导数在研究函数中的应用

知识点：函数的单调性导数的符号与函数的单调性：一般地，设函数在某个区间内有导数，那么在这个区间上，①假设，那么在这个区间上为增函数；②假设，那么在这个区间上为减函数；③假设恒有，那么在这一区间上为常函数.反之，假设在某区间上单调递增，那么在该区间上有恒成立〔但不恒等于0〕；假设在某区间上单调递减，那么在该区间上有恒成立〔但不恒等于0〕．注意：1、例如：而f(x)在R上递增.2．只有在某区间内恒有，这个函数在这个区间上才为常数函数.3．注意导函数图象与原函数图象间关系.〔二〕利用导数求函数单调性的根本步骤：1.确定函数的定义域；2.求导数；3.在定义域内解不等式，解出相应的x的范围；当时，在相应区间上为增函数；当时在相应区间上为减函数.或者令，求出它在定义域内的一切实数根。把这些实数根和函数的间断点〔即的无定义点〕的横坐标按从小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成假设干个小区间，判断在各个小区间内的符号。4.写出的单调区间.二、函数的极值〔一〕函数的极值的定义一般地，设函数在点及其附近有定义，假设对于附近的所有点，都有，那么是函数的一个极大值，记作；〔2〕假设对附近的所有点，都有，那么是函数的一个极小值，记作.极大值与极小值统称极值.

在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.

〔二〕求函数极值的的根本步骤：①确定函数的定义域；②求导数；③求方程的根；④检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)

注意：可导函数的极值点一定是导函数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点.即是可导函数在点取得极值的必要非充分条件.例如函数y=x3，在x=0处，，但x=0不是函数的极值点.可导函数在点取得极值的充要条件是且在两侧，的符号相异。三、函数的最值〔一〕函数的最大值与最小值定理假设函数在闭区间上连续，那么在上必有最大值和最小值；在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值.如.注意：函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。②函数的极值可以有多个，但最值只有一个。〔二〕求函数最值的的根本步骤：假设函数在闭区间有定义，在开区间内有导数，那么求函数在上的最大值和最小值的步骤如下：〔1〕求函数在内的导数；〔2〕求方程在内的根；〔3〕求在内使的所有点的函数值和在闭区间端点处的函数值，；〔4〕比拟上面所求的值，其中最大者为函数在闭区间上的最大值，最小者为函数在闭区间上的最小值.典型例题：一、单调性例1、〔2023.新课标全国卷〕设函数.〔1〕假设〔2〕变式1：变式2：函数的定义域为区间〔a，b〕，导函数在〔a，b〕内的图如下图，那么函数在〔a，b〕内的极小值有〔〕A．1个B．2个C．3个D．4个变式：函数三、实际应用例4、为了在厦季降和气冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某栋建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造本钱为6万元.该建筑物每年的能源消消耗用C〔单位：万元〕与隔热层厚度(单位：㎝)满足关系：，假设不建隔热层，每年能源消消耗用为8万元，设为隔热层建造费与20年的能源消消耗用之和.〔1〕求的值及的表达式〔2〕隔热层修建多厚时，总费用到达最小，并求最小值变式：某工厂每天生产某种产品最多不超过40件，产品的正品率P与日产量件之间的关系为，每生产一件正品盈利4000元，每出现一件次品亏损2000元.〔注：正品率=产品中的正品件数÷产品总件数×100%〕〔1〕将日利润〔元〕表示成日产量〔件〕的函数；〔2〕该厂的日产量为多少时，日利润最大？并求出日利润的最大值。稳固练习：1、设，假设函数有大于零的极值点，那么〔〕A．＜-1B.＞-1C.＞D.＜2.函数有极值的充要条件是〔〕A．B.＞0C.＜0D.3、函数，正实数，假设实数是函数的一个零点，那么以下四个判断：①；②；③；④；其中可能成立的个数为〔〕A.1B.2C.3D.44、假设函数〔〕A.最大值为4，最小值为-4；B.最大值为4，无最小值；C.最小值为-4，无最大值；D.既无最大值，也无最小值。5、假设函数在R上为减函数，那么的取值范围6、假设函数在R上为增函数，那么的取值范围7、函数(1)假设在点处的切线斜率为，求实数的值；(2)假设在处取得极值，求函数的单调区间。8、设函数，和为的极值点.〔1〕求和的值；〔2〕讨论的单调性；〔3〕设，试比拟与的大小。课后作业：1、函数f(x)=x3-3x+1在闭区间[-3,0]上的最大值、最小值分别是()(A)1，-1(B)1,17(C)3，-17(D)9，-192、设是函数f(x)的导函数，的图象如下图，那么y=f(x)的图象最有可能的是()3．设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如右图所示，那么导函数的图象可能是()4．函数f(x)=xlnx(x>0)的单调递增区间是___________。5．函数y=1+3x-x3的极大值是_______，极小值是________。6．函数f(x)=12x-x3在区间[-3,3]上的最小值是_____。7．函数f(x)=ln(1+x)-x的最大值为________。8．函数y=x+2cosx在区间上的最大值是________。9．设函数f(x)=ln