高考数学一轮复习专题五三角函数与解三角形4解三角形及其综合应用综合篇课件新人教A版

考点一正弦定理和余弦定理1.正弦定理和余弦定理考点清单

正弦定理余弦定理内容

=

=

=2R(R为△ABC外接圆半径)a2=b2+c2-2bc·cosAb2=c2+a2-2ca·cosBc2=①

a2+b2-2ab·cosC

变形形式(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;(2)sinA=

,sinB=

,sinC=

;(3)a∶b∶c=②

sinA∶sinB∶sinC

;(4)

=③

=④2R

cosA=

;cosB=

;cosC=

解决的问题(1)已知两角和任意一边,求另一角和其他两条边;(2)已知两边和其中一边的对角,求另一边和其他两角(1)已知三边,求各角;(2)已知两边和它们的夹角,求第

三边和其他两个角2.解三角形(1)利用余弦定理求边长,实质是解一元二次方程,解出后可根据已知条件

对方程的根进行取舍.(2)在△ABC中,已知a,b和A,利用正弦定理解三角形时,会出现解不确定的

情况,一般可根据三角形中“大边对大角和三角形内角和定理”来取舍.

在△ABC中,已知a,b和A时,具体解的情况如下表:

A为锐角A为钝角或直角图形

关系式a=bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的个数一解两解一解一解上表中,若A为锐角,则当a<bsinA时无解;若A为钝角或直角,则当a≤b

时无解.3.三角形中常用的结论在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,常见的结论有:(1)A+B+C=π;(2)在△ABC中,大角对大边,大边对大角,如:a>b⇔A>B⇔sinA>sinB;(3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边;(4)在锐角三角形ABC中,sinA>cosB⇔A+B>

;(5)在斜△ABC中,tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC;(6)有关三角形内角的常用三角恒等式:sin(A+B)=sinC;cos(A+B)=-cosC;tan(A+B)=-tanC

;sin

=cos

;cos

=sin

.(7)三角形中的射影定理.a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA.(8)sin15°=

,cos15°=

,tan15°=2-

.考点二解三角形及其综合应用1.有关概念(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,在水平线下

方的角叫俯角(如图a).(2)方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角叫方位角,如B点的方位角为

α(如图b).(3)方向角:相对于某一正方向的水平角(如图c).a.北偏东α°:指北方向顺时针旋转α°到达目标方向.b.东北方向:指北偏东45°方向.(4)坡角:坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(如图d,角θ为坡角).坡度:坡面的铅直高度与水平宽度之比叫做坡度(或坡比)(如图d,i为坡比).2.三角形的面积公式(1)已知三角形一边及该边上的高,利用S=

ah(h表示边a上的高);(2)已知三角形的两边及其夹角,利用S=

absinC

S=

acsinB,S=

bcsinA

.知识拓展(1)已知三角形的三边,利用S=

.(2)已知三角形的三边及内切圆半径,利用S=

(a+b+c)r(r为三角形的内切圆半径).(3)S=

=2R2sinAsinBsinC(R为△ABC外接圆的半径).知能拓展考法一利用正弦、余弦定理解三角形例1在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=1,c=4

,B=45°,则sinC=

.解析由已知条件a=1,c=4

,B=45°及余弦定理可得,b2=a2+c2-2accosB=1+32-2×1×4

×

=25,即b=5.所以由正弦定理得sinC=

=

=

.答案

例2如图,在平面四边形ABCD中,0<∠DAB<

,AD=2,AB=3,△ABD的面积为

,AB⊥BC.

(1)求sin∠ABD的值;(2)若∠BCD=

,求BC的长.解析(1)因为△ABD的面积S=

AD·ABsin∠DAB=

×2×3sin∠DAB=

,所以sin∠DAB=

.又0<∠DAB<

,所以∠DAB=

,由余弦定理得BD=

=

,由正弦定理得sin∠ABD=

=

.(2)解法一:因为AB⊥BC,所以∠ABC=

,所以sin∠DBC=sin

=cos∠ABD=

=

.在△BCD中,由正弦定理得

=

,可得CD=

=

.由余弦定理得DC2+BC2-2DC·BCcos∠DCB=BD2,可得3BC2+4

BC-5=0,解得BC=

或BC=-

(舍去).故BC的长为

.解法二:因为AB⊥BC,所以∠ABC=

,所以sin∠DBC=sin

=cos∠ABD=

=

.cos∠DBC=cos

=sin∠ABD=

.则sin∠BDC=sin(π-∠BCD-∠DBC)=sin

=

cos∠DBC-

sin∠DBC=

.在△BCD中,由正弦定理得

=

,可得BC=

=

=

.方法总结1.已知两角A、B与一边a,由A+B+C=π及

=

=

,可先求出角C,再求出b、c.2.已知两边b、c及其夹角A,由a2=b2+c2-2bccosA,先求出a,再由正弦定理求

出角B、C.3.已知三边a、b、c,由余弦定理可求出角A、B、C.4.已知两边a、b及其中一边a的对角A,由

=

可求出另一边b的对角B,由C=π-(A+B)可求出C,再由

=

可求出c,而通过

=

求B时,可能有一解、两解或无解.经典例题例

(2018河南开封模拟,8)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若A=

,

=2sinAsinB,且b=6,则c=

()A.2

B.3

C.4

D.6以下为教师用书专用解析在△ABC中,A=

,b=6,∴a2=b2+c2-2bccosA,即a2=36+c2-6c①,又

=2sinAsinB,∴

=2ab,即cosC=

=

,∴a2+36=4c2②,由①②解得c=4或c=-6(不合题意,舍去).∴c=4.故选C.答案

C例

(2018北京朝阳二模,2)在△ABC中,AB=1,AC=

,∠C=

,则∠B=

()A.

B.

或

C.

D.

或

解析由正弦定理得

=

,即

=

,∴sinB=

.∵∠B∈(0,π),AC>AB,∴∠B>∠C.∴∠B∈

.∴∠B=

或

.故选D.答案

D易错警示由sinB=

仅得出B=

,而错选A.考法二三角形形状的判断例3(1)(2019豫北名校1月联考,8)在△ABC中,a,b,c分别表示三个内角A,

B,C的对边,如果(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),则△ABC的形状为

(

)A.等腰三角形

B.直角三角形C.等腰直角三角形

D.等腰三角形或直角三角形(2)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,下列条件中可以得到△

ABC为直角三角形的是

()A.

=

B.b2tanA=a2tanBC.cos2

=

D.c-acosB=(2a-b)cosA解析(1)解法一:已知等式可化为a2[sin(A-B)-sin(A+B)]=b2[-sin(A+B)-sin(A-B)],∴2a2cosAsinB=2b2cosBsinA.由正弦定理,得sin2AcosAsinB=sin2BcosBsinA,∴sinAsinB(sinAcosA-sinBcosB)=0,∵A,B均为△ABC的内角,∴sinA≠0,sinB≠0,∴sin2A-sin2B=0,即sin2A=sin2B.由A,B∈(0,π)得0<2A<2π,0<2B<2π,得2A=2B或2A+2B=π,即A=B或A+B=

.∴△ABC为等腰三角形或直角三角形,故选D.解法二:(同解法一)可得2a2cosAsinB=2b2cosBsinA.由正弦、余弦定理,可得a2·

·b=b2·

·a.∴a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2),即(a2-b2)(a2+b2-c2)=0.∴a=b或a2+b2=c2,∴△ABC为等腰三角形或直

角三角形.故选D.(2)对于A,因为

=

,所以sinBcosC-cosBsinC=0,即sin(B-C)=0,所以B=C,所以△ABC一定是等腰三角形;对于B,由b2tanA=a2tanB、正弦定

理及同角三角函数基本关系可得

=

,即sin2A=sin2B,故2A=2B或2A+2B=π,即A=B或A+B=

,所以△ABC是等腰三角形或直角三角形;对于C,因为cos2

=

,所以由正弦定理得,

=

,整理得cosBsinC=sinA,即cosBsinC=sin(B+C),所以sinBcosC=0,C=

,则△ABC是直角三角形;对于D,把cosA=

,cosB=

代入c-a-cosB=(2a-b)cosA中,得

=2a·

-

,即

=

,解得a=b或c2-a2+b2=0,则△ABC为等腰三角形或直角三角形.故选BCD.答案(1)D(2)BCD方法总结要判断三角形的形状,应围绕三角形的边角关系进行思考,主

要看其是不是等边三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形、

等腰直角三角形或锐角三角形,要特别注意“等腰直角三角形”与“等

腰三角形或直角三角形”的区别.依据已知条件中的边角关系判断时,主

要有以下两条途径:(1)通过正弦定理、余弦定理化边为角,利用三角恒等变换得出三角形内

角之间的关系进行判断;(2)利用正弦定理、余弦定理化角为边,通过代数恒等变换,求出三条边之

间的关系进行判断.经典例题以下为教师用书专用例

(2019河南济源第一次质检,6)若在△ABC中,sin(A+B)·sin(A-B)=sin2C,

则此三角形的形状为

()A.等腰三角形

B.直角三角形C.等边三角形

D.等腰直角三角形解析∵sin(A+B)sin(A-B)=sin2C,∴sin(A+B)sin(A-B)=sin2(A+B),∴sin(A+B)sin(A-B)-sin2(A+B)=0,∴sin(A+B)[sin(A-B)-sin(A+B)]=0,即sin(A+B)cosAsinB=0.又∵sin(A+B)≠0,sinB≠0,∴cosA=0.∴A=

.根据题意推不出AB=AC,∴△ABC是直角三角形.故选B.答案

B考法三与三角形的面积、范围有关的问题例4(1)已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b=1,c=

,且2sin(B+C)cosC=1-2cosAsinC,则△ABC的面积是

()A.

B.

C.

或

D.

或

(2)(2020浙江名校新高考研究联盟(Z20名校联盟)第一次联考,18)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且

sinA+cosA=2,a=4.①求角A的值;②求b+c的取值范围.解析(1)因为2sin(B+C)cosC=1-2cosAsinC,所以2sinAcosC=1-2cosAsinC,所以2sinAcosC+2cosAsinC=1,所以2sin(A+C)=1,所以2sinB=1,所以sinB=

.因为b<c,所以B<C,所以角B为锐角,所以cosB=

=

,所以由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,可得1=a2+3-2×a×

×

,整理可得a2-3a+2=0,解得a=1或a=2.故当a=1时,△ABC的面积S=

acsinB=

×1×

×

=

;当a=2时,△ABC的面积S=

acsinB=

×2×

×

=

.故选C.(2)①∵

sinA+cosA=2sin

=2,∴A+

=

,即A=

.②解法一:由正弦定理得

=

=

=

,∴b+c=

(sinB+sinC).∵sinB+sinC=sinB+sin

=

sinB+

cosB=

sin

,又∵B∈

,∴sin

∈

,∴b+c∈(4,8].解法二:在△ABC中,由于a=4,A=

,∴由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA得,16=(b+c)2-2bc-2bccos

,∴(b+c)2-3bc=16,又∵bc≤

(b>0,c>0),∴(b+c)2-16=3bc≤

,当且仅当b=c时取“=”,∴(b+c)2≤64,即b+c≤8,又b+c>a=4,因此4<b+c≤8,∴b+c∈(4,8].答案(1)C方法总结1.与三角形面积有关的问题主要有两种:一是求三角形面积;

二是给出三角形的面积,求其他量.解题时主要应用三角形面积公式S=

absinC=

acsinB=

bcsinA,此公式既与边长的乘积有关,又与角的三角函数值有关,由此可以与正弦定理、余弦定理综合起来求解.2.解与三角形中边角有关的量的取值范围时,主要是利用已知条件和有

关定理,将所求的量用三角形的某个内角或某条边表示出来,结合三角形

边角取值范围等求解即可.经典例题以下为教师用书专用例

(2019四川成都石室中学4月月考,16)四边形ABCD中,AB=1,BC=3,

∠ACD=90°,∠CDA=60°,则BD的最大值为

.解析设∠ABC=α,∠ACB=β,则在△ABC中,由余弦定理,AC2=10-