北师大版选择性必修第一册3.4.3.2空间中的距离问题作业

4.3.2空间中的距离问题选题明细表知识点、方法题号点到平面的距离1,2,7,9直线到平面、平面到平面的距离6,10点到直线的距离3,4,5综合问题8,11,12基础巩固1.已知平面α的一个法向量n=(-2,-2,1),点A(-1,3,0)在α内,则点P(-2,1,4)到平面α的距离为(D)A.10B.3C.83D.解析:PA→=(1,2,-4),又平面α的一个法向量为n=(-2,-2,1),所以点P到平面α的距离为|PA→2.若三棱锥PABC的三条侧棱两两垂直,且满足PA=PB=PC=1,则点P到平面ABC的距离是(D)A.66 B.63 C.3解析:以点P为原点,PA,PB,PC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略),则A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1).可以求得平面ABC的一个法向量为n=(1,1,1),则d=|PA→·3.已知点A(0,0,2),B(1,0,2),C(0,2,0),则点A到直线BC的距离为(A)A.223B.1C.2解析:因为点A(0,0,2),B(1,0,2),C(0,2,0),AB→=(1,0,0),BC(-1,2,-2),所以点A到直线BC的距离为d=|AB1-19=84.已知向量n=(1,0,-1)与直线l垂直,且直线l经过点A(2,3,1),则点P(4,3,2)到直线l的距离为(B)A.322B.22C.10解析:PA→=(-2,0,-1),又n与l垂直,所以点P到l的距离为|(-2,0,-15.如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,点F,G分别是AB,CC1的中点,则点D1到直线GF的距离为.?解析:以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系,则D1(0,0,2),F(1,1,0),G(0,2,1),于是有GF→=(1,-1,-1),G所以|GF→·GD1→||所以点D1到直线GF的距离为5-13答案:426.(2021·山东烟台期中)在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中,直线AC到平面A1BC1的距离为.?解析:以D为坐标原点,DA→,DC→,因为AC∥A1C1,A1C1?平面A1BC1,AC?平面A1BC1,所以AC∥平面A1BC1,所以直线AC到平面A1BC1的距离即为点C到平面A1BC1的距离.因为A1(2,0,2),B(2,2,0),C1(0,2,2),C(0,2,0),所以A1BC1→=(-2,0,2),CC1→=(0,0,2),设平面A1BC1的一个法向量n=(x,y,z),则A1B→·n=2y-2z答案:2能力提升7.如图,在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,BB1的中点,G为棱A1B1上的一点,且A1G=λ(0≤λ≤1),则点G到平面D1EF的距离为(D)A.3 B.22 C.23解析:如图,建立空间直角坐标系,则D1(0,0,1),E(1,0,12),F(1,1,12所以EF→=(0,1,0),D1F→=(设n=(x,y,z)是平面D1EF的一个法向量,则n得y令x=1,得n=(1,0,2).设点G在平面D1EF的投影为H,连接GD1,GH,因为GD故|GH→|=|GD8.(多选题)(2021·辽宁大连八中期中)已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,点E,O分别是A1B1,A1C1的中点,点P在正方体内部且满足AP→=34AB→+1A.点A到直线BE的距离为2B.点O到平面ABC1D1的距离为2C.平面A1BD与平面B1CD1间的距离为3D.点P到直线AB的距离为5解析:如图,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),C1(1,1,1),D1(0,1,1),E(12,0,1),所以BA→=(-1,0,0),BE→=(-12,0,1).设∠ABE=θ,则cosθ=|BA→·BE→||BA→||BE→|=12C1A1→=(-12,-12,0),平面ABC1D1的一个法向量为DA1→=(0,-1,1),则点O到平面ABC1D1(1,0,-1),A1D→=(0,1,-1),A1D1→=(0,1,0).设平面A1BD的一个法向量为n=(x,y,z),则n·A1B→=0,n·A1D→=0,所以x-z=0,y-z=0,令z=1,得y=1,x=1,所以n=(1,1,1).所以点D1到平面A1BD的距离为d3=|A1D1→·n||n|=13=33.因为平面A1BD∥平面B181144-99.如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,所有棱长均为1,且AA1⊥底面ABC,则点B1到平面ABC1的距离为.?解析:建立如图所示的空间直角坐标系,则A(32,12,0),B(0,1,0),B1(0,1,1),C则C1A→=(32,12,-1)设平面ABC1的一个法向量为n=(x,y,1),则有C解得n=(33,1,1)则所求距离为C1B1→·答案:2110.如图,在五面体ABCDEF中,AB∥DC,∠BAD=π2,CD=AD=2.四边形ABFE为平行四边形,FA⊥平面ABCD,FC=3,ED=7解:如图,以点A为坐标原点,AB→,AD→,z轴的正方向建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0).设F(0,0,z0)(z0>0),可得FC→=(2,2,-z0由|FC→|=3,得2解得z0=1,则F(0,0,1).因为AB∥DC,CD?平面EFCD,AB?平面EFCD,所以AB∥平面EFCD,所以直线AB到平面EFCD的距离等于点A到平面EFCD的距离.设点A在平面EFCD上的射影为G(x1,y1,z1),连接DF,AG,则AG→=(x1,y1,z1所以AG→·DF→=0,且AG→而DF→=(0,-2,1),CD所以-2y1所以点G在yAz平面上,故点G在FD上.又GF→∥DF→,GF→=(-x1,-y1故有y12=-z联立①③④,解得G(0,25,45因为|AG→而AG→=(0,25,4所以|AG→|=2即直线AB到平面EFCD的距离为2511.(2021·福建南安期中)如图,在正三棱柱ABCA1B1C1中,各棱长均为4,N是CC1的中点.(1)求点N到直线AB的距离;(2)求点C1到平面ABN的距离.解:建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(23,2,0),C(0,4,0),C1(0,4,4),因为N是CC1的中点,所以N(0,4,2).(1)AN→=(0,4,2),AB→=(23,2,0),则|AN→|=25设点N到直线AB的距离为d1,则d1=|AN→|(2)设平面ABN的一个法向量为n=(x,y,z),则由n⊥AB→,n⊥ANn·AB→=23x+易知C1N→=(0,0,-2),设点C1则d2=C1N→·n应用创新12.(2021·山东平邑期中)如图,在四棱锥PABCD中,已知PA⊥平面ABCD,且四边形ABCD为直角梯形,∠ABC=∠BAD=π2,PA=AD=2,AB=BC=1.(1)求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值;(2)定义:两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.利用此定义求异面直线PB与CD之间的距离.解:以{AB→,AD→,AP→则各点的坐标为B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2).(1)因为PA⊥平面ABCD,且AD?平面ABCD,所以PA⊥AD,又AB⊥AD,且PA∩AB=A,PA,AB?平面PAB,所以AD⊥平面PAB,所以AD→=(0,2,0)是平面PAB的一个法向量.因为PC→=(1,1,-2),PD→=(0,2,-2).设平面PCD的一个法向量