2)16(82)1611816181891618＞1816.利用“中间量”比较大小［例3］比较ab与ba（0＜a＜b＜1）的大小解：(1)先比较ab与aa的大小.考察函数y＝ax∵0＜a＜1∴函数y＝ax是减函数.又a＜b，ab＜aa.再比较aa与ba的大小，考察函数y＝xa，∴a＞0∴函数在（0，＋∞)上是增函数.又a＜b，∴aa＜ba综上所述可知：ab＜ba.二、参照练习题将以下各数从小到大排起来剖析：比较两数的大小，假如它们是同一个函数的函数值，则一般都是利用函数的单一性比较大小，若比许多个数的大小，则一般要先分类，而后在每一类中比较它们的大小.解：（6）0＝1，再把剩下的数分为三类：7(1)小于0的数：(－2）3，(2)大于0而小于1的数：（3)12，（5)31，5312(3)大于1的数：（2)3，(3)332而后将各种中的数进行比较：∵0＜3＜1，（5)31＝(3)31(3)215355∵3＞1，2(2)3

1123(3)3(3)3.22因此各数从小到大挨次为：1（－2）3＜（3)2(5)53

13(6)0(2)73

2(3)3.22.设1＜（1）b＜（1）a＜1，那么（）222A.aa＜ab＜baB.aa＜ba＜abC.ab＜aa＜baD.ab＜ba＜aa解：依据1(1)b(1)a1考察函数y＝（1）x是R上的减函数，2222∴0＜a＜b＜1再用特别值进行查验清除：取a＝1，b＝11111，b＝baa32333331(1)31232∵32333ab＜aa＜ba应选C.如图:指数函数①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx的图象，则a、b、c、d与1的大小关系是A.a<b<1<c<dB.b<a<1<d<cC.1<a<b<c<dD.a<b<1<d<c剖析：依据图象直观可先分为两类，③、④的底数必定大于1，①②的底数小于1，再由③④中比较c、d的大小，由①②中比较a、b的大小.当指数函数底数大于1时，图象上涨，且底数越大时图象向上越凑近y轴，当底数大于0小于1时，图象降落，底数越小，图象向右越凑近x轴.选B.●备课资料一、参照例题［例1］(1998年全国)函数y＝a｜x｜(a＞1)的图象是解：∵a＞1y＝a｜x｜＝ax,x0ax,x0当x≥0，y＝a｜x｜与y＝ax（a＞1）的图象一致，故由此选B.二、参照练习题求函数f（x）＝(1)x22x的值域.3解：设y＝（1）ｕ，u＝x2－2x.3∵函数y＝（1）u是单一减函数.3∴函数y＝f（x）与u＝x2－2x增减性相反，∵u有最小值－1，无最大值，∴y有最大值（1）-1＝3，无最小值，3又由指数函数值域y＞0知所求函数的值域为（0，3].证明f（x）＝ax＋a-x在x∈（0，＋∞）上为增函数（a＞1）证明：设0＜x1＜x2，则f（x1）－f（x2）＝(ax1ax1)(ax2ax2)(ax1ax2)[1a(x1x2)]∵a＞1，且x1＜x2∴ax1ax2.又∵x1＞0，x2＞0由－（x1＋x2）＜0得a(x1x2)＜1∴(ax1ax2)[1a(x1x2)]＜0∴f（x1）－f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2）∴f（x）在x∈（0，＋∞)上为增函数.3.若函数f（x）＝1＋a是奇函数，试求a的值.2x1解：由已知得f（－x）＝－f（x）恒建立，∴1a(x1a)恒建立.x1212而1a2xa(2x1)1a1112x12xa2x12x1因此－11a111)恒建立，即－2x(2xa111恒建立2xa2xa11∴解得a＝1.2已知函数f（x）是定义在区间（－∞，＋∞）上的增函数，试判断函数F（x）＝2－f（x）的单一性.解：设x1＜x2，∵f（x）是定义在区间(－∞，＋∞）上的增函数.∴f（x1）＜f（x2）则F（x1）－F（x2）＝2f(x1)2f(x2)又－f（x1）＞－f（x2），y＝2x是增函数，∴2f(x1)2f(x2)∴2f(x1)2f(x2)＞0∴F（x1）－F（x2）＞0即F（x1）＞F（x2）∴F（x）＝2－f（x）在（－∞，＋∞)区间上是单一减函数.5.函数y＝2x－2-x的反函数（）A.是奇函数，且在（0，＋∞）上是减函数B.是偶函数，且在（0，＋∞）上是减函数C.是奇函数，且在（0，＋∞）上是增函数D.是偶函数，且在（0，＋∞）上是增函数解：∵f（x）＝2x－2-xf（－x）＝2-x－2x＝－（2x－2-x）＝－f（x）f（x）是奇函数.当x增大时，2x增大，－x减小，2-x减小，－2-x增大.因此2x－2-x增大.∴f（x）是增函数.应选C.6.假如ax25xax7(此中a>0,a≠1),求x的取值范围.解：依照指数函数的性质，分两种状况解答：（1）当a>1时，∵ax25xax7x2－5x>x+7即x2－6x－7>0.解之得x<－1或x>7.(2)当0<a<1时，∵ax25xax7x2－5x<x+7即x2－6x－7<0解之得－1<x<7.综上所述：x的取值范围是：当a>1时，x<－1或x>7;当0<a<1时，－1<x<7.评论：底数为字母a的题目，解答时，一般的应分a>1或0<a<1两种状况，分别求解.议论函数f(x)=(1)|1+2x|+|x－2|的增减性.2剖析：第一须去掉指数中的绝对值符号，去绝对值符号须区分区间，分类议论.另外f(x)是指数函数f(t)=(1)t与函数2t=|1+2x|+|x－2|的复合函数，f(t)是减函数，因此主要议论函数t的单一性.解：设t=|1+2x|+|x－2|当x≤－1时，2=－(1+2x)－(x－2)=－3x+1;当－1<x<2时，2=(1+2x)－(x－2)=x+3;(3)当x≥2时，t=(1+2x)+(x－2)=3x－1,∴当x≤－1时，t为减函数，2当x>－1时，t为增函数.2又y=(1)t是减函数2∴当x≤－1时，f(x)为增函数.2当x>－1时，f(x)为减函数.2评论：议论函数的单一性，一定依据增、减函数的定义及复合函数单一性判断原则，同时，要注意对函数分析式的变形.8.议论函数f(x)=ax22x1(a>0,a≠1)的奇偶性和单一性.剖析