第九节 圆锥曲线的综合问题

圆锥曲线的综合问题掌握与圆锥曲线有关的最值、定值、参数范围等问题．[理要点]一、直线与圆锥曲线的位置关系判定直线与圆锥曲线的位置关系时，通常是将直线方程与曲线方程联立，消去变量y(或x)得变量x(或y)的方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．假设a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有：Δ>0⇔直线与圆锥曲线；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线；Δ<0⇔直线与圆锥曲线．假设a＝0，那么直线与圆锥曲线相交，且有一个交点．相交相切相离二、圆锥曲线的弦长问题设直线l与圆锥曲线C相交于A、B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么弦长|AB|＝或.[究疑点]1．由直线与圆锥曲线的位置关系知，直线与双曲线有

且只有一个交点的充要条件是什么？抛物线呢？2．过抛物线外一点有多少条直线与抛物线有一个公共点？假设点在抛物线内呢？提示：假设点在外有三条(两条切线一条平行于对称轴)，假设点在内有一条(平行于对称轴)．答案：

A解析：由于直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1过定点(1,1)，(1,1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交．答案：

D[归纳领悟]判断直线与圆锥曲线的位置关系时只需联立消元，消元后要注意方程的二次项系数是否含参数，假设含参数需讨论，同时充分利用根与系数的关系求出x1＋x2，x1x2后进行整体运算变形．[题组自测]1．直线l与抛物线y2＝8x交于A、B两点，且l经过抛物线的焦点F，A点的坐标为(8,8)，那么线段AB的中点到准线的距离是________.[题组自测]1．抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最

小值是__________．此题中第2问条件假设变为“假设直线l：y＝kx＋m(k≠0)与椭圆C交于不同的两点B、C且线段BC的垂直平分线恒过点A(0，－1)〞，求m的范围．[归纳领悟]1．求参数范围的方法据条件建立等式或不等式的函数关系，再求参数范围．2．求最值问题的方法(1)几何法题目中给出的条件有明显的几何特征，那么考虑用图象来解决．(2)代数法题目中给出的条件和结论几何特征不明显那么可以建立目标函数，再求这个函数的最值，求最值的常见方法是根本不等式法，单调性法等．[归纳领悟]1．求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从

而得到定值．2．定点的探索与证明问题(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y＝kx＋b，然后

利用条件建立b、k等量关系进行消元，借助于直线系的

思想找出定点．(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关．一、把脉考情从近两年的高考试题来看，直线与圆锥曲线的位置关系，弦长、中点弦、最值范围、定点定值的探索与证明，考查的知识点多，能力要求高，尤其是运算变形能力，同时考查学生的分析问题与解决综合问题的能力，是高考的热点问题，难度较大．考查形式以解答题为主，注重考查函数与方程转化与化归，分类讨论等思想方法，预测2021年仍为命题的重点，要加强训练.2．(2021·福建高考)中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点．(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在平行于