培优专题9-分式方程及其应用

12、分式方及其应用【识读解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程。解分式方程的一般步骤：（1在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；（2解这个整式方程；（3验根：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否等于零，使最简公分母等于零的根是原方程的增根，必须舍去，但对于含有字母系数的分式方程，一般不要求检验。列式方程解应用题和列整式方程解应用题步骤基本相同，但必须注意，要检验求得的解是否为原方程的根，以及是否符合题意。下面我们来学习可化为一元一次方程的分式方程的解法及其应用。【类析例1.解程：

x2xx分析首要确定各分式分母的简公分母方程两边乘这个公分母时不要漏乘解完后记着要验根解：方程两边都乘以

，得x

2

2(x(，即xx，3x2经检验：x

32

是原方程的根。例2.解程

xxxxxx分析：直接去分母，可能出现高次方程，给求解造成困难，观察四个分式的分母发现(x(x、(x(x3)

的值相差1，而分子也有这个特点，因此可将分母的值相差的两个分式结合然后再通把方程两边化为分子相等的两个分式用式的等值性质求值。解：原方程变形为：方程两边通分，得

xxxxxx/

11(7)(x2)(x3)所以(xxx即9x2经检验：原方程的根是

x

92

。例3.解程：

12x32xx19488x4x分析方中的每个分式都相当一个假分数此可化为一个整数与一个简单的分数式之和。解：由原方程得：

3

12213488x4x即

288x1x9)(86)10)(87)8xx10)(87)：x：是原

例4.解程：

122y0yyy2分析：此题若用一般解法，则计算量较大。当把分子、分母分解因式后，会发现分子与分母有相同的因式，于是可先约分。解：原方程变形为：

6(y(y(2(2)

y2(2)(

0约分，得

yyy(2)(方程两边都乘以

(2)(得6(y2)2y20整理，得2yy经检验：y8原方程的。/

注：分式方程命题中一般渗透不等式，恒等变形分解等知识。因此要学会根据方程结构特点，用特殊方法解分式方程。、考解例1．若解分式方程

2xx

产生增根，则的是（）

C.

1

或分析：分式方程产生的增根，使分母的未知数的值。由题意得增根是：0或化原方程为：2x

2

mx

2

，把

代入解得或

，故选择D。例甲乙两班学参加“绿化祖国”活动，已知乙班每小时比甲班多种棵，甲班种棵所用的时间与乙班种树所用的时间相等，求甲、乙两班每小时各种多少棵树？分析：利用所用时间相等这一等量关系列出方程。解：设甲班每小时种x棵，则乙班每小时种（）棵树，由题意得：

60xx60xx20经检验：x20是原方程的根x22答：甲班每小时种树棵乙班每小时种树棵说明：在解分式方程应用题时一定要检验方程的根。、型示例轮在一次行中顺流航行千，逆流航行米，共用了7小；在另一次航行中用同的时间，顺流航行4千米逆航行千。求这艘轮船在静水中的速度和水流速度分析：在航行问题中的等量关系是“船实际速度水+静速度”，有顺水、逆水，取水速正、负值，两次航行提供了两个等量关系。解：设船在静水中的速度为x米小时，水流速度y千/小时/

由题意，得

80427xyy40707xyy解得：

x17y经检验：是原方程的根y答：水流速度为3千米小时，船在静水中的速度为米/时。例2.m为值时，关于x方程

2mxxxx

会产生增根？解：方程两边都乘以

x2

，得

2整理，得

(当时x

m如果方程产生增根，那么2，即x2或x（）x2，则2m（若则m（）综所述，当时，原程产生增根说明：分式方程的增根，一定是使最简公分母为零的根【战拟甲、乙两地相距千米，某人甲地出发，以v千/小时的速度步行，了a时后改乘汽车，又过b小到达乙地，则汽车的速度（）

Sa

SSC.ba如果关于x的程

2m有增根，则m值等于（）xx

C.

解方程：（）（2）

112(x2)(x2)(x3)(x9)(10)x2x4x11x/

求x为值时，代数式

22xxx

的值等于2？甲、乙两个工程队共同完成一项工程，乙队先单独做1天，再由两队合作2天完成了全部工程。已知甲队单独完成工程所需的天数是乙队单独完成所需天数的乙两队单独完成各需多少天？【试题案】

23

，求甲、由已知，此人步行的路程为千，所以乘车的路程为

（av千米。又已知乘车的时间为小时，故汽车的速度为

Sb

千米小，B。把方程两边都乘以

xm

x5.若方程有增根，则

x，即5m应选B。（1）分析：方程左边很特殊，从第二项起各分式的母为两因式之积，两因式的值都相差，且相邻两项的分母中都有相同的因式。因此，可利用即用“互为相反数的和为”将原方程化简

1(n

裂项，解：原方程可变为x即x

1112xxxxxx

经验原程根是x

（2分析：用因式分解（提公因式法）简化解法解：

x(

12)1x1x1x因为其中的

141xx

4/

1x24122x

24121x1

40141x18x经检验：

是原方程的根。解：由已知得

21xxx即

3xxx3xxx3解得x23是原方程的根。经检验：x