押新高考第14题 数列（新高考）（解析版）

押第14题数列数列是高考每年必考的一个知识点,每年的高考试题中或者有1道解答题或者有2道客观题，若有2道客观题，至少有1道是基础题，数列基础题一般具有小巧活的特点，考查热点一是等差数列与等比数列基本量的计算，二是等差数列与等比数列的性质，三是与数列有关的数学文化试题．求解数列基础题要注意方程思想的应用，即把所求问题转化为利用解方程求基本量.1.方程思想求等差数列基本量等差数列中，已知5个元素a1，an，n，d，Sn中的任意三个，便可求出其余两个．除已知a1，d，n求an，Sn可以直接用公式外，其他情况一般都要列方程或方程组求解，因此这种问题蕴含着方程思想．注意，我们把a1，d叫做等差数列的基本元素．将所有其他元素都转化成基本元素是解决等差数列问题的一个非常2.求等差数列前n项和最值的方法(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；(2)利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；(3)将等差数列的前n项和Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)看作二次函数，根据二次函数的性质求最值．要注意an＝0的情形．3.等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{an}中，m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.(2)和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；②S2n－1＝(2n－1)an.4．等比数列中的基本运算在等比数列五个基本量a1，q，n，an，Sn中，已知其中三个量，可以将已知条件结合等比数列的性质或通项公式、前n项和公式转化为关于基本量的方程(组)来求得余下的两个量，计算有时要整体代换，根据前n项和公式列方程还要注意对q是否为1进行讨论．5.等比数列常见性质的应用(1)在等比数列中，若Sn≠0，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列．(2)等比数列中，依次m项积仍为等比数列，但公比发生改变．(3)性质“当m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)时，有am·an＝ap·aq”常用来转化条件．1．（2020年新高考全国卷Ⅰ数学高考试题（山东））将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．【答案】【详解】因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，数列是以1首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列，所以的前项和为，2．（2020年浙江省高考数学试卷）我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列就是二阶等差数列，数列的前3项和是________．【答案】【详解】因为，所以．即．3．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））数列满足，前16项和为540，则______________.【答案】【详解】，当为奇数时，；当为偶数时，.设数列的前项和为，，.4．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））记为等差数列的前n项和．若，则__________．【答案】【详解】是等差数列，且，设等差数列的公差根据等差数列通项公式：可得即：整理可得：解得：根据等差数列前项和公式：可得：.5．（2020年江苏省高考数学试卷）设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．已知数列{an+bn}的前n项和，则d+q的值是_______．【答案】【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题意.等差数列的前项和公式为，等比数列的前项和公式为，依题意，即，通过对比系数可知，故.1．（2021·山东临沂市·高三其他模拟）已知数列的首项，则_________．【答案】【详解】由，则，以此类推可知，对任意的，都有，即数列是以为周期的周期数列，因为，所以.2．（2021·山东淄博市·高三一模）已知等比数列中，首项，公比是，，是函数的两个极值点，则数列的前9项和是___________.【答案】1022【详解】由得又因为，是函数的两个极值点所以，是函数的两个零点故因为所以故，则前9项和3．（2020·山东淄博市·高三零模）已知数列为等差数列，数列为等比数列．若集合，集合，集合（，），且，则______．【答案】5【详解】由，其中，，可得，则，令，或可得，①令中的，根据等差数列的性质可得，所以，②根据①②得出，所以；令中的，根据等差数列的性质可得，所以，③根据①③得出，所以；同理令中的，根据等差数列的性质可得，所以，与①联立可；令中的，根据等差数列的性质可得，所以，与①联立可；综上所述.4．（2019·山东日照市·高三期末（文））“斐波那契数列”由十三世纪意大利数学家列昂纳多•斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”，斐波那契数列满足：，，，记其前项和为，设（为常数），则__________．（用表示）【答案】【解析】由题意可得．5．（2020·山东高三专题练习）在等比数列中，，，则的值为_________.【答案】1【详解】由为等比数列可得，∴.又同号，∴，∴.（限时：30分钟）1．数列是等差数列，若，，则使前项和成立的最大自然数是________．【答案】【详解】由于数列是等差数列，且，.若，则数列为单调递减数列，从而，矛盾！若，则，数列为单调递减数列，合乎题意.，，，因此，使得成立的最大自然数为.2．已知公差不为0的等差数列的部分项，，，……构成等比数列，且，，，则___________.【答案】【详解】解：设等差数列的公差为，则，

由已知，

即，得，

于是，在等比数列中，公比．

由为数列的第项，知；

由为数列的第项，知，

，故.

3．已知一族双曲线（且），设直线与在第一象限内的交点为，点在的两条渐近线上的射影分别为、，记的面积为，则___________.【答案】【详解】双曲线（且）的两条渐近线为、，所以，双曲线的两条渐近线互相垂直，直线与在第一象限内的交点为，设点在直线上的射影点为，则，设点在直线上的射影点为，则，则，则，，所以，，因此，.4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a5＝6，a3+a9＝14，数列{bn}满足bn＝，记{bn}的前n项和为Tn，Tn的最小值为t，若x+y＝t（x，y＞0），则最小值为__．【答案】9【详解】解：由等差数列中项公式知，a3+a9＝14＝2a6，∴a6＝7，∵a5＝6，∴公差d＝1，∴数列{an}的通项公式为an＝a5+（n﹣5）d＝n+1，∴a1＝2，Sn＝＝，∴bn＝＝＝，所以是单调递增数列，故Tn的最小值为，所以∴＝，当且仅当，即时，等号成立，∴的最小值为9．5．已知数列的前项和为，，，则数列的前项和_____________.【答案】【详解】由，得，当时，，两式作差，得，化简得，当时，，，，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，故，，，错位相减得，即.6．设数列的前项和为，.若，则________.【答案】【详解】当时，，解得：；当时，，即，数列是以为首项，为公比的等比数列，，；经检验：时，满足；综上所述：，，解得：.7．设公差不为的等差数列的前项和为．若数列满足：存在三个不同的正整数，使得成等比数列，也成等比数列，则的最小值为__．【答案】【详解】解：根据题意，数列为等差数列，设，若存在三个不同的正整数，使得成等比数列，也成等比数列，则有，即联立得，变形可得，又由等差数列的公差不为，即，则有，代入①式可得，又由互不相等且，则，必有，则，所以，，故，设，则，当且仅当时等号成立，此时不是正整数，不符合题意，而，且，，则有，即的最小值为，8．已知数列满足：，，若上取整函数表示不小于的最小整数(例如：，)，设，数列的前项和为，则___________.【答案】【详解】由得：，，，，；，数列为递增数列，由得：，，，则当时，，，，.9．在一个有限数列的每相邻两项之间插入这两项的等差中项，从而形成一个新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次扩充．如数列，，扩充一次后得到，，，扩充两次后得到，，，，，以此类推．设数列，，（为常数），扩充次后所得所有项的和记为，则______________．【答案】【详解】扩充次后所得数列为，因此从到是等差数列，项数为，且中间项为；从到也是等差数列，项数为，且中间项为；根据等差数列的性质可得.10．记等差数列的前项和为，若，则___________.【答案】【详解】设等差数列的公差，由，可得：，∴，即，11．已知等比数列的公比，前项积为，若，则________．【答案】【详解】因为，解得．由等比数列的通项公式得，所以．12．已知等差数列{an}的公差不为0，a1=1，且a2，a4，a8成等比数列，设{an}的前n项和为Sn，则Sn=___________.【答案】(nN*)【详解】设等差数列{an}的公差为d，由a2，a4，a8成等比数列，所以，即即解得或(舍).所以13．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，数列{an}的“差数列”的通项公式为an＋1－an＝2n，则数列{an}的前n项和Sn＝________．【答案】2n＋1－2【详解】因为an＋1－an＝2n，所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋2＝＋2＝2n－2＋2＝2n，所以Sn＝．14．已