2012年全国数学建模竞赛优秀选

题 要φ的变化规律。该方法首先根据已知的曲柄、连杆、游梁后臂尺寸和上死点位置，计算得悬点位移、速度、加速度关于φ的解析式，最终精确分析悬点运动规律。Gibbs模型，将悬点示功图作为边界条件来求解泵功图，并1，2中两口油井的泵供图结果。首先，我们根据冲程定义来调整测试数Gibbs模型的建立过程，发现其在模型建立时忽了该模型的解析解。计算结果表明，其计算精度比Gibbs模型更高。：有杆抽油系统，Gibbs模型，有效冲程法，面积法，灰色理论与网格法，非齐目问题重 问题分 问题一：光杆悬点运动规 问题二：泵功图计 问题三：泵功图的应 问题四：深入研究的问 符号定义与说 问题假 问题一：光杆悬点运动规 简化模 简化为简谐运动模 简化为曲柄滑块机构模 解析模 计算结果比较及分 问题二：泵供图计 计算模型及求解方 计算结果与分 问题三：泵功图的应 油井日产液量计 模型一：有效冲程 模型二：面积 计算结果及分 泵故障诊 泵功图网格 灰度矩阵的形 灰度矩阵特征值的提 建立灰关联 计算结果及分 问题四：深入研究的问 抽油系统模型改 非齐次波动方程模型建立及求 计算结果与分 模型评价与改 问题一模型评 问题二模型评 问题三模型评 问题四模型评 参考文 设备41E的一个冲程1966年，Gibbs给出了悬点示功图转化为示功图的模型，由于受计算机速度的Gibbs模型，给出由悬点示功图转化为泵12是有三级杆的另一油井参数和悬如图5（C）形式的泵功图表示泵内有气体，导致泵没充满。请建立模型或算2对应的泵功图进行计算机诊断是否属于泵内充气这种情况。请对ibbs模型进行原理分析，发现它的不足。在合理的假设下，重新建立抽油系统模型或对现有模型进行改进；并给出由悬点示功图转化为泵功图的详细计算过12的 2 Gibbs模型在数学上可简化为“波动方程”：t2ax2c 常数，c称为阻尼系数，鉴于大多数的阻尼系数是作了诸多假设后推出的，并不能c2.1到达最大（E的上死点。但是本题所给的曲柄、连杆和游梁前后臂的长度，并不Gibbs模型可以将悬点示功图转化为泵功图。然而，由于所给原始测试数据的第2小问为依据泵功图判断泵内是否充气。泵功图的形状可以直接反映泵的工作状泵功图之间的接近程度可以采用灰色理论与网格法相结合的方法。灰关联度越大，即Gibbs模型建立时，忽略了微元的重力和浮力，从而获得简单的齐次波动方程。然而在实际计算中，由于抽油杆重力和浮力的影响必须考虑，Gibbs模型只能将抽油杆的svaux,taEALcQSSf， 的位移、速度、加速度，以研究抽油杆的实际运动规律。AE段钢缆长度很小，且题中当于A点的运动规律。5.1l1与l2和l3B的运动可看作简谐运动，即BD点做圆运动时在垂直中心线上的投影（C点）的运动规律相Bt时间（φ角）sB为： 已知游梁前臂为l3A的位移sA，速度vA，加速度aAAB11sl4sl4l1costl4l1cosAB11l lvdsAl4lsintl4lsin adaAl42lcostl42l

际抽油机的l1l2值是不可忽略的，特别是冲程长度较大时，忽略后会引起很大的误差。为此，如果l1l2的值为有限值，即0l1l214B点绕游梁支点的弧线运动近5.2 则B点的最大位移为s 2l。B点在任意时刻的位移（从0算起）s为 sBBB'O'B'O'B1l1

则

l11cosl21cosl11cos1cos

l2sinl1sin

cos 112sin2112sin2 1

于是B点位移可简化为

12sin12sin22 sin2 sin2sA4sB4l11cos vl4vldsl4lsinsin2 1 其中，角速度

al4al4dvBl42lcoscos2 DB点所在的位置。所示，则可以明显的发现，随着的增大，BO’DDB共线时，B知条件是的，所以可以排除。所示，则也可以明显的发现，随着的减小（相当于回到上一个运动过程），B点会这也与已知条件是的，所以也可以排除。 图5.3B点不同位置抽油机四连杆机构示意图此我们可以知道O点与O’点相对位置关系。根据已知条件，可以知道O'Dl1950mm BDl23675mmBOl3 AOl44315mm（a,b，到OO'l5 a ba btan1bl2l2lcos1( l2l2lcos1( 1

5.4θl 0,90270,

sA

4

l 90,2704 vdsAldl

4 d 2d aAdtl4dt2 dvldlA dv vv a a aAA

d 5.5Eφ的变化规律可以看出，尽管同一不同模型计算的下死点都是位于0处，但上死点均不是在180°处。由分析可知，当O’D与OO’共线时，即154处对应上死点位置。图中可见，只有本 解析S_位移S_位移5.5EφV_V_05.7Eφ位移和载荷数据见文件test1.txt（对应附件一）和test2.txt（对应附件二。Gibbs模型将悬挂在悬点下的细长抽油杆的振动视为一个由悬点上下往复运动引起

a2x2c 式中，a为应力波在抽油杆柱中 速度，a

Eg，E力WgFGibbs抽油杆的重力Wg

WggAL

Fl llo(1fwwfwfww为水的密度,oAL为抽油杆长度。 2 2Dt0

ncosnwtnsinnwt 侧乘以cosnwt，并在0,21上积分求得v 式中，wtFourier系数需要通过求和来Kp个采用点的悬点位移和悬点载荷分别为UpDp，则(6.5)式和Fourierv

2K

n0,1,2,..., K2 K

sin2npn1,2,...,p K pK

2nn0,1,2,..., K 2 Dsin2npn1,2,..., TtcTtXx a2Tt aTt X nTtcTt2a2Ttnn n

方程组(6.13)中第一个方程的周期解为Tteinwt，将其带入(6.13)式的第一个方程可求得常数n为n

nni aa 1cnwaa 1cnwTtcTt

Xx

Tt

Xx

Xxnsinnxncosn

zx,t切xsinxcos 式中，n和n

v Fx, ux,t0xv0nOxcosnwtPxsinnwt

22n

On'xcosnwtPn'xsinnwt OnxnchnxnshnxsinnxnshnxvnchnxcosnPnxnshnxnchnxcosnxnchnxvnshnxsinnO'x nshxvchxsin n n xnchxvsh x

n n P'xnchxvsh

x

n n nshxvchxsinnn

n n nnnEAn22nnnEAn22nnc211 1B

wL

sinwLacoswLal 1 式中，mDD，Bm212lnm1，Bm41m212lnm。其中，DD分别为泵径和抽油杆直径，l 1 值给Ut否由（6.26）式计算粘滞阻尼系数6.1Gibbs6.3

V

n W本文取为1.3。SPE主要根据泵示功图中阀开闭点的位置来确定。曲率变化量的值越大， 度，具体计算流程图如图7.1所示。7.1三点曲率法计算有效冲程的流程图

si2si1sisi15

fi2fi1fifi15

荷，fpi为第i个时刻的载荷平均值。spgspi fpgfpi ifmax步骤5、计算各离散点的曲率值Ki；K定义为夹角对弧度SKd

示功图各离散点的曲率K，即利用泵示功图上任意离散点Xixi,yi及其前一离散点sinLi,S1L 2i1Ki1/R

KLi2 L i1之间的线段长度；S为任意三角形Xi1XiXi1的面积。4L sin4L sinK i1 L LLLi1i i1iS PLi1Li2 2 Li12

yiyi1

xixi1

yi1yi1xi1 步骤6、根据i曲率变化量i

Ki1

Csmcfmc)，则比例位移SRgsmbsmcDsmdfmd)，则比例位移SRysmdsma；阀冲程，取较小者为有效冲程SPE。7.3Pi的离散曲率计算模型为Kii/

arctanfifi2sisi2fifi2sisi2 1s s si1si1fi1

ss f

方法计算中间点的曲率变化量i'，以提高计算精度。即i'i1ii1 闭点，获得实际的固定阀、游动阀冲程，取较小者为有效冲程SPE。 7.57.6为使用两种方法对附件实际产液量Q与理论产液量QthAthQAsj AA7.7步骤1、理论产液量Qth可由式(7.1)求得；7.8积。抽油机上、下冲程中杆柱和管柱之间转移的载荷WL可由下式求得：

lo(1fw)w 柱塞冲程长度Sp可由下式求得：SpS 其中S为悬点冲程，静载冲程损失由下式求出iW'ni L Ei1式中E2.1×1011paLfr 将泵功图沿横坐标等分为n份，每一份的长度为ds。每一份作为矩形来求面积，最nAsjlslx

7.126×13（2：1）7.9所示为附件一7.9将长方形网格以矩阵表示，记为M13,26。首先将所有网格赋“0”，然后将泵示功7.100、1边界的方式是按列进行。最终获得网格示功图的灰度矩阵，如图7.11所示。7.11B f1gbp

f2bg

fS

灰度偏度S

bg

fP

bg

f5Ep

B灰度熵T

FiFifi1,fi2fi3,fi4fi5,fi6i1,2。7.2析能够较揭示比较序列和参考序列间曲线几何形状的接近程度，几何形状越接minminfkfikmaxmaxfkfikk fkfkmaxmaxfkfk 其中i1,2k1,2,6ikfkfikF0Fik

1nkink1i

7.31值7.42行井下示功图的转换非常重要。Gibbs模型建立时，忽略了微元的重力和浮力，从而获Gibbs模型只能将抽油杆的重力和浮力视为悬点处的集中力。很显然，抽油杆的重力和 x8.1考虑重力影响的抽油杆柱微元受力如图8.1所示。这里假设以悬点为原点，沿井深xx+Δxg，截Fbx+Δx处的张力，WgF0为微元所受到的浮力。混合液密度l，阻尼系数设为常数cgFbFtFbWgFgAxtFEA x

FEA

xFcAx

WggAxgFl

a2x2c

g g'gl

似。仅考虑方程(8.7)Gibbs方程一致，即zx,t切xsinxcos

g zx,t2a2 zx,tzx,tzx,tux,tRezx,tzx,tRezx,tg'

zx,tzx,t zx,t g Re EAa 由于初始时刻位移 g2ux,t 0x0OxcosnwtPxsinnwt

22

gFx,t0EA