2021年辽宁省阜新市海州区中考数学一模试卷

2021年辽宁省阜新市海州区中考数学一模试卷

一、选择题（在每一小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.每小题3分，共30分）

I.（3分）-我的相反数是（）

3.（3分）某校举办了“玉龙书韵”主题演讲比赛活动，参赛的10名选手成绩如表，则10

4.（3分）不等式组的解集在数轴表示正确的是（）

|-2x-6<-4

-4_I---1--A_—A~।—t―I~~

C.-10123D.-10123

5.（3分）一个盒子中有1个白球和2个红球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个

球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，那么两次均摸到红球的概率是（）

A.AB.2c.2D.A

3399

6.（3分）夏季来临，某超市试销A、8两种型号的风扇，两周内共销售30台，销售收入

5300元，A型风扇每台200元，B型风扇每台150元，问A、8两种型号的风扇分别销售

了多少台？若设4型风扇销售了x台，8型风扇销售了y台，则根据题意列出方程组为

（）

Afx-^=5300

•l200x+150y=30

B.x+y=5300

150x+200y=30

C.x+y=30

200x+150y=5300

D.x+y=30

150x+200y=5300

7.（3分）如图，以原点O为圆心的圆交x轴于A、B两点，交y轴的正半轴于点C,。为

第一-象限内O。上的一点，若NOA8=25°,则NOCZ）的度数是（）

C.65°D.70°

8.（3分）我们知道：四边形具有不稳定性.如图，在平面直角坐标系中，边长为4的正方

形ABCZ）的边AB在x轴上，A8的中点是坐标原点O,固定点A,B,把正方形沿箭头方

向推，使点。落在），轴正半轴上点。'处，则点C的对应点C'的坐标为（）

A.(遮，2)B.(4,1)C.(4,D.(4,2«)

9.（3分）如图,点A是双曲线y=K在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另

x

一分支于点8,以A8为边作等边△ABC,点C在第一象限，随着点A的运动，点C的

位置也不断变化，但点C始终在双曲线y能上运动，则人的值为（)

10.（3分）如图是二次函数丫=0?+以+°图象的一部分，且过点A（3,0）,二次函数图象

的对称轴是直线x=l,下列结论正确的是（）

A.3a+c=0B.ac>0C.2a-b=0D.b2<4ac

二、填空题（每小题3分，共18分）

2

11.（3分）若分式工^Q的值为0,则x的值为.

x-3

12.（3分）如图，直线a〃6ZVIBC的顶点A,B分别在直线a,〃上，AC交直线a于点

D,AB=BC=CD,Zl=70°,则/2的度数为.

13.（3分）如图，E是QABC。中BC边的中点，DE,AC交于点F,FG〃/交CO于点G,

若。ABCO的面积为18,则△。/G的面积为

A

D

B

E

14.（3分）如图，已知在oABCQ中，AELBC于点£,以点8为中心，取旋转角等于NABC,

把△8AE顺时针旋转，得到△8MN,连接DM,若/AQC=60°,AD=5,QC=4,则

。”的长为.

15.（3分）如图，旗杆A8的后面有一建筑物CD,当光线与地面的夹角是30°时，旗杆在

建筑物的墙上留下高2,”的影子CE,而当光线与地面夹角是45°时，旗杆顶端4在地面

上的影子F与墙角C有8〃？的距离（B,F,C在一条直线上）.则旗杆AB的高度为

m.（结果保留根号）

16.（3分）如图，正方形0A8C在直角坐标系的第一象限，点A的坐标为（2,0）,/XPOA

是等边三角形，将△POA依次绕点A,B,C,。旋转30°,第一次将△尸绕点A顺

时针旋转30°,得到△PIOIAI,第二次将△P0i4绕点B顺时针旋转30°,得到△

尸2。242,…当旋转1002次时,顶点PI002的坐标为

)1

三、解答题(17、18、19、20题每题8分，21、22题每题10分，共52分)

17.(8分)⑴计算：(-1)2021飞历+|3_6|+(®30°严；

(2)先化简，再求值：(一在3—4一—)4-3b-2->其中4=5,b=2.

2nuu22,2b

a-2ab+ba-b"0

18.(8分)如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△A8C的三

个顶点的坐标分别为A(-4,6),8(-6,2),C(-1,4).

(1)画出△A8C关于y轴对称的△A1B1C1,并直接写出点4的坐标；

(2)画出将△ABC绕原点O逆时针方向旋转90°得到的282c2,并直接写出点Ai

的坐标；

(3)如果点Bi绕坐标系内一点P顺时针旋转90°可以与点B2重合，则点P的坐标

为,在这一旋转过程中点B1经过的路径长为.

19.(8分)为充分发挥“小手拉大手，垃圾分类齐动手”的推广效应，实现“教育一个孩

子，影响一个家庭，带动一个社区，推动整个社会”的目标，某中学对全校1200名学生

进行“垃圾分类，从我做起”的教育活动，从1200名学生中随机抽取部分学生进行垃圾

分类知识竞赛活动，成绩评定按从高分到低分排列为A,B,C,。四个等级，绘制了图

1,图2两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：

人数（人）

（1）本次被抽查的学生共有多少人？

（2）将条形统计图补充完整并直接写出〃?，〃的值：

（3）求扇形统计图中4所在的扇形圆心角的度数；

（4）估计全校。等级的学生有多少人.

20.（8分）某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面

市后果然供不应求，商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进

量的2倍，但单价贵了10元.

（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？

（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全

部售完后利润率不低于25%（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？

21.（10分）如图，在RtZ\4BC中，ZACB=90Q,NBAC=30°,将△ABC绕点A按逆

时针方向旋转得到△AOE（旋转角为a）,直线CE分别与直线40，BD交于点、F,P.

D

DE

(1)如图1,当a=120°时，请猜想线段尸。与尸8的数量关系并直接写出结论；

(2)如图2,当a为任意角度时(0°<a<360°),(1)中的结论是否依然成立，若成

立，请证明；若不成立，请说明理由；

(3)在(2)的条件下，取AO的中点O,连接OE■和OP,若AC=9,以。，E,P为顶

点的三角形面积是否存在最大值.如果存在，请直接写出面积的最大值及此时旋转角a

的度数；如果不存在，请说明理由.

22.(10分)如图，抛物线y=a?+加”3的图象与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点，

与y轴交于点C,直线/与抛物线交于点8,交y轴于点0(0,3).

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)点、P(m,0)为线段。8上一动点，过点P作x轴的垂线E凡分别交抛物线与直

线/于点E,F,连接CE,CF,BE,求四边形CEBF面积的最大值及此时机的值；

(3)点M为y轴右侧抛物线上一动点，过点M作直线MN〃AC交直线/于点M是否

存在点M,使以4,C,M,N四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出

点M的坐标；若不存在，请说明理由.

2021年辽宁省阜新市海州区中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（在每一小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.每小题3分，共30分）

1.（3分）-&的相反数是（）

A.V2B.±72C.2D.-A/2

【分析】根据只有符号不同的两数叫做互为相反数解答.

【解答】解：-我的相反数是

故选：A.

【点评】本题考查了实数的性质，主要利用了相反数的定义.

2.（3分）如图是一个几何体的俯视图，那么这个儿何体是（）

.o

AB.AC.SD.H

【分析】根据各个选项中的图形可以判断哪个选项符号要求.

【解答】解：由图可知，

选项8中的图形是和题目中的俯视图看到的一样，

故选：B.

【点评】本题考查由三视图判断几何体，解题的关键是明确各个图形的俯视图是什么形

状的.

3.（3分）某校举办了“玉龙书韵”主题演讲比赛活动，参赛的10名选手成绩如表，则10

位选手成绩的中位数、众数分别是（）

成绩81858891

人数1342

A.86.5,88B.88,87C.88,88D.85,86

【分析】根据中位数和众数的定义求解即可.

【解答】解：10位选手成绩的中位数为经盥=88（分），众数为88分，

故选：c.

【点评】本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握众数、中位数的定义.

4.（3分）不等式组的解集在数轴表示正确的是（）

I-2x-6<-4

J1III〉

D.-1012I

【分析】分别求出两个不等式的解集，然后在数轴上表示即可得解.

卜+1<3①

【解答】解:

\-2x-6<C-4（2）

解不等式①得，xW2,

解不等式②得，-1,

在数轴上表示如下：-1012

故选：D.

【点评】本题考查了不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“〉”空心圆点向右画折线,

实心圆点向右画折线，空心圆点向左画折线，“W”实心圆点向左画折线.

5.（3分）一个盒子中有1个白球和2个红球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个

球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，那么两次均摸到红球的概率是（）

A.AB.2c.2D.A

3399

【分析】先画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两次均摸到红球的结果数，然

后根据概率公式求解.

【解答】解：根据题意画图如下：

开始

白红红

A\/t\A\

白红红白红红白红红

共有9种等可能的情况数，其中两次均摸到红球的有4种，

则两次均摸到红球的概率是名.

9

故选：D.

【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果

求出〃，再从中选出符合事件A或8的结果数目，"，然后根据概率公式求出事件A或B

的概率.

6.（3分）夏季来临，某超市试销4、B两种型号的风扇，两周内共销售30台，销售收入

5300元，A型风扇每台200元，B型风扇每台150元，问A、B两种型号的风扇分别销售

了多少台？若设A型风扇销售了x台，B型风扇销售了y台，则根据题意列出方程组为

（）

Afx+y=5300

'l200x+150y=30

Bjx+y=5300

'1150x+200y=30

Cfx+y=30

'|200x+150y=5300

D.（X+y=3°

I150x+200y=5300

【分析】直接利用两周内共销售30台，销售收入5300元，分别得出等式进而得出答案.

【解答】解：设A型风扇销售了x台，8型风扇销售了y台，

则根据题意列出方程组为：［x+y=30

|200x+150y=5300

故选：C.

【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题

关键.

7.（3分）如图，以原点。为圆心的圆交x轴于A、8两点，交），轴的正半轴于点C,D为

第一象限内OO上的一点，若ND48=25°,则NOCD的度数是（）

【分析】根据圆周角定理求出根据等腰三角形性质求出/OC£）=NOOC,根据

三角形内角和定理求出即可.

【解答】解：连接0£>，

,：ZDAB=25Q,

：.ZBOD=2ZDAB=50°,

：.ZCOD=90°-50°=40°,

■:OC=OD,

：.ZOCD^ZODC=-1.(180°-ZCOD)=70°,

2

【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形性质，三角形内角和定理的应用，主要考

查学生的推理能力，题目比较典型，难度适中.

8.（3分）我们知道：四边形具有不稳定性.如图，在平面直角坐标系中，边长为4的正方

形ABC。的边A8在x轴上，A8的中点是坐标原点O,固定点A,8,把正方形沿箭头方

向推，使点。落在y轴正半轴上点处,则点C的对应点C'的坐标为（）

1)C.(4,V3)D.(4,2«)

【分析】由已知条件得到AD1=A£>=4,AO=2AB=2,根据勾股定理得到OD'=

2

VAD72-0A2=2^3,于是得到结论•

【解答】解：•・•>£>'=40=4,

A0=1AB=2,

2

：-OD'=A/AD，2_0A2=2«，

■：CD'=4,CD'//AB,

：.C'(4,2«),

故选：D.

【点评】本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，正确的识别图形是

解题的关键.

9.(3分)如图，点A是双曲线了=筌在第二象限分支上的一个动点，连接A0并延长交另

x

一分支于点B,以A8为边作等边△A8C,点C在第一象限，随着点A的运动，点C的

【分析】连接0C,易证AO_LOC,OC=y/3OA.由NAOC=90°想到构造K型相似，

过点4作AE_Lx轴，垂足为E,过点C作CFJLx轴，垂足为凡可证△AEOs/\。尸C.从

而得至IJ0尸=扬£FC=y[2E0.设点A坐标为(a,b),则仍=-6,可得FC・OF=

18.设点C坐标为(3,y),从而有产。・0尸=孙=18,即仁孙=18.

【解答】解：•••双曲线y=/关于原点对称，

X

，点A与点8关于原点对称.

：.OA=OB.

连接OC,如图所示.

•••△A8C是等边三角形，。4=08,

OC.LAB,ZBAC=60°,

.,.tan/OAC=_22=«,

OA

OC=yf3OA.

过点A作AELx轴，垂足为E,过点C作CFLx轴，垂足为F,

"：AE1OE,CFA,OF,OC1.OA,

：.ZAEO=ZOFC,NAOE=90°-ZFOC=ZOCF,

：.△AEOS^OFC.

.AE_0E_QA

',0F=CF"OC'

OC=43OA,

：.OF=y[^E,FC=43EO.

设点A坐标为（“，b）,

•.•点A在第二象限，

**•A.E=hjOE=-a,

••・。/=FC=y[^EO=-正〃.

・・,点A在双曲线丁=一2上，

x

cib=~6.

:.FC・OF=-小•折=-3a6=18.

设点。坐标为（x,y）,

•・•点C在第一象限，

/.FC=y,OF=x.

FC・OF=yx=xy=18.

•.•点C在双曲线y=K上，

・♦k=xy—18.

故选：D.

【点评】本题是反比例函数综合题，其中涉及到等边三角形的性质、反比例函数的性质、

相似三角形的判定与性质、点与坐标之间的关系、特殊角的三角函数值等知识，有一定

的难度.由NAOC=90°联想到构造K型相似是解答本题的关键.

10.（3分）如图是二次函数丫=公2+区+0图象的一部分，且过点A（3,0）,二次函数图象

的对称轴是直线x=l，下列结论正确的是（）

A.3a+c=0B.ac>0C.2a-h=0D.伊

【分析】根据抛物线对称性和对称轴公式即可判断4根据抛物线开口方向以及与y轴

的交点即可判断&根据对称轴公式即可判断C；由抛物线与“轴的交点情况即可判断D.

【解答】解：A・・・,二次函数图象的对称轴是直线x=l,过点A（3,0）,

・••二次函数图象过（-1,0）,

:・a-0+c=0,

・•・-_---b-—1，i

2a

:.b=-2〃，

.,・〃+2a+c=0,即3Q+C=0,所以A选项正确，

•・•抛物线开口向上，

;抛物线与y轴的交点在x轴下方，

.♦.cVO,

...ac<0,所以3选项错误；

C.,:b=-2a,

：.2a+b=0,所以C选项错误；

O.•••抛物线与x轴有两个交点，

：.b2-4ac>0,即户>4ac,所以。选项错误；

故选：A.

【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数yno？+bx+c（aWO）的图

象为抛物线，当a>0,抛物线开口向上；当〃<0,抛物线开口向下，对称轴为直线x=

一巴；抛物线与y轴的交点坐标为（0,c）；当/-4ac>0,抛物线与x轴有两个交点;

2a

当y-4"c=0,抛物线与x轴有一个交点；当户-4“cV0,抛物线与x轴没有交点.

二、填空题（每小题3分，共18分）

11.（3分）若分式工的值为0,则x的值为-3.

x~3

【分析】分式的值为。的条件是：（1）分子=0;（2）分母K0.两个条件需同时具备，

缺一不可.据此可以解答本题.

【解答】解：因为分式二二2的值为0,所以。2=0,

x-3x-3

化简得7-9=0,即f=9.

解得x=±3

因为x-3#0,即x#3

所以x=-3.

故答案为-3.

【点评】本题主要考查分式的值为0的条件，注意分母不为0.

12.（3分）如图，直线a〃6,ZVIBC的顶点A,8分别在直线“，6上，AC交直线“于点

D,AB=BC=CD,N1=70°,则N2的度数为30°.

jAiDa

【分析】根据3C=8O得N3Z）C=N1=7O°,在△BCD中，根据三角形内角和定理得

ZC=40°；根据AB=8C得NBAC=NC=40°,在△ABC中，根据三角形内角和定理

得NA3O=30°；根据〃〃〃得N2=N48Q=30°.

【解答】解：•;BC=BD,

AZB£>C=Z1=70°,

在△BCD中，ZC+Zl+ZBDC=180°,

AZC=180°-Z1-ZBDC=180°-70°-70°=40°,

■:AB=BC,

：.ZBAC=ZC=40°,

在△ABC中，ZC+ZBAC+ZABC=180°,

AZABC=\S0°-AC-ZBAC=180°-40°-40°=100°,

AZABD=AABC-Z1=100°-70°=30°,

•：a〃b,

，N2=NAB£>=30°.

故答案为：30°.

【点评】本题主要考查了等腰三角形两底角相等，平行线的性质，解题的关键是根据题

中条件找到角之间的数量关系.

13.（3分）如图，E是DABC。中BC边的中点，DE,AC交于点F,FG〃AD交CD于点、G,

若。A8CO的面积为18,则△OFG的面积为2.

G

BE

【分析】连接BD,根据平行四边形的性质可得AD//BC,AD^BC,SABCD=XOABCD

2

=9,由E是oABCQ中BC边的中点得，S^ECD=1S^BCD=^-,根据平行线分线段成比

22

例定理可得迈■富1=2,则由FG〃A。得FG〃8C,可得出△。FGs/^£>£C,

EFCEDE3

根据相似三角形的性质即可求解.

【解答】解：连接BZ）,

：四边形ABCD是平行四边形，

'.AD//BC,AD—BC,S^BCD=ABCD=9>

2

,/E是口ABCD中BC边的中点，

:♦S&ECD=^~S&BCD=AD=BC=2CE,

22

'：AD//BC,FG//AD,

C.FG//BC,此M=2,

EFCE

此上，△DFGSXDEC,

DE3

也些=（更）2=（©2=生

SADECDEJyJ9

•,-SADFG=—X—=2.

92

故答案为：2.

【点评】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是从相

似三角形到其面积比.

14.（3分）如图，己知在。48co中，AE_L8c于点E,以点8为中心，取旋转角等于/ABC,

把ABAE顺时针旋转，得到△BMN,连接DM,若NAOC=60°,AD=5,DC=4,则

DM的长为

【分析】过点。作OFJ_BC延长线于点F,由旋转的性质得出MB=AB=4,则CM=1,

由直角三角形的性质求出。尸和CF的长，由勾股定理可求出答案.

【解答】解：过点D作。尸，8C延长线于点F,

V四边形ABCD是平行四边形，

：.AD=BC=5,DC=AB^4,

由旋转可知，MB=AB=4,

则CM=1,

VZADC=60°,DC=4,

:.DF=2M，FC=2,

：.FM=CF+CM=3,

在Rt△。尸Af中，DM={DF2+MF2={氏炳尸+产收.

故答案为：V21.

【点评】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，旋转的性质，直角三角形的性质，

由旋转的性质求出CM的长是解题的关键.

15.（3分）如图，旗杆AB的后面有一建筑物CC,当光线与地面的夹角是30°时，旗杆在

建筑物的墙上留下高2〃?的影子CE,而当光线与地面夹角是45°时，旗杆顶端A在地面

上的影子户与墙角C有8机的距离在一条直线上）.则旗杆AB的高度为^

m.（结果保留根号）

【分析】根据直角三角形的边角关系，在两个直角三角形中设未知数列方程求解即可.

【解答】解：如图，过点垂足为M,则M5=EC=2,

设旗杆AB=xm,则AM=（x-2）m,

VZAFB=450,

.\AB=BF=X9

在RtZXAEM中，

Vtan30°=幽，

_EM

即«=x-2,

3x+8

.".x=(7+5-\/3)m,

故答案为：(7+5。"§).

【点评】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提.

16.（3分）如图，正方形0A8C在直角坐标系的第一象限，点A的坐标为（2,0）,△尸。4

是等边三角形，将△POA依次绕点A,B,C,。旋转30°,第一次将△POA绕点A顺

时针旋转30°,得到△PiOiAi,第二次将△PO14绕点B顺时针旋转30°,得到△

P2OM2,…当旋转1002次时，顶点P1002的坐标为（1,2-\/）.

[一

【分析】首先求出P〜P13的坐标，探究规律，利用规律解决问题即可.

【解答】解：由题意，P\(2,2),Pi(2,2),P3，1),P4(2,0),Ps(2,0),

P6(1,2-5/3),Pi(0，0),Ps(0,0),P9(2-5/3-1)，Pi。(°，2),Pi(0,2),

P12(1,伺,尸13(2,2),r

发现12次一个循环，

V10024-12=83*6,

二旋转1002次时，顶点P1002的坐标与P6相同，坐标为(1,2-

故答案为：(1,2-

【点评】本题考查坐标与图形变化-旋转，规律型：点的坐标，正方形的性质，等边三

角形的性质等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型.

三、解答题(17、18、19、2()题每题8分，21、22题每题10分，共52分)

17.(8分)(1)计算：(-1)2021一岳+|3_g|+(tan30°尸；

(2)先化简，再求值：(―在乌一一—)4-3b-2-，其中a=5,h=2.

2nu1u22,2a-b

a-2ab+ba-b"0

【分析】(1)根据有理数的乘方、绝对值、负整数累、二次根式的运算可以解答本题.

(2)根据分式的加减法、乘除法可以解答本题，再将4、。的值代入求解.

【解答】解：⑴原式=-1-3折2b-3+73

=-4.

(2)原式=[2(旷蚊„+___________?a-b

(a-b)2(a-b)(a+b)3b+2a

=〔24b]•a-b

a-b(a-b)(a+b)3b+2a

=〔2(a+b)/b]•a-b

(a-b)(a+b)(a-b)(a+b)3b+2a

=2a+3b•a~b

(a-b)(a+b)2a+3b

=1

a+b

当〃=5,8=2时，原式=_1.

7

【点评】此题考查的是综合运算，特殊三角函数值和分式的通分，在计算的过程中注意

每一步的严谨，保证解题正确.

18.(8分)如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，^ABC的三

个顶点的坐标分别为A(-4,6),8(-6,2),C(-1,4).

(1)画出△ABC关于y轴对称的△481。，并直接写出点Ai的坐标；

(2)画出将△ABC绕原点O逆时针方向旋转90°得到的△△282c2,并直接写出点A1

的坐标；

(3)如果点助绕坐标系内一点P顺时针旋转90°可以与点及重合，则点P的坐标为

(-2,2),在这一旋转过程中点B经过的路径长为3

6

L

I

「-LI

【分析】(1)分别作出A,B,C的对应点4,Bi,。即可.

(2)分别作出A,B,C的对应点A2,B2,C2即可.

(3)根据中心变换的性质画出图形，利用弧长公式求出运动路径.

【解答】解：(1)如图，△AIBICI即为所求作.点Ai的坐标(4,6).

(2)如图，/XAzB2c2即为所求作，点A2的坐标(-6,-4).

(3)如果点81绕坐标系内一点P顺时针旋转90°可以与点比重合，则点P的坐标为

（-2,2）,在这一旋转过程中点Bi经过的路径长=%匚注=4m

180

故答案为：（-2,2）,4n.

【点评】本题考查作图-复杂作图，轴对称变换，弧长公式等知识，解题的关键是理解

题意，正确作出图形，属于中考常考题型.

19.（8分）为充分发挥“小手拉大手，垃圾分类齐动手”的推广效应，实现“教育一个孩

子，影响一个家庭，带动一个社区，推动整个社会”的目标，某中学对全校1200名学生

进行“垃圾分类，从我做起”的教育活动，从1200名学生中随机抽取部分学生进行垃圾

分类知识竞赛活动，成绩评定按从高分到低分排列为A,B,C,。四个等级，绘制了图

1,图2两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：

人数（人）

（1）本次被抽查的学生共有多少人？

（2）将条形统计图补充完整并直接写出的值;

（3）求扇形统计图中A所在的扇形圆心角的度数；

（4）估计全校。等级的学生有多少人.

【分析】（1）根据A等级的人数和所占的百分比，可以求得本次被抽查的人数；

（2）根据（1）中的结果和扇形统计图中C等级所占的百分比，可以求得C等级的人数,

然后再根据条形统计图中的数据，即可计算出。等级的人数，从而可以将条形统计图补

充完整，再计算机和〃的值即可；

（3）根据4等级所占的百分比，可以计算出扇形统计图中A所在的扇形圆心角的度数;

（4）根据统计图中的数据，可以计算出全校。等级的学生有多少人.

【解答】解：（1）36+30%=120（人），

即本次被抽查的学生共有120人；

（2）C等级的学生有：120X25%=30（人），

。等级的学生有：120-36-48-30=6（人），

补全完整的条形统计图如右图所示，

m％100%=40%,〃％=_^义100%=5%,

120120

即〃?，"的值分别为40,5；

（3）360°X30%=108°,

即扇形统计图中A所在的扇形圆心角的度数是108°；

（4）1200X5%=60（人），

图2

【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确

题意，利用数形结合的思想解答.

20.（8分）某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面

市后果然供不应求，商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进

量的2倍，但单价贵了10元.

（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？

（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全

部售完后利润率不低于25%（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？

【分析】（1）可设该商家购进的第一批衬衫是x件，则购进第二批这种衬衫是2r件，根

据第二批这种衬衫单价贵了10元，列出方程求解即可；

（2）设每件衬衫的标价y元，求出利润表达式，然后列不等式解答.

【解答】解：（1）设该商家购进的第一批衬衫是x件，则购进第二批这种衬衫是件，

依题意有

1320030=28800

x2x

解得x=120,

经检验，x=120是原方程的解，且符合题意.

答：该商家购进的第一批衬衫是120件.

（2）3x=3X120=360,

设每件衬衫的标价y元，依题意有

（360-50）>50X0.8怜（13200+28800）X（1+25%）,

解得y2150.

答：每件衬衫的标价至少是150元.

【点评】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，弄清题意并找出题中的

数量关系并列出方程是解题的关键.

21.（10分）如图，在中，NACB=90°,NBAC=30°,将△A8C绕点A按逆

时针方向旋转得到△4OE（旋转角为a）,直线CE分别与直线40，BD交于点、F,P.

D

DE

图1图2备用图

(1)如图1,当a=120°时，请猜想线段尸。与尸8的数量关系并直接写出结论；

(2)如图2,当a为任意角度时(0°<a<360°),(1)中的结论是否依然成立，若成

立，请证明；若不成立，请说明理由；

(3)在(2)的条件下，取AO的中点O,连接OE和。P,若AC=9,以。，E,P为顶

点的三角形面积是否存在最大值.如果存在，请直接写出面积的最大值及此时旋转角a

的度数；如果不存在，请说明理由.

【分析】(1)猜想：证明丝ZXBPC(A45),可得结论.

(2)结论成立.如图2中，过点。作OG〃BC交CE于G.想办法证明△DGPg/XBCP

(ASA),可得结论.

(3)如图3-1中，连接AP.证明OE=OP=3、/§,推出当OEJ_OP时，△「€)£；的面积

最大.

【解答】解：(1)猜想：PD=PB.

理由：如图I中，

AZABC=60°,

：.ZBAD+ZABC^lSOa,

：.AD//BC,

'：AE=AC,

NACE=NAEC=30°,

：.ZCAB=ZACEf

C.CF//AB,

，四边形ABCF是平行四边形，

:.BC=AF9

•：AD=AB=2BC,

:・AF=DF=BC,

♦：/PFD=NPCB,ZDPF=ZBPC,DF=BC,

:ADPF之4BPC(AAS),

：.PD=PB.

(2)结论成立.

理由：如图2中，过点。作OG〃8C交CE于G.

图2

,:DG〃BC,

：./BCP=NDGP,/CBP=/GDP,

VZACB=90Q,

，NBC尸=N4C8+NACE=90°+NACE,

AZDGE=180°-ZDGP=180°-ZBCP=180°-(90°+ZAC£)=90°-NACE,

由旋转的性质可知，ZAED=ZACB=90°,AE=AC,DE=BC,

JZDEG=ZAED-NAEC=90°-ZAEC,

U

：AE=AC9

：.ZAEC=ZACE,

:・/DGE=/DEG,

:,DE=DG,

■:DE=BC,

：.DG=BC,

.,.△OGP丝△8CP(ASA),

：.DP=PB.

(3)如图3-1中，连接AP.

图3-1

在RtZiABC中，VZACB=90°,NCAB=30°,

：.AB=-

cos300

'：AD=AB,DP=PB,

：.APLBD,

：.ZAPD=ZAED=90°,

\'AO=OD,

：.OE=OP=LO=3«,

2

...当OELO尸时，△POE的面积最大，最大值=1X3«X3T=2工，此时旋转角为

22

30°或210°.

【点评】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，解直

角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于

中考压轴题.

22.(10分)如图，抛物线y=af+bx-3的图象与x轴交于4(-1,0),B(3,0)两点，

与y轴交于点C,直线/与抛物线交于点B,交y轴于点0(0,3).

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)点P(m,0)为线段08上一动点，过点P作x轴的垂线EF,分别交抛物线与直

线/于点E,F,连接CE,CF,BE,求四边形CEB尸面积的最大值及此时的值；

(3)点M为y轴右侧抛物线上一动点，过点M作直线MN〃AC交直线/于点M是否

存在点M,使以4,C,M,N四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出

点〃的坐标；若不存在，请说明理由.

【分析】(1)将A,B坐标代入>=/+法-3中，利用待定系数法可求；

(2)求出直线/的解析式，用m表示点E,F的坐标，进而表示线段E