利用导数研究函数的最值、极值专题

利用导数研函数的极值最值【1－1】已知数f(在R上可，导数′()，且数＝(1′(x)图如所，则列论一成的()函数f(x)极值和小值fB.数(x有大值f－2)极值f(1)函数f(x)极值和小值f－2)D.函数x)极值－2)和小f(2)【1】(2019·天和区拟)已知数fx)＝ln－ax(a当a＝时求f(x)的值讨函x)定域极点个.【1】(2019·泰检)知函f(＝ln求f()图的点，的切方；m若数x)f()－mx＋存在两极点x，，求m的取范.x12【练】(1)(2017·全国卷若x＝－2是函(x＝(2＋－1)·e－1)

的值，f()的小为－1

－2e

－3

－3

(2)(2018·北京设函f(x＝[ax－(4a＋1)＋4a＋3]e①曲y＝f(在(，f(1))处的线x轴平，a②x在＝2处取得小，取范.1

vv【2(2019·广东校考已函数f)＝ax＋ln，中a常数当a＝时，f(的大；若f()在间0上最值－，求的值【练】(2019·合质)知数f(x)＝ex求线＝(在(，f(0))处的线程π求数x)区，

上最值最值【3】(2018·衡中质)在次下研察动，要水潜水为60的底行业根以经，水下的均度v(米单时，每位间用量

3＋1(升)在v水作个位间每单时用量0.9()返水的均速为(/单位间，每位时用量升)，该水在次察动的用氧为y(升.求y于的函关式若c≤≤15(，求当潜度v什值时总氧最.【练】(2017·全Ⅰ)图圆纸的圆为，半为5，纸上等三形ABC的中心O.，，F为圆O上的点△，ECA，分别是，，为底的腰三形沿线2

剪后分以，CA，AB为痕，，△FAB使D，E，F重合，到棱.当△的长化，得棱体(位cm3的最值______.【础固组(议时40分钟一选题函数y＝f(导数图如所，下说错的()－1为函y＝f()的增间B.(3，5)为函y＝f)的递区函数y＝f(在＝0处得大D.函y＝)在＝5处得小设a，函＝e＋ax有于的值，()1－1B.a－1a>D.－e已知函x＝3＋2＋＋2在＝1处极值10则等()或18C.18D.17或18函数f(x)＝3x2＋ln－2x的极点个是B.1C.2无x5.(2019·岛模已函f(x＝2ef′(e)ln－(e是然数底)，的大为)3

－1B.－C.1D.2ln二填题函数f(x)xe－x，x∈[0，4]的大值_已知函x＝x＋ax－4在＝2处得值若m∈[－1，1]则(m)最小是_______.x3若函数f(＝－x22

＋x在间，3

上极点则数取范是_______.三解题设函数f(＝－bx2(x，若函f)＝1处直y＝相切求数，的；求数x)，e

上最值10.(2018·天津选设函(x)＝(x－t)(x－t－t)其，t∈R，，t，公差123123123d的差列若t，d＝1，求线＝f(x在(，处切方；2若d＝3，f(的值【力升组(议时20分钟郑州检)函y＝(x)在n－1(∈N*)极点则＝(x为n折函，如x)x2

为折函.知数f(＝(x＋1)e

x－x(x＋2)

，f()()折函折函

B.3折函数D.5折函数4

若数x)x－lnx在其义的个区(k－1，k＋1)存最值则数的取范是13.(2019·杭州检传中悟的如金棒”由定神”形来.这海针变时永保为柱，底半原12cm且以每1等率短而度每20cm等率长已神的面径能12cm缩到4cm，且在段形程，底半为10cm时体积大假孙空神体最时形金棒则时箍的面半为cm.设f()＝xln－ax

＋(2a－1)x(数a>0).令g()＝fx，g(的调间已f()在x处得大，实取范.试题新)x∈[1，4]时不等0ax＋bx＋4a≤42恒成，a＋b的值围是－4，8]－2，8]C.[0D.[45

极大值极大值【1－1】已知数f(在R上可，导数′()，且数＝(1′(x)图如所，则列论一成的()函数f(x)极值和小值f函数x)极值f(－2)和极值f函数f(x)极值和小值f－2)D.函数(有大－2)和极值f【案D【析

由图知当x<－2时，′(x；当－x<1时f′(x)<0；1<x<2时，f′(；x>2时f′(由此以到数f(x)x＝处取极值在处得小.【律法

由象断数y＝f(的值要住点(1)y＝fx)图与x轴的点可得数y＝fx)可极点(2)导函y＝fx的象以看y′(的的负从可函＝(x)的调.者合得值.角2已函数极【1】(2019·天和区拟)已知数fx)＝ln－ax(a当a＝时求f(x)的值讨函x)定域极点个.【案见析1112－x【析(1)a＝时，fx)＝lnx－x，数定域(，＋且f′(x)－＝，222x令fx＝0，x＝2，于当x变化，f′(x)f(x的变情如表xf′(x)f)

，2)＋

2－1

，＋－故f(在义上极值(xf＝ln2－1无小.由1)知，数定域(，＋，6

aaaa1－axf′(x＝－a＝(x当a≤0时，f′(x在0，∞)上恒立即数(，∞)上单递，时数定域无值；当a时当∈，

时f′(x)>0，当x∈，∞

时f′(x，故数x＝有大值a综可，a≤0时，数x)极点当a时函＝(有个大点且＝.a【律法

运导求导数＝f)极的般骤先求函数y＝fx)定域再其导f′(；(2)方′(＝0的；(3)查数′()在程的右的的号如左右负那fx)这根取极值如左右，么x在这根取极值特注：数为的不定极点角3已函数极最值参数取【1】(2019·泰检)知函f(＝ln求f()图的点，的切方；m若数x)f()－mx＋存在两极点x，，求m的取范.x12【案见析【析(1)fx的义为(，∞)且′(x)＝x设点标(x，lnx)则线程y＝x＋lnx－1.0000把，－1)代入线程得lnx＝0∴x＝1.00∴点P(0，的切方为＝x－1.m因g()＝fx－mx＝lnx－mx＋(>0)，xm－mx2－m2－＋m所′(＝－－＝＝－，xx22x2令h(＝2

－x＋m，要x存在个值x，，12则程mx－x＋m有个相的数，x.127

h，故需足，即可解.m【律法已知数值确函解式的数时要意(1)据值的导为0极这个件方组利待系法解(2)为数等不是点极点充条，以待定数求后须验【练】(1)(2017·全国卷若x＝－2是函(x＝(2＋－1)·e－1)

的值，f()的小为－1

－2e

－3

－3

【案A【析

f′(＝[x2

＋(a＋2)x＋－1]·e

，则f－2)＝[4－2(＋2)＋－1]·e－3＝0a－1则f(＝(x2

－x－1)·e

x－1，fx)＝(x2

＋－2)·e

x，令fx＝0，x＝－2或x，当x<－2或x时f′(，当2<x<1时，f′(x，所是函fx)极值，则f(极值＝－1.(2)(2018·北京设函f()＝[ax2－(4a＋4ax①曲y＝f(在(，f(1))处的线x轴平，a②x在＝2处取得小，取范.【案见析【析①为x)2a＋1)＋4＋3]e，所′(＝[ax2a＋2]ex.f′(1)＝(1－由设f＝0即1－＝0，解a此＝3e≠0.所值1.②′(x)＝[2

－(2＋1)＋2]e＝(ax－1)(x－2)ex.8

aa1∴x)＝faa1∴x)＝faamax若a>，当，2，′(x；当x∈(2＋∞)，f′(x)>0.所x在＝2处取得小.1若a≤，当∈(0时，－2<0，ax－1x－1<02所′(所以2不f(x的小值.综可，a的取范是，＋考二

利导求数最【2(2019·广东校考已函数f)＝ax＋ln，中a常数当a＝时，f(的大；若f()在间0上最值－，求的值【案见析【析(1)知f(x)的义为0＋∞)，1－x当a＝－1时fx＝x＋lnx，f′(x＝－1＋＝，x令fx＝0，x＝1.当x时，fx；x>1时，′(∴x)(，1)上是函，(，∞)上是函.∴x)＝f(1)－1.max∴＝－1时，数(在0＋∞)上最值－1f′(x)＝＋x∈(0，e]，∈，＋x①≥－，则f′(x)≥0，而fx在(，e]上增数∴x)＝f(e)ae＋1≥0，合意max11②－，f′(x)>0得＋>0，合∈(0，e]，得x－；x1令fx)<0得a＋<0结∈(0，解得<≤e.x1从x在－上增函，－，e

上减数＝－1＋ln

9

aaππaaππmaxmin1令1＋ln－＝－3得ln－2，即a＝2∵－e2<，∴a＝

2

为求故数a的值－e2.【律法1.用数函f(在，b]的最的般骤求数(，)的值(2)函在区端处函值a)，f(；(3)函x的极与f，f(比，中大一个最值最的个最值函在穷间或区)的值不要究极值况还研其调，通单性极情，出数大图，后助象察到数最值【练】(2019·合质)知数f(x)＝ex－x.求线＝(在(，f(0))处的线程π求数x)区，

上最值最值【案见析【析(1)(＝ex·cosx－x，f＝1，f′(x＝ex－sinx)－1∴′(0)＝0，∴＝()在0f处的线程－1＝0·(－0)，即y＝1.f′(x)＝ex(cosx－sin－1，令g)′(，π则gx＝－2esinx在，2且在x处号立

上成，∴x)2

上调减∴x)g(0)＝0，f′(≤0且在处等成，∴x)2

上调减ππ∴x)＝f(0)＝1，fx)＝－.2考三

利导求最化题【3】(2018·衡中质检在次下研察动，需潜员入深60米的水进作10

v3vvvvvvv3vvvvvv业根以经，水下的均度v(米单时，每位间用量

3

＋1(升)在v水作个位间每单时用量0.9()返水的均速为(/单位间，每位时用量升)，该水在次察动的用氧为y(升.求y于的函关式若c≤≤15(，求当潜度v什值时总氧最.【案见析【析由题，潜时(位间，氧为＋1

32×＋升)水作时用120180量10×0.9＝9(升，回面用＝(单时)用量×1.5＝()v240因总氧y＝＋9(v>0).6v3v－2）3y′－＝，令y′＝0得＝102，v2v23当v<102，′<0函单递；3当v>102，y′>0，函单递增333若c<102，函在c2)单递，在102上单递，3∴＝102时，用量少3若c≥102则y在[，15]上调增∴＝时这总氧最.【律法利用导解生中化题一步：设变、变，立函关式＝f(，确其义；求数导′(x)解程fx)＝0；比函在间点f＝0的点的数的小最()为最()；回实问作.如果目函在义内有个值，那根实意该值就最点.11

【练】(2017·全Ⅰ)图圆纸的圆为，半为5，纸上等三形ABC的中心O.，，F为圆O上的点△，ECA，分别是，，为底的腰三形沿线剪后分以，CA，AB为痕，，△FAB使D，E，F重合，到棱.当△的长化，得棱体(位cm3的最值______.【案415【析

由意连，交BC点G，由意OD⊥BC，设＝x，＝23x，DG＝5－x，三锥高＝DG2－OG2＝25－10x＋x－x2＝25－10x，＝·(23eq\o\ac(△,S)ABC

2

·sin60°＝332

，则棱的积＝·h＝3x2eq\o\ac(△,S)

·25＝3·254－105

，令f(＝254－10x5x∈，2

，则fx＝1003－50x4，令fx＝0得x＝2，当x∈(0，2)时，f′(x，f(单递；当x∈，2

时f′(x，f(x)调减故时，x)得大80则V≤80∴积大为415cm312

【思感】函的值最，常化对函的调的析论所，究数单性极值最归结都对数调的究研究数性借数结的方有于题解.数单性借导数图分导的正；数极常助函的象析函的号点函数最常助函图来析值点解函数优问关是实问中象出数系并出数最.【错范求函数极、数优问易视数的义.已知极点参时由值处数为求出数，忽对值两导异的验.由极值最求数，忽参应足的提围如义)导出了解.【层练【础固组(议时40分钟一选题函数y＝f(导数图如所，下说错的()－1为函y＝f()的增间，5)为函＝(的减间函数y＝f(在＝0处得大函数y＝f(在＝5处得小【案C【析由函yf()导数图可，x)单递区是－，－1)，(3，5)单调增间(－1，3)，∞)，以x在＝取极值在＝3取极值故选C错.设a，函＝e＋ax有于的值，()－1

－1－

－

13

xx【案A【析

因y＝ex＋，以y′＋a.又数y＝ex＋有于的极点则程y′＝ex＋＝0有于的，当x时－ex<，所a＝－ex<－1.已知函x＝3＋2＋＋2在＝1处极值10则等()或18【案C【析∵函数fx)x＋ax2＋＋2

D.17或18在＝1处有值，f＝10，且′(1)＝0，x＝2

＋2＋，＋b＋a＝10，－3＝4，∴得a＋b，－11.－3，而，函在＝1处极，舍.∴x)x＋4x2

－11x＋16∴＝18.函数f(x)＝3x2

＋ln－2x的极点个是()B.1无数【案A【析

函定域(，∞)，6x－2＋1且fx＝6x＋－2＝，xx由，x＝6x－2x＋1的Δ＝－20<0所x)>0恒成立故f′(x恒成，即f(在义上调增无值.x5.(2019·岛模已函f(x＝2ef′(e)ln－(e是然数底)，的大为)－1

－

D.2ln【案D【析

由意，f′(x＝

′（e1－，1∴′(e)′(e)，f′(e)e14

1因′(＝－，f′(x)＝0，＝2e.xe∴x)在0，2e)上调增在(，＋∞)单递.∴x)＝2e处取大f－2＝2ln2.二填题函数f(x)xe－x，x∈[0，4]的大值_【案【析

f′(＝exx－x＝ex(1－x)令fx＝0，x＝1.1又f(0)，f＝，f＝e＝，4e∴＝为最值.已知函x＝x＋ax－4在＝2处得值若m∈[－1，1]则(m)最小是_______.【案－4【析

f′(＝－32＋2ax由f()在x处得值′(2)＝0即3×4＋2×2＝0故a＝由可fx)－x3＋32

－4.f′(x＝－3x2

＋6x，此得f(在－1，0)上单递，(，1)上单递，∴∈[－1，1]时f(＝＝－4.minx3若函数f(＝－x22【案，

＋x在间，3

上极点则数取范是_______.【析

函fx)区，3

上极点价′(＝0有2个相的根在，3

内根由f＝0有2个相的根得或a>2.fx)，310，以≤.有，x＋，x3综，取范是

内根得＝＋在，3x

内三解题设函数f(＝－bx2(x，若函f)＝1处直y＝相切15

求数，的；求数x)，e【案见析

上最值【析(1)f(＝alnx－bx

ax>0)，f′(x)－2bx，x∵数f()x＝1处与线＝－相切′(1)a－2b＝0，＝1∴1解得1f＝b＝，b＝.22由1)知，fx)x－x2

，1－2则fx＝－x＝，xx1当≤x≤e时，f′(x，≤x<1，e令fx，1<x≤e，∴x)

上调增在1，e]单递，∴x)＝f(1)－.max10.(2018·天津选设函(x)＝(x－t)(x－t－t)其，t∈R，，t，公差123123123d的差列若t，d＝1，求线＝f(x在(，处切方；2若d＝3，f(的值【案见析【析(1)已，f(＝x－1)(＋1)＝3－x，故fx＝3x2－1.此＝0，f＝，又为线＝fx在(，处的线程y－＝f′(0)(x－0)，故求线程为x＋y由知x)x－t＋3)(－x－t－3)＝(－)3－9(－＝3－32＋(32－9)－t3＋9.222222故fx＝3x2－6txt2－9.22令fx＝0，得x＝t－3或x＝t＋3.22当x变化，f′(x)fx)变情如表16

xfx

－∞t－3)2＋

t－32

t－3，t＋3)22－

t＋32

(t＋3＋∞)2＋f(

极值

极值所函f(的极值f(t－3)＝(3)3－9×(－3)＝63函)的小值t＋3)＝223)3－9×3＝－63.【力升组(议时20分钟11.(2019·郑州检若数y＝x存n－1(∈N*)极点则＝)n折函数，如x＝x2

为折函.知数f(＝(x＋1)e

x－x(x＋2)

，f()()折函折函【案C

B.3折函数D.5折函数【析

f′(＝(xx－(x＋2)(3x＋2)＝(xx－3－2)，令fx＝0，x＝－2或ex＝3x＋2.易＝－2是f(的个值，又x＝3x，合数象y＝e与yx＋2有两个点又e≠3(＋2＝－4.∴数y＝f(有个极点则)为4折数若数x)x－lnx在其义的个区(k－1，k＋1)存最值则数的取范是【案，2【析

1因f(的义为(，∞)，因′(＝4－，所以f′(x)解得x＝，由x21－1<<k＋1，3意解1k<.－1≥013.(2019·杭质)说孙空“意箍”由“海针变得的.这海针变时永保为柱，底半原12cm且以每1等率短而度每20cm等率长已神的面径能12cm缩到4cm，且在段形程，底半为10cm时体积大假孙空神体最时形金棒则时箍的面半为cm.【案417

2aa12aa12aaa【析

设针来长为acmt时针体为V(cm3，则V(＝π(12－t)·(a＋20t)其0≤t≤8，所′(＝[－2(12－a＋20t)＋(12－)2·20]π.因当面径10时其积大