2005考研数三真题及解析

2005年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题:1-6小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.TOC\o"1-5"\h\z⑴极限limxsin生= .XT8 X2+1微分方程xy'+y二0满足初始条件y(1)二2的特解为 .设二元函数z二xex+y+(X+1)ln(1+y),则dz二 .(1,0)⑷设行向量组(2,1,1,1),(2,1,a,a),(3,2,1,a),(4,3,2,1)线性相关，且a丰1,则a=从数1,2,3,4中任取一个数，记为X,再从1,2,…,X中任取一个数，记为Y,则P｛Y二2｝= 设二维随机变量(X,Y)的概率分布为x、y0100.4a1b0.1已知随机事件｛X二0｝与｛X+Y二1｝相互独立，则a= ,b= 二、选择题:7-14小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.(7)当a取下列哪个值时，函数f(x)二2x3-9x2+12x-a恰好有两个不同的零点()(7)(A)2.(B)4. (A)2.(B)4. (C)6.(D)8.DD={(x,y)x2+y2DD={(x,y)x2+y2<1}，则((A)I>I>I321(B)I1>I>I23(C)I>I>I213(D)I>I>I312(9)>0,n二1,2,…,若艺an=1发散,区(-1)n-1a收敛，则下列结论正确的是()nn=1(8)设I=Ucos£x2+y2db,I二JJcos(x2+y2)db,I二JJcos(x2+y2)2de，其中(8)1 2 3D

(A)艺a 收敛,区a(A)艺a 收敛,区a发散.(B)2n-1 2nn=1n=1区a收敛,区a 发散.2n 2n-1n=1 n=1©乙(a2nJa2n)收敛.n=1◎为(a2n-1-a2n)收敛.n=1TOC\o"1-5"\h\z设f(x)=xsinx+cosx，下列命题中正确的是( )兀 兀(A)f(0)是极大值,f(q)是极小值. (B)f(0)是极小值,f(~)是极大值.兀 兀(C)f(0)是极大值,f(q)也是极大值.(D)f(0)是极小值,f(㊁)也是极小值.以下四个命题中,正确的是( )若广(x)在(0,1)内连续，则f(x)在(0,1)内有界.若f(x)在(0,1)内连续，则f(x)在(0,1)内有界.若f(x)在(0,1)内有界，则f(x)在(0,1)内有界.若f(x)在(0,1)内有界，则f'(x)在(0,1)内有界.设矩阵A=(a)满足A*=At，其中A*是A的伴随矩阵,At为A的转置矩阵.若j3x3a,a,a为三个相等的正数，则a为()TOC\o"1-5"\h\z11 12 13 113 1 .3(A) —. (B) 3.(C) 3. (D) &设九］,九2是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为H，a2,则«1,A(a1+a2)线性无关的充分必要条件是()(A)九=0. (B)九=0. (C)九H0. (D)k丰0.1212设一批零件的长度服从正态分布N(P,b2)，其中卩Q2均未知.现从中随机抽取16个零件,测得样本均值x=20(cm)，样本标准差s=1(cm)，则卩的置信度为0.90的置信区间是()

TOC\o"1-5"\h\z1 1 1 1(A)(20— _t (16),20+—t (16)). (B)(20——t (16),20+—t (16)).4 0.05 4 0.05 4 0.1 4 0.11 1 1 1(C)(20— 丁t (15),20+丁t (15)). (D)(20—t (15),20+二t (15)).4 0.05 4 0.05 4 0.1 4 0.1三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(本题满分8分)+ (1+x1、求lim( ——XT。1—e-x X(本题满分8分)设f(u)具有二阶连续导数，且g(X,y)=f(-)+yf(-)，求X2 -—y2g.x y ox2 oy2(本题满分9分)计算二重积分H|x2+y2—l*b,其中D={(x,y)|0<x<1,0<y<1}D(本题满分9分)求幕级数£( —1)x2n在区间(-1,1)内的和函数S(x).2n+1n=1(19)(本题满分8分)设f(x),g(x)在[0,1]上的导数连续,且f(0)=0，广(x)>0,g'(x)>0.证明:对任何ag[0,1],有Jag(x)f'(x)dx+J*1f(x)g'(x)dx>f(a)g(1).00(20)(本题满分13分)已知齐次线性方程组和(II)x+bx+cx=0,1232x+b和(II)x+bx+cx=0,1232x+b2x+(c+1)x=0,

1 2 3(I) <2x+3x+5x=0,1 2 3x+x+ax=0,1 2 3同解，求a,b,c的值.（21）（本题满分13分）_A C_设D= D为正定矩阵，其中A,B分别为m阶,n阶对称矩阵,C为mxn矩阵.CTB

E-A-iC⑴计算PTDP，其中P二moEn(II)利用(I)的结果判断矩阵B-CtA-iC是否为正定矩阵，并证明你的结论.(22)(本题满分13分)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)二i，0,0<x<1,0<f(x,y)二i，0,求:(I)(X,Y)的边缘概率密度f(x),f(y)；XYZ二2X-Y的概率密度fz(z).P{Y<2X<2}.(23)(本题满分13分)设X,X，…,X(n>2)为来自总体N(0,b2)的简单随机样本，其样本均值为X，记1 2nY二X—X,i二1,2,…,n.ii求:(I)Y的方差DY,i=1,2,…,n；iiY［与Y的协方差Cov(Y,Y).1n 1n若c(Y+Y)2是b2的无偏估计量，求常数c.1n2005年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(1)【答案】21【详解】这是一个e0型未定式，令2005年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(1)【答案】21【详解】这是一个e0型未定式，令t二一有xlimxsinxTe2t

sm二limtT0 tsin2t 2t二lim二lim二2

tT0t tT0t(2)【答案】xy二2【详解】方法1:观察原微分方程知,(xy)'二xy'+y二0，积分得原方程的通解xy二C,代入初始条件得1-2二C，即C=2,故所求特解为xy二2.dydx方法2:变量分离法求解.由xy+y=0,分离变量为—=--yx积分得ln|y|=-ln|x|+lnC，即|y|=C-.去掉绝对值号，认为C可取负值,C得通解y二.x以y(1)二2代入得C=2,得特解xy二2.(3)【答案】2edx+(e+2)dy详解】求二元函数偏导数时,可将令一变量暂时看作定值。dz对x求偏导数(此时y为定值)得 二ex+y+xex+y+ln(1+y),ox对y求偏导数(此时x为定值)得oz x+1=xex+y+ ——oy 1+y于是z的全微分为dz= dx+ dy=(ex+y+xex+y+ln(1+y))dx+(xex+y+ox oy)dy所以,dz|(1,0=)2edx+(e+2)dy.(4)【答案】12得a=得a=1,a=2,但题设a丰1,故a二*方法1:由题设,向量组线性相关,故其组成的行列式为零,有21111列-2列x201000a-1a—121aa3列-2列4列-2列01a-1a—1按第1行展开1 ( 1二1x(-l)1+2-1-1a—2321a-12-1a—2-2-1-24321-23-1-2（其中（-1）1+2指数中的1和2分别是1所在的行数和列数）0a-1a—10a—10=—-1-1a—23列-2列-1-1a—1-2-1-2-2-1-1按第1行展开-(a-1)x(—1)1+2-1-2a—1-1-(a-1)[1+2(a-1)]-(a-1)(2a-1)-0（其中（-1）1+2指数中的1和2分别是（a-1）所在的行数和列数）方法2:4][a,a,a,a]二1233]4行-3行4][a,a,a,a]二1233]4行-3行-1-2交换2，3行的位置a-1-1-1a-1-1]<4,a=1或a二1,10001行-2行x23行-2行4行-2行123]0-1-2a-1-1-1a-1a-2-2123]a-1-1-10-1-200—2a+113(5)【答案】48【详解】由全概率公式:P{Y=2}=P{X=1}P{Y=2|X=1}+P{X=2}P{Y=2|X=2}+P{X=3}P{Y=2|X=3}+P{X=4}P{Y=2|X=4}X表示从数1,2,3,4中任取一个数，故X是等可能取到1,2,3,4,所以P（X二i）二1,i二1,2,3,4而Y表示从1,2,…,X中任取一个数，也就是说Y是等可能取到1,2,…,X也就是说Y在X的条件下等可能取值，即P{Y=2|X=1}=0（X取1的条件下,Y取2是不可能事件）1P{Y=2|X=2}=-（X取2的条件下,Y在1,2等可能取值）1P{Y=2|X=3}=3（X取3的条件下,Y在1,2,3等可能取值）1P{Y=2|X=4}=4（X取4的条件下,Y在1,2,3,4等可能取值）故 P{Y=2}=P{X=1}P{Y=2|X=1}+P{X=2}P{Y=2\X=2}1 111 13P{X=3}P{Y=2|X=3}+P{X=4}P{Y=-X=4}=二x（0+-+§+才）=眾・（6）［答案】a= 0.4 ,b= 0.1【详解】方法1:由二维离散型随机变量联合概率分布的性质W P=1,有0.4+a+b+0.1=1,ijij可知a+b=0.5,又事件{X=0}与{X+Y=1}相互独立，于是由独立的定义有：P{X=0,X+Y=1}=P{X=0}P{X+Y=1},而P{X=0,X+Y=1}=P{X=0,Y=1}=aP{X+Y=1}=P{X=0,Y=1}+P{X=1,Y=0}=a+b=0.5由边缘分布的定义:P{X=0}=P{X=0,Y=0}+P{X=0,Y=1}=0.4+a代入独立等式，得a=（0.4+a）x0.5，解得a=0.4,b=0.1,方法2:如果把独立性理解为：P{X+Y=1|X=0}=P{X+Y=1}（因为独立，所以{X+Y=1}发生与{X=0}发不发生没有关系），即P{Y=1|X=0}=P{X+Y=1}=a+b=0.5;所以 P{Y=0|X=0}=1-P{Y=1|X=0}=1-0.5=0.5；因此 P{Y=11X=0}=P{Y=0|X=0}=0.5上式两边同乘以P{X=0},有P{Y=11X=0}P{X=0}=P{Y=0|X=0}P{X=0}

由乘法公式:P(AB)二P(AIB)P(B)，上式即为P{X二0,Y二0}二P{X二0,Y二1}即0.4=a.又因为a+b=0.5，得b=0.1.二、选择题(7)【答案】(C)【详解】先求出函数的单调区间和极值点,从而利用介值定理判定函数的零点。因为f'(x)二6x2-18x+12=6(x-1)(x-2)，知可能极值点为x二1,x二2，从而可将函数划分为3个严格单调区间:Y,1)，f'(x)>0,f(x)为严格单调增；(12),广(x)<0,f(x)严格单调减；(2,+s),f'(x)>0,f(x)严格单调增，并且limf(x)二s,limf(x)二+w.xT-8 xT+8如果f(x)恰好有两个零点,则必有f(1)二0或f⑵二0(否则有三个或一个零点)，解之得a=5或a=4.故应选(B).(8)【答案】(A)【详解】在相同的积分区域上比较被积函数的大小,利用二重积分性质可比较二重积分大小在区域D二｛(x,y)x2+y2<1｝上,除原点x2+y2二0及边界x2+y2二1外，有\：'x2+y2>x2+y2>(x2+y2)2而在0<u<1内,COSu是严格单调减函数，于是COS\：'x2+y2<cos(x2+y2)<cos(x2+y2)2因此匕Ucos因此匕Ucos1：x2+y2db<cos(x2+y2)db<cos(x2+y2)2db，故应选(A).(9)【答案】(D)【详解】方法1:排除法.取a-—,则区a发散,区(-1)n-1a收敛，但 a均发散,排nn n n 2n-1 2nn-1 n-1 n-1 n-1除(A),(B)选项.又艺(a +a又艺(a +a)的通项2n-1 2nn-11 1 4n-1+—2n-12n2n(2n-1)>3-—4丄,因为4n24n艺1发散,所nn—1以区(a +a)发散•故排除(C),从而应选(D).2n—1 2nn=1方法2:将题设收敛的级数艺(—1)n-1a展开n)+・・・=^()+・・・=^(a -a)2n—1 2nn=1^^(-1》-ia=a—a+a—a+a—a+…力口括(a—a)+(a—a)+(a—a.n1 2 3 4 5 6 = 1 2 3 4 5 6n=1由级数基本性质知,收敛级数可以任意添加括号故应选(D).(10)【答案】(B)【详解】先求出函数的驻点,再判定极值。f'(x)=sinx+xcosx一sinx=xcosx,兀 兀显然/(0)=0,/(_2)=0,所以x=°,x=—为驻点。兀 兀又f"(x)=cosx—xsinx，且f"(0)=1>0,f近)=——<°,故f(0)是极小值,f(㊁)是极大值,故应选(B).(11)【答案】(C)【详解】11方法1:排除法:设f(x)=_,则f(x)及f"(x)=— 均在(0,1)内连续，但f(x)在(0,1)内x x2无界，排除(A)、(B);又f(x)=丘在(0,1)内有界，但广(x)=无界，排除(A)、(B);除(D).故应选(C).方法2:论证法.如果f"(x)在区间(0,1)内有界,则对于正数M，使(0,1)内的一切x,有|f'(x)|<M.在(0,1)内取定点x0，则对于任意xg(0,1)有f(x)—f(x0)=f"(g)(x—x0),gg(0,1)(拉格朗日中值定理)于是 If(x)|<If(x0)|+|f"(g)1x—xj<|f(x0)|+M,所以f(x)在(0,1)内有界.(12)【答案】(A)【详解】

(aaa)(a a a'11 21 3111 21 31aaa=(aaa)(a a a'11 21 3111 21 31aaa=aa a12 22 3212 22 321aaa1、aa a丿由A*=a=A,i,j=1,2,3,其中A为a的代数余子式,ijij ijij二At,(矩阵相等，则对应元素都相等)有又由AA*=AAt=|A|E，矩阵乘积的行列式等于行列式的乘积,|A|E=|A||a|丿故||AA|a|=|aI3,故AAt|=|a|-|at|=|a|-|a|=|a|2=||a|e=|a|3n|a|2=|a|3n|a|=0或\a\=1AAt于是|A|=1,即而|A|=aA+aA+aA=a2+a2+a2 =3a2于是|A|=1,即11 11 1212 1313 11 12 13 113a2=1,a=±士,a是正数，故。［广痔.故正确选项为(A).11 11 3 11 11 3(13)【答案】(D)【详解】方法1:利用线性无关的定义a,a分别是特征值九,九对应的特征向量，根据特征值、特征向量的定义，有1212Aa=Xa,Aa=XanA(a+a)=la+九a。111222121122设有数k,k，使得ka+kA(a+a)=0,则1211212ka+kXa+kXa=0n(k+kX)a+kXa=0.112112221211222因X1丰、，因不同特征值对应的特征向量必线性无关，故a1，a2线性无关，则k+kX=0,121kX=0.221X°当na1=X丰0时,方程只有零解，则k=0,k=0,此时a,A(a+a)线性无关；0X2 1 2 1 1 22反过来，若a,A(a+a)线性无关，则必然有X丰0(否则,a与A(a+a)=Xa线112211211性相关),故应选(D).

方法2:将向量组的表出关系表示成矩阵形式a,a分别是特征值九,九对应的特征向量，根据特征值、特征向量的定义，有1212Aa二九a,Aa二九anA(方法2:将向量组的表出关系表示成矩阵形式a,a分别是特征值九,九对应的特征向量，根据特征值、特征向量的定义，有1212Aa二九a,Aa二九anA(a+a)二九a+九a。111222121122由于(a,A(a+a))=(a,九a+九a)=(a,a)1121112212(1、0因九鼻九,因不同特征值对应的特征向量必线性无关12a,A（a+a）线性无关，则r（a,A（a+a））=2,则112112,知HQ2线性无关.若(a,a)121丿J<min<r(a,a12),2Lrf1J〔o<2,f1〔0<2,从而rf1〔0九1广2,从而02九1九21九10九2(a,a)12f1〔0九）1九丿2丿2,又a,a线性无关，则12f1〔0九1丿f1〔0九）1九丿2丿r(a,A(a+a112))=r(a,a12f1九1丿〔0九2丿丿1九,从而a,A（a+a）线性无关的充要条件是门J二九丰0.故应选（D）.1 1 2 0入2 V72方法3:利用矩阵的秩*a2分别是特征值九J九2对应的特征向量，根据特征值、特征向量的定义，有Aa二尢a,Aa二尢anA(a+a)二尢a+尢a。111222121122因九鼻九,因不同特征值对应的特征向量必线性无关 ，故a,a线性无关，又1212A（a+a）二九a+九a故aA（a+a）线性无关or（a,A（a+a））二2121122112112,, （a 、 ）将％的-人倍加到第2列（a）又因为 （a,入a+入a） 1 1二 （a,入a）11122122则r（a,九a+九a）二r（a,九a）二2o九主0（若九二0与r（a,九a）二2矛盾）1112212222122

方法4:利用线性齐次方程组*a2分别是特征值bX2对应的特征向量,根据特征值、特征向量的定义，有Aa=Xa,Aa=XanA(a+a)=Xa+Xa。111222121122由X1丰.，因不同特征值对应的特征向量必线性无关，故巴,a2线性无关,巴,A（a1+a）线性无关o*甲1+X2a2线性无关12o(a,Xa+Xa)X=0只有零解，又(a,Xa+Xa)=(a,a)121112211122o(a,a)12(1o(a,a)12(1XY110X2x)1

八X2丿二0只有零解oa,a 时（a,a）Y=0只有零解，故Y二1212(1、0X)1

八X2丿XY1X2二0,只有零解,(1XY(1XY110X2X)1

八X2丿二0的系数矩阵是个可逆矩阵,1X1X10X2=X2丰0，故应选（D）方法5:由X1巳,巒2线性无关*a2分别是特征值珀，J对应的特征向量，根据特征值、特征向量的定义，有Aa=Xa,Aa=XanA（a+a）=Xa+Xa。111222121122向量组（I）：a,a和向量组（II）:a,A（a+a）=Xa+Xa.显然向量组（II）可121121122以由向量组（I）线性表出；当X丰0时，不论—的取值如何,向量组（I）可以由向量组（II）21线性表出a=aa=(-—1a)+—(Xa+Xa)= ・a+—A(a+a)1 12X1X11 22X1X12,2222从而(l),(ll)是等价向量组n当X丰0时,r(a,a)=r(a,Xa+Xa)=221211122

(14)【答案】C【详解】由题设随机抽取16个零件，相当于X,X，…,X为来自总体N(u,q2)的简单随机1216样本，知X,X，…,X相互独立。由正态总体抽样分布的性质:N(PQ2)中，当4Q2未知1216x—u时，估计U用统计量T, 〜T(N—1),期望值U的置信区间公式S窗SS(X—T(n—1),X+=T(N—1))

Na N亠>_>_a,T〜t(n—1)其中td(N—1)满足P卡T|>td(n—1)；I20102本题中,n_16,X_20,S_1,a_1—0.90_0.10,t(n—1)_t(16—1)_01020.05X一u話〜⑹一1),故u的置信度为090的置信区间是:(n—(n—1))，(x— T(N—1),x+ T(N—1))_(x—T(n—1),x+Na Na Nd22240.05艮卩(20——t (15),20+—t(15)).故应选40.0540.05 40.05三、解答题(15)【详解】1+x1通分 x+x2—1+e—xlim(—)_limxt01—e—xx xt0x(1—e—x)等价无|小替换limX+X2-1+E一XxtOx2洛必达法则1+2x—e—x洛必达法则limxt02x2+e—xlimxtO 2(16)【详解】由已知条件可得dg_dg_ddx dx)X

dx(丄) oxF，(-)+-x02gox20(—丄广己)+广二))X2 Xdx0(-)F(》)+(—丄)孚+孚x x20x 0xdx=強八z）+兰厂芒）+1厂芒）x3 xx4 xyy另一方面我们得到,豊=+八|）+f©）-护（；）,\善=空峑吝丄=丄f-，(2)—王f，(-)+二f，(-)+xf，(-)°y2 °y °y x2 x y2 y y2 y y3 y°2g所以如-如2”+兰雋+兰f心-兰f牡）-乂f亠空用）.x x2 yyyX2 -y2°x2 °y2xx2xyyxx的圆周，划分D如下图为D1与D2.（17）【详解】D:x2+y2—1—0为以O为中心半径为1方法1：d(x,y)gD2(x,y)gD1x2+y2—1*b=-JJ(x2+y2-1)dxdy+JJ(x2+y2-1)dxdyD一D1后一个积分用直角坐标做,JJ(x2+y2—1)dxdy=J1dxJ1——(x2+y2—1)dy0 "1-x2D2D21 1 3=J1[(x2-1)-(x2 -X2+—-一(1-X2)2]dxo 3 3=J1[(X2-—)+3(1-x2)—]dx=J1X2dx- 1(1-X2)1dx033003301 2住, 1 2任1+cos2t、,=——+ 2cos4tdt=——+ 2( )2dt3 3o 3 3o八1215=一一+—x2(1+2cos2t+cos22t)dt3 34o121 1+cos4t、7———+—x 2(1+2cos2t+ )dt3 340 2121叵]1 cos4t、7———+—x 2(1+—+2cos2t+ )dt3 34/ 2 21213兀21任 cos4t、7=——+x—x—x+x2(2cos2t+ )dt3 3422 34o 21n 2 1门 1兀———+—+—x—x0———+—3 8 34 3 8 ■前一个积分用极坐标做，ff(1—x2—y2)dxdy—f2dof1(1—r2)rdr—f2(】一1)d0—.0 0 024 8D1所以ff1 n 1 n n 1x2+y2—1d^=—+——+—=———r 8 3 8 4 3方法2:由于区域D的边界复杂，计算该积分较麻烦，可以将D内的函数“扩充”到整个区域22D=DUD，再减去“扩充”的部分，就简化了运算.即■2ff(x2+y2—1)db—ff(x2+y2—1d—ff(x2+y2—1)dcx2+y2 ff( +ff(x—ff(1—x2—y2)d+ff(x2 ff(x2+y2—1)db—2ff(1—x2—y2)db+ff(x2+y2—1)daD1 Dff(1—x2—y2)dxdy—f2dof1(1—r2)rdr—f2(丄—i)d0=—.0 0 024 8因此fDf2由极坐标D1ff(x2+y2—l)db—f1dyf1(x2+y2—1)dx—f1[兰+(y2—1)x]dyTOC\o"1-5"\h\z0 0 03 0—f1[1+y2—1]dy—f1(y2—2)dy—[兰—-y]1-—-所以ff03 ° 3 3 3 0 3所以ff八cn1n1

x2+y2—1ld^=2x———=———

『 8 34 3

（18）【详解】设S（x2艺（召-i）x2"，Si（x）正2nZ1x2n5S2（x）正x2n5n=1 n=1 n=1S(x)=无(nS(x)=无(n=112n+1—1)x2n=艺n=11x2n2n+1—工x2nn=1=S(x)—S(x),xG(—1,1).12由一1+x+x2+•••+xn+•… xn,xG(—1,1)得1—xn=0TOC\o"1-5"\h\z\ 只 x2S2(x)xG(—1,1).= xS2(x)xG(—1,1).1—x2n=1 n=0亍x2n+1 扩x2n+1 扩 x2另一方面,(xS(x)y=(乙一-y=乙uy丄x2n=—, xg(—1,1),1 2n+1 2n+1 1—x2n=1 n=1 n=1因此,由牛顿—莱布尼兹公式,得t2 11+xxS(x)—0XS(0)=Jx-dt=—x+In-xg(—1,1)1 1 01—t2 21—x又由于S］（0）=0,故所以S1(x)=1所以S1(x)=1—1+丄ln2x0,x<1,x=0.S(x)=S(x)—S(x)=1121+x1—x0,|x|<1,x丰0

x=0.(19)【详解】方法1:将a看成变限.设F(x)=Jxg(-)广(-)dt+J1f(-)g'(-)dt—f(x)g(1),00则F(x)在[0,1]上的导数连续，并且F'(x)=g(x)八x)—广(x)g(1)=广(x)[g(x)—g(1)],由xG[0,1]时,g'(x)>0知g(x)是单调递增的，所以g(x)—g(1)<0,又f(x)>0,因此F'（x）<0,即F（x）在［0,1］上单调递减.另一方面

F⑴二f1g(t)广(t)dt+Af(t)g弋)dt—f(1)g(1),11—f1f(t)g(t)dt00由分部积分公式 f1g(t)广(t)dt二f1g(t)df(t)二g(t)f(t)00=f(1)g(1)—f1f(t)g(t)dt,0故f(1)=f(1)g(1)—f1f(t)g'(t)dt+f1f(t)g‘(t)dt—f(1)g(1)二0.00因此,xg[0,1]时,F(x)>F(1)二0,由此可得对任何ag[0,1],有fag(x)f'(x)dx+f1f(x)g'(x)dx>f(a)g(1).00方法2：fag(x)f‘(x)dx二g(x)f(x)la—Jaf(x)g'(x)dx=f(a)g(a)—faf(x)g‘(x)dx,0000Jag(x)f(x)dx+J1f(x)g(x)dx00=f(a)g(a)—Jaf(x)g'(x)dx+J1f(x)g'(x)dx二f(a)g(a)+J1f(x)g'(x)dx.0 0 a由于xg[0,1]时,f'(x)>0,f(x)是单调递增的，又由g'(x)>0,因此当xg[a,1]时有f(x)g'(x)>f(a)g'(x),所以J1f(x)g'(x)dx>J1f(a)g'(x)dx二f(a)[g(1)—g(a)],aa从而 Jag(x)f'(x)dx+J1f(x)g'(x)dx>f(a)g(a)+f(a)[g(1)—g(a)]二f(a)g(1).00(20)【详解】因方程组(II)的未知量个数3大于方程个数2,从而系数矩阵的秩<未知量的个数n，故方程组(II)有无穷多解，存在基础解系.因为方程组(I)与(II)同解，所以方程组(I)也有无穷多解,存在基础解系,故系数矩阵的秩小于未知量的个数3.对方程组(I)的系数矩阵，记为A，施以初等行变换12A=23112行-1行x12A=23112行-1行x2,3行—1行1010001—1—10a—2显然r(A)>2,又r(A)<3,故r(A)=2，从而a=2.此时，方程组⑴的系数矩阵可化为「101_0—1—1000fx+x=0得方程组(I)的同解方程组是<1 3 ",系数矩阵的秩为2,故基础解系由3-2=1个线性无关Ix+x=023解向量组成，选x为自由未知量，取x-1,得x=—1,x=—解向量组成，选x为自由未知量，取x-1,得x=—1,x=—1,故k(-1,-1,1片,k为任意常数123是方程组(I)的基础解系.将方程组⑴的解X]=-1,x2=-1,x31-1一b+c=0二1代入方程组(II)可得L-b2+(c+1)二0,解此二元一次方程组得b二1,c二2或b二0,c二1.Ix+x+2x=0,当b=1,c=2时,方程组(II)变为I2x+x+3；-0，对系数矩阵做初等行变换，有1 2 3「11212行-1行x2>3I」2110-10112I1行+2行I1 0 1I2行>(-1)-1J |_0 -1-1」 |_0 11方程组(II)的同解方程组是|二兀2+x3门，与(I)的同解方程组相同，故此时方程组⑴与(II)同解.:=03Ix+x=0,当b=0,c=1时,方程组(II)变为\ 1f介,对方程组(II)的系数矩阵施以初等行变I2x+2x=023换,有0112行-1行x2方程组(II)的同解方程组是X]+X3=0，此时方程组⑴与(II)的解不相同.综上所述，当a=2,b=1,C=2时，方程组⑴与(II)同解.(21)【详解】(I)因为(21)【详解】(I)因为P=[-A-1CEn，所以Pt二Em-CTA-1TO1，因为A为对称矩阵,EI」n故A故At二A,左右两边取逆，(At)-1=A-1。根据可逆矩阵的性质,又有(At)-1二(A-1)t,故(A-(A-1)t二A-1,故Pt=Em-CTA-1,所以EOPTEOPTDP=Im-CtA-1EnAC1rE -A-1CImCTB」［OEnACOB-ACOB-CTA-1CE -A-1CmOEnAOOB-CTA-1C(II)矩阵B-CtA-1C是正定矩阵.D是对称阵，故Dt=D，又(Pt)t=P，所以(PtDP)t=PtDt(Pt)t=PtDtP=RrDP,即PTDP是对称阵，且A,B是对称阵，故At二A,Bt二B，又(Ct)t二C,(A-1)T二A_i(B—CtA-iC)t=Bt-(CtA-iC)t=B—Ct(A-i)t(Ct)t二B—Ct(A-i)tC二B—CtA-iC故B-CTA-1C是对称阵，因为円=|E卜|E|=U=],故p可逆，故存在可逆矩阵p，使得mn_AO_PtDP=OB—CtA-iC根据合同的定义，知D和PtDP合同，根据已知D正定，则D与单位矩阵合同。根据合同关系O_的传递性，有PtDP也与单位矩阵合同，故PtDP正定，根据正定的定义，对任意的丫鼻O,恒有[O,Yt]P恒有[O,Yt]PtDP:[[O，YT>0,即[O,YtOB-CTA-1CAOOB-CTA-1CO]>0Y=[[O，YT(B-CTA-1C)]=O+Yt(B—CtA-iC)Y=Yt(B—CtA-iC)Y故对任意的O丰O,恒有Yt(B—CtA-iC)Y>0根据正定的定义，知B-CTA-1C为正定矩阵.(22)【详解】⑴由边缘密度函数的定义:fx(x)=f+"f(x,y)dy,f,(y)=J—g —g则关于X的边缘概率密度为:X=J+gX=J+gf(x,y)dy-gJ2xdy,0<x<1，00， 其他.2x，0<x<1，0，其他.关于Y的边缘概率密度fY(y)JfY(y)Jgf(x,y)dx-gJ1dx,0<y<2,<事20 其他.1-上,0<y<2,0,2 其他.y(因为0<x<1,0<y<2x，故x的取值范围为—<x<1)(II)由分布函数的定义：F乙(z)=P{Z<z}=p{2X一Y<z}(1)当z<0时，(z)=P{2X—Y<z}=0(由定义域为0<x<1,0<y<2x,故2X-Y>0,则{2X-Y<0}是不可能事件)FZ(z)=P{2X—Y<z}=JJf(x,y)dxdy2x-yFZ(z)=P{2X—Y<z}=JJf(x,y)dxdy2x-y<z2x-y<z=1—JJf(x,y)dxdy2x-y>z=1—J1dxJ2x-zdy=z-—z2；z0 42⑶当z>2时,(z)=P{2X—Y<z}=1.(因X最大取1,Y最小取0,故2X—Y最大就只能取到2,所以2X—Y<2是必然事件)°,z<0,1所以分布函数为：Fz(z)z—所以分布函数为：Fz(z)41,z>2.由密度函数与分布函数的关系:f(x)=F'(x)故所求的概率密度为:fZ(z)二<1—1z,故所求的概率密度为:fZ(z)二<1—1z,0<z<2,[02其他.(III)由条件概率公式:P{Y<2P{X<Y<丄