惠州市2020届高三第三次调研考试 理科数学试题

ππ20204343413惠州市2020届高三第三次调研考试ππ20204343413理科数学

2020.1全卷满分150分时间120分．注事：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、级等考生信息填写在答题卡上。2．作答选择题时，选出每个小题答案后，用2铅笔答题卡上对应题目的答信息点涂黑。如需改，用橡皮擦干净后，再选涂其答案，写在本试卷上无效。3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各指定的位置上，写在本试卷上无。一选题本题小题每题5分，分。在小给的四选中，有项合题要。1．已知全集U

，

U

A

()A

{x

B

{x

C

{

D．

{x0}32．设i为数位，复数zi

2

，则在复平面内对应的点在(

)限．A一

B二

．三

D．四3．已知

a

1，

2020，

2020π

，则)．Ac

Ba

．

D．4．在直角坐标系xOy中，已知角顶与原点O重，始边与x轴非负半轴重合，终边落在直线

yx

上，则

sin(

2

=()．A

431BC．55r5．在平行四边形中AB，AD，，为的中点，则

MP

=()A

rabBbC．D．ab51055104数学试题（理科）第1页共1页

1111116．设aR，111111

”直线

l:xay与线l:1

平行”的)条．A充分不必要

B．要不充分C．充要

D．既不充也不必要7．数列

{a}n

：1，，，，，8，2134，，为波那契数列，它是由十三世纪意大利数学列昂纳

斐波那契以兔子殖为例子而引入子列该数列从第开始项于其前邻两项之和．的前n项和，下列结论正确的)n

nnn

该列

{}nA

2019

2020

B

2019

2021

．

2019

2020

D．

2019

2021

8《经》是中国统文化中的精髓之一。右图是易八卦图（含乾、坤、巽、震坎、离、艮、兑八卦，每一卦由三根线组成（“

”表示一根阳线，“

”表示一根阴线。从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有根阳线和三根阴线的概率()．A

1B147

C

55D．2814

OO

O

O9．函数f

1

x

sinx的象的大形状()．ABCD10．如图，平过方体

的顶点A平面

，平，平面则mn所角的正弦值为()133AB．C．D．223数学试题（理科）第2页共1页

8𝑛211．已知F为物

2

的点，点A在该抛物线上且位x轴的两侧，

⋅

其中为标原，eq\o\ac(△,)𝐴面积之和的最小值()．A2B．

D12．已知函数𝑥𝜔满

12

，且(在上最小值，无最大值。给出下述四个结论

1；，sin(2)；2的小周期为；上的点个数最少为个其中所有正确结的编号()．A

B．

．

D二填题本题4小题，小题分共0分其第1题第一2分第空3。开始13．执行如图所示的程序框，则输出的是．n14．2

7

2

2

8

8

，

n则

的值是．

n20?

否是15．设数列

的n项为𝑛

，若

，2，𝑛

输出n𝑛∈

，则

____________5

结束16双线

:1

ya0)2b2

的离心率

e

点分别为

F、F1

，其中F也抛物线2

:y

px

的焦点，C与在第一象限的公共点为1数学试题（理科）第3页共1页

131P．若线斜为，双曲线离心率的值是_．4三解答：70分解答应出字明证过程演步。第17～题为考，每考都须作。、23题为考题考根要求答（）考：共分17．（本小题满分分）在平面四边形

中，

ABC

ππ，ADC3

，BC

．（1）若

ABC

的面积为

3

，求

；

（2）若

AD3

，

ACBACD

π3

，

D求ACD

．

18

．

（本小题满分12）如图，等腰梯形，，，，E为CD中，以AE为折痕eq\o\ac(△,)𝐴折起，使点D到点的平面（1）证明：；（2）若直线PB与平面ABCE所的角为

4

，求二面角的弦值．（本小题满分12分）为发挥体育核心养的独特育人价值越越多的中学将某些体育项目纳入学生的数学试题（理科）第4页共1页

必修课程。惠州某中学计划在高一年级开设游课程，为了解学生对游泳的兴趣某数学研究学习小组机从该校高一年级学生中抽取100（1）已知在被抽取学生中高班生6名其中3名对游泳感兴趣，在从这学生中随机抽取3人求至少有人对泳感兴趣的概率；（2）该研究性学习组在调查中发现，对游泳感兴趣的学生中有部分曾在市级或市级以上游泳比赛获奖，具体获奖人数如下表所。若从高班高一获奖学生中随机各抽取人进行跟踪调查，记选中的人市级以上游泳比获奖的人数，求随机变量的分布列及数学期望。班级市级

一一(一一一一一一一一2

24432

比赛获奖人数市级以上2

22322

比赛获奖人数20．（本小题满分分）在平面直角坐标

xOy

中过的直线l与椭圆

x24

y2

交于不同的两点()，𝑥,，其中（）

eq\o\ac(△,)𝑂的积；（）在轴上否存在定点T，使得直、与y轴围的三角形始终为腰三角形。21．（本题满分分）已知实数

a0

，设函数

f

．（）求函数

f

的单调区间；数学试题（理科）第5页共1页

a，a，（）当

a

12

时，若对任意的

x

，均有

f2求

的取值范围。注：e2.71828L

为自然对数的底。（）考：共1分请生、23题中选一作。如多，按所的一计。题时写题号将应息点黑22．（本小题满分分）[选－4：坐标系与参数方]在平面直角坐标xOy中以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线M的极坐标方程为

，若极坐标系内于

的三点

A

，B,

23

都在曲线M上（1）求证：

3

23

；（2）若过B，

C

3t两点的直线参数程为t2

（t为参数，求四边形OBAC

的面积．23．（本小题满分分）[选－5：不等式选讲]已知函数

f

．（1）求不等式

f

的解集；（2）若

f

对任意R恒成立，求k的值范围．惠州市2020届高第三调研考试理科数参考案及分细则数学试题（理科）第6页共1页

43111一选题43111题号答案

1D

2B

3D

4A

5

6A

7D

8D

9A

10D

11B

121.解析】A{x{x0}

Ax0}U

，故选2.解析】

1ii22

，所以z对应的点在第二象限，故选【解析】log

2020

log

1，2020

2020，2020π

，所以a

.选4.解析】因为角边落在直线

y

上，所以

tan

，cos

，所以

42.5

故选A.→→→1→→4→5.解析】如图所示＝－＝AD＝AD－(ABAD)225rrrrr＝b－(＋b＝－a－b故选C.556.解析】依题意，知－＝－，－≠，解得＝2a2a7.解析】

2

故选A.a))a))an32354

n

)nn

2

n

，所以

2019

2021

，故选1158.解析】P3.故D.C14【析】

f

sinsinx

是偶函数排CQf(1)故选A.【析面

面面

1

，𝐵11

，因为eq\o\ac(△,𝐶)eq\o\ac(△,)是正角形，、

所成角为．数学试题（理科）第7页共1页

3122122221122112122⋅22488当且仅当，即23122122221122112122⋅22488当且仅当，即24111,区11，，妨取𝜋1，两式相减2182【解析】设直线AB的程为点(,,，直线AB与轴交，由

2

2

，据韦达定理𝑦12⋅𝑥⋅𝑦2结合及，⋅𝑦2点、位于轴两侧，⋅𝑦，故．不妨令点A在x轴上方，则,121

又(,,4

111121111

．时取”号𝐴与𝐴积之和的最小值是故83选．12.解析】间点为，根据弦曲线的对称性正22确。若

，

1𝜋2

，此时(sin(2𝜋，满足条件，1上的大值，不满足条件错。63不妨令

2𝜋

5𝜋6

，𝑥

1)2𝜋

𝜋2𝜋6

,即函数的周

2𝜋

，故正。区间的度恰好为673个期，时即时，在区零点个数至少为731错误。故正确的是，故选．二填题本题4小题，小题分共0分其第1题第一2分第空3。1314、2分（分）n2,2②2③【解析】①

故答案为

4【解析】令

，得

a0

，令𝑥1则．所以数学试题（理科）第8页共页

222221212a22222121212【析时

可得2又即，即有，解得；由

，可得，可得

，，．516.【析为是曲线的右焦点且是抛物线的焦以

，解得，以抛物线的方程：y

2

cx

；由k

PF

PFF2

，PFF，如图过P作物线准的垂线，垂足为M，

P(x，)，0则PM

，∴

PF

PM(x)cosMPF

．由PFa可得(x)x)xa在△PFF中PF，PFPFa，，1221212由余弦定理得2

2

2FF2PFFF1即

(8))2c)

，化简得5

2

，，故答案为47．三解答：70分解答应出字明证过程演步。第17～题为考，每考都须作。、23题为考题考根要求答17．（本小题满分分）【析（）在

中，因为

BC

，

ABC

，S

sinABC2

……………所以

AB

，解得

AB

．…………………2分数学试题（理科）第9页共1页

3sin2在3sin2

中，

由

余

弦

定

理

得

2

2

2

ABcos

，…4分因

为

AC

，

所

以AC7

．…………………5分（2）设

ACD

，则ACD

ππ

．……………6分在ACD中因为3，所以

2sinsin

．

……………7分在

中，BACACB

π

，………8分由正弦定理得

BCACBAC

，即

23π3

，…9分所以2sin(

sin所以

1cossin2

，………10分即

3cos

2sin

，…………………11分所以

，即tanACD2

．

…………………12分数学试题（理科）第1页，共1页

π,0,则1112121212（本小题满分12分）π,0,则1112121212【析（）证明：连接，设AE的中为，，

12

四边形

ABCE

为平行四边形，…………1分，为边三角，………………又平，平面…【】写此步骤得。平面POB………4分又平POB，．（2）【解法一】向法

………………分在平面POB内作平面ABCE，垂足为Q则Q在线OB上，直PB与面ABCE夹为

4

，又，，、两重合，平面ABCE,…………6分【】证此得点给分以O为点为x轴OB为y轴，OP轴，建立如图空间角坐标系，√31322

,，0,3,3,…………2222分设平面

的个法向量为y,，则{

11

，即{

1212

3232

,…………8分令3,−1,1)

……………分又平面PAE，1,为面PAE的一个法向量…10分设二面角为，

|

15

55

……11分数学试题（理科）第1页，共1页

5π1313155𝐹5易知二面角为钝角，所以二面角的余弦值…………125π1313155𝐹55分【解法二】几何在平面POB内作平面ABCE，垂足为Q则Q在线OB上，直PB与面ABCE夹为

4

，又，，、两重合，平面，………分【】证此得点给分过点C作CH⊥AE交点H连结PH则二面角A-PE-C与面角H-PE-C互补角。又因为CH⊥PO所以CH⊥面，过H作⊥交点，结CF由三垂线定理知⊥所以∠CFH为面角的面角。…………………分在中，∠CEH=60°，所HE=CE=，………分22在HFE中∠FEH=60°HE=所HF=…………………92分在eq\o\ac(△,Rt)CHF中股理知………4分故=…………分所以二面角的余弦值为…………125分（本小题满分12分）【解析】（）解一】

F记事件

i

从6学生抽取的3人恰好有i

人有兴趣；数学试题（理科）第1页，共1页

2321C⋅C3303331010121C⋅C3⋅C310122C⋅CC⋅C11221C⋅C2321C⋅C3303331010121C⋅C3⋅C310122C⋅CC⋅C11221C⋅C⋅C⋅C22C⋅C+C⋅C⋅C2211122C⋅C21C⋅C斥……………分故所求概率(至少2人兴)((…………3

)=)23233C6C⋅CC6

…………3分20；……………4分2【解法二事

i

从名生抽取的中恰好有i

人有兴趣01；则与互斥………………分故所求概率(至少2人兴)1((……2分1

)1()010133C6C

3033C6

…………120；………………4分2（2）由题意知，随变的有可能取值有0，，，；…………分P(0)342255

50

……………分P(1)23434C⋅C55P(2)2424C⋅C55

1225310

…………………7…………分P(3)242255

125

…………………分数学试题（理科）第1页，共1页

．……12．……12p

0

1

2

3

………10分【注】无列表此分点不得分。数学期望为

分（本小题满分12分）【解析1当分

时代入椭方程可得点坐或…1若

点标

，

此

时

直

线

l

：

44……………2分联立

xyxy2

，消

整理可得

…分解

得

或

2

，

故B

,……………4分所

以

的

面

积

为

14

.……………5分若点标为，对性eq\o\ac(△,)𝑂的积也是

45

，综

上

可

知，

当

时，

的

面

积

为45

.………………6分数学试题（理科）第1页，共1页

2211221221111,2121222（22211221221111,2121222

的斜率不为设直l………7联立

2

，消去整得

22由eq\o\ac(△,)

2

，

2

………则

，

,……9因为直线、TB与轴成的三角形始终为等腰三角形，所以

……………10分𝐴𝑇𝐵设，

𝐴𝑇

𝑡

𝑡

(

2即𝑦

2

解

得

……………………分故轴存在定𝑇，使得直线TATB与轴成的三角形始终为等腰三角形．……12分【解法二显然直线l斜率存在且不为设线l：分

yx4)

……联立

y(x2

，消去

整理得

k)64k由

k

2

2

2

k

2

，得

,……………8分则

x12

321k

2

，

x12

64-41

,………………分因为直线TA、TB与轴成的三角形始终为等腰三角形，以……………分

𝐴𝑇𝐵设

𝑇(

，

则

yk(4)(x11xx1数学试题（理科）第1页，共1页

中t'(t)xx4)(x中t'(t)(x)即

xxt)1212

，

k(4)32k8ttk2-121解

得

.……………………11分故轴存在定，使直线、与y轴围成的三角形始终为等三角形．………12分21．（本题满分分）【解析法一

f

ax

1)=0

解得

．………………1分若则当

，f

，)

的单调递增区间当

(时，f

f()

的单调递减区间

(

……2分若则当

，f

，)

的单调递增区间当

(时，ff()

的单调递减区间(分综上所述，

f()

的单调递增区间(0,调递减间为．4分【解法二】令

gt)

tt

令'()当

t时'(t)()在（单调递减；当分

tt)t)在递

………………又

当

a

时，t在R上调递增数学试题（理科）第1页，共1页

时ax当时ax

a

时，

tax

在

上

单

调

递减。………分由复合函数单调知，a

时，

f(x)

的单调递增区间单调递减区间；a3分

f(x)

的单调递增区间(0,减间为(………综所述，

f()

的单调递增区间，单递减区间为（2）

(．………4分af(x≥(，≥(x2

（﹡）．令

≥

1

≤2

．………………5分当

时，不等式（﹡显然成立，当

x

时，两边取对数，即

≥ln

恒成立．…6分令数

F()ln

，即

Fx)≤0在

内恒成立．……………由

F

2(x=0，x

．故当当

时，

F，(单调递增；时，F，

Fx)

单

调

递减……8分因此

F()≤(

2

…………9分令函数

(ln

1，其中

≤2

，数学试题（理科）第1页，共21页

则

，得

a

，故当

,1)时，g

，(a

单调递减；当a(1,2]时g

，(a

单调递增．…10分又

()4

，

g(2)

，故当

≤2时()≤0

恒成立此

Fx)≤0

恒成立，………………11分综上知

时意的

x

f(x)(

2

成立……12分（本小题满分10分）【解析【解法1由

12

，

2cos

…3分则2cos

2cos6

3cos

…所以分

32

……【解法】M的角坐标方程为

2

，如图所示………分假设直线OAOBOC的程y，yx，y，2

1

k由点到直线距离式可知2k在直角三角形OMF中，由勾股定理可知2……………2

，得数学试题（理科）第18页，共1页

63232126323212由直线方程可知

ktan，k