艺术生高考数学专题讲义：考点33 空间点、直线、平面之间的位置关系

考点三十三空间点、直线、平面之间的位置关系

知识梳理

1.平面的概念

数学中的平面是一个不加定义的原始概念，常见的桌面、黑板面、海平面都给我们平面的形

象.几何里所说的平面就是从这样的一些物体抽象出来的，平面是无限延展的，没有厚度，

也没有大小、轻重之分.

2.空间中的四个公理及其推论

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.

公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.

推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有与一个平面.

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面.

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面.

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.

3.等角定理

空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

4.直线与直线的位置关系

(1)位置关系的分类

(2)异面直线所成的角

①定义：过空间任意一点尸分别引两条异面直线小6的平行线八，b//h),这两条

相交直线所成的锐角(或直角)就是异面直线a,b所成的角.

②范围：(0,f.

5.空间直线与平面、平面与平面的位置关系

图形语言符号语言公共点

直相交aHa=A1个

线

平行a//a0个

与

在平面

平aua无数个

内

面

平平行a//p0个

面

相交aCB=l无数个

与

平

面

典例剖析

题型一平面的基本性质及应用

例1在下列命题中，不图公理的是.

①平行于同一个平面的两个平面相互平行

②过不在同一条直线上的三点，有且只有一

个平面

③如果一条直线上的两点在一个平面内，那

么这条直线上所有的点都在此平面内

④如果两个不重合的平面有一个公共点，那

么它们有且只有一条过该点的公共直线

答案①

解析由立体几何基本知识知，②项为公理2,C项为公理1,④项为公理3,①项不是公理.

变式训练下列结论正确的是.

①经过一条直线和这条直线外一点可以确定一个平面

②经过两条相交直线，可以确定一个平面

③经过两条平行直线，可以确定一个平面

④经过空间任意三点可以确定一个平面

答案3个

解析当三点在一条直线上时不能确定平面，故④不正确，①②③正确.

解题要点三点不一定确定一个平面.当三点共线时，可确定无数个平面.

题型二空间直线的位置关系

例2正方体AG中，E、尸分别是线段BC、CG的中点，则直线AB与直线E尸的位置关

系是.

答案相交

解析如图所示，直线AiB与直线外一点E确定的平面为ABC。，EFU平面AiBCQ”且

两直线不平行，故两直线相交.

变式训练如图是正四面体（各面均为正三角形）的平面展开图，G、H、例、N分别为DE、

BE、EF、EC的中点，在这个正四面体中，

①与EF平行；②BD与MN为异面直线；

③GA与MN成60。角；④。E与MN垂直.

以上四个命题中，正确命题的序号是.

答案②③④

解析还原成正四面体知G”与EF为异面直线，BD与MN为异面直线,GH与MN成60。

角，DE1MN.

解题要点1.空间两条直线的位置关系有三种：平行，相交和异面，要正确理解异面直线“不

同在任何一个平面内”的含义，不要理解成“不在同一个平面内”.

2.对于较复杂几何体的线面关系判定问题，应注意借助图形，考察各点、线在空间中的相对

位置.

3.正四面体的特性：对棱都异面且互相垂直，记住这个特性有助于快速解题.

题型三异面直线判定问题

例3如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB,CD,EF,G”在原正方体

中互为异面直线的对数为.

答案3

解析AB,CD,EF和G”在原正方体中如图所示，显然A2与C£>,EF与GH,AB与GH

都是异面直线，而48与EF相交，与G”相交，CQ与EF平行.故互为异面的直线有

且只有三对.

变式训练若直线/不平行于平面a,且/Qa,则.

①a内的所有直线与/异面

②a内不存在与/平行的直线

③a内存在唯一的直线与/平行

④a内的直线与/都相交

答案②

解析依题意，直线/Ca=A（如图）.a内的直线若经过点A,则与直线/相交；若不经过点

A,则与直线/是异面直线，故选②.

解题要点判定异面直线有以下异面直线判定定理:平面内一点与平面外一点的连线,与此平

面内不经过该点的直线是异面直线.另外判定两条直线异面，还可依据：

①定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线；

②既不平行也不相交的两条直线是异面直线。

题型四异面直线所成角的求解

例4己知正方体中，E、尸分别为BB|、CG的中点，那么异面直线AE

与。尸所成角的余弦值为.

3

答案5

解析如图，连接QF,

因为OF与AE平行，所以/。尸。即为异面直线AE与GF所成角的平面角，设正方体的棱

长为2,则尸£>i=F£>=小，由余弦定理得cos/r>FDi=3)2：第；；—"=].

变式训练直三棱柱ABC-ABiG中，若NBAC=90。，AB=AC=AA],则异面直线84与

AC所成的角等于.

答案60°

解析如图，可补成一个正方体，

：.AC\//BD\.：.BA\与AG所成角的大小为/A由5.

又易知△AIBDI为正三角形，•..NA|BQi=60。.

即BAi与AG成60。的角.

解题要点求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化

为共面问题来解决.根据空间等角定理及推论可知,异面直线所成角的大小与顶点位置无关,

往往可以选在其中一条直线上(线面的端点或中点)利用三角形求解.

当堂练习

1.下列四个结论：

(1)两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行.

(2)两条直线没有公共点，则这两条直线平行.

(3)两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行.

(4)一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行.

其中正确的个数为.

答案0

解析对(1),两条直线都和同一个平面平行，这两条直线三种位置关系都有可能；

对(2),两条直线没有公共点，则这两条直线平行或异面；

对(3),两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线三种位置关系都有可能；

对(4),一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线也可在这个平面内.

2.以下命题正确的是.

①两个平面可以只有一个交点

②一条直线与一个平面最多有一个公共点

③两个平面有一个公共点，它们可能相交

⑤两个平面有三个公共点，它们一定重合

答案③

解析对于①，两个平面有一个交点就有过这个点的公共直线，故①错.

对于②，直线在平面内时，可以有无数个公共点.

对于④，当三个公共点在同一直线上时，两平面相交，故④错.

3.正方体A8C£>-4BICQI中，E,尸分别是线段CQ,8C的中点，则直线4B与直线Er

的位置关系是.

答案相交

解析直线48与直线外一点E确定的平面为A8CQ,E『u平面4BCA,且两直线不平

行，故两直线相交.

4.若两条直线和一个平面相交成等角，则这两条直线的位置关系是.

答案平行、异面或相交

解析当平行、异面或相交时，均有两条直线和一个平面相交成等角的情况出现.

5.三个平面两两相交，则交线条数为.

答案1或3

课后作业

一、填空题

1.四个命题：

(1)空间三条直线两两平行，则三条直线可确定三个平面；

(2)空间三点可确定一个平面；

(3)空间一点和一条直线可确定一个平面；

(4)A与B两点到直线/距离相等，则直线/和AB确定一个平面.

其中正确命题的个数为.

答案。个

解析(1)若三条直线在同一个平面内，则确定一个平面，故错误；

(2)若三个点在同一条直线上则不能确定一个平面，故错误；

(3)空间上一点若在直线上，则不能确定一个平面，故错误；

(4)若过A、B两点的直线与直线/异面正方体的棱与底面的对角线异面A、B两点为两顶点),

不能确定一个平面.

2.给定四个命题：(1)一平面的面积可以等于100cm3；(2)平面是矩形或平行四边形形状；(3)

铺得很平的一张白纸是一个平面；(4)20个平面重合在一起比一个平面厚20倍，其中正确的

有.

答案0

解析根据平面的概念知，四个命题都不正确.

3.对于空间中的两条直线，“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的

________条件

答案充分不必要

解析•••两条直线为异面直线=这两条直线没有公共点，反之，当两条直线没有公共点时，

未必是异面直线，，“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的充分不必要

条件.

4.已知异面直线a,b分别在平面a,夕内，且a（V=c,那么直线c•一定.（填序号）

①与人都相交

②只能与。，6中的一条相交

③至少与a,人中的一条相交

④与小b都平行

答案③

解析若c与“，人都不相交，则c与a,〃都平行，则a〃人与a,6异面相矛盾.

5.若h,b，&是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是.（填序号）

①（2b="/b

（§）Zi±Zj>12〃卜=11口3

③l\〃h=l\,，2,，3共面

@/|>，2，共点=/l,12,，3共面

答案②

解析当/」/2,/2上3时，八与，3也可能相交或异面，故①不正确；/4/2,/2〃，3=/4/3，

故②正确；当/|〃/2〃/3时，h，h,/3未必共面，如三棱柱的三条侧棱，故③不正确；/”h,

/3共点时，小h，/3未必共面，如正方体中从同一顶点出发的三条棱，故④不正确.

6.设P表示一个点，a,6表示两条直线，a,“表示两个平面，给出下列四个命题，其中

正确的命题是.（填序号）

①Pda,pea=>flCa；®a^b=P,bUpnaU。；

@a//h,aCa,Peb,PWa=bUa；④:aCf）=b,P^a,PR0npeb.

答案③④

解析当aCa=P时，PRa,Pea,但Ha,...①错；时，②错；

如图，'：a//b,PGb,：.Pia.

由直线a与点P确定唯一平面a.

又a"b,由a与6确定唯一平面夕，但夕经过直线a与点P,

夕与a重合，；.bUa,故③正确；

两个平面的公共点必在其交线上，故④正确.

7.若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的直线.

答案平行或异面

解析两平行平面内的直线可能平行，也可能异面，就是不可能相交.

8.一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、。为原正方体的顶点，则在原来的正方体中

.（填序号）.

①A8〃CD②A8与C。相交③④48与C£>所成的角为60。

答案④

解析如图，把展开图中的各正方形按图3）所示的方式分别作为正方体的前、后、左、右、

上、下面还原，得到图3）所示的直观图，可见选项①、②、③不正确....正确选项为④.图

（b）中，DE//AB,NCDE'为A8与CD所成的角，△CDE为等边三角形，：.ZCDE=60°.

9.如图，在正方体488—4山《。|中，M、N分别为棱C。1、GC的中点，有以下四个

结论：

①直线AM与CC\是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；

③直线8N与是异面直线；④直线AM与。£）|是异面直线.

其中正确的结论为（注：把你认为正确的结论的序号都填上）.

答案③④

解析直线AM与CG是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故①②错误.

10.如图，在正方体A8CD4向G。中，M、N分别是棱C。、CG的中点，则异面直线4M

与ON所成的角的大小是.

答案90°

解析如图所示，取CN的中点K,连接MK,则MK为△（?£>'的中位线，所以MK〃DN.

所以N4MK为异面直线4M与。N所成的角（或其补角）.连接AC”AM设正方体棱长为

4,则A|K=A/（4•戊尸+32="\/^1,MK=^DN=^\j42+22—y[5,A^—^42+42+22—6,

故AIV+MK2=A烂，即/AiMK=90。.

11.如图所示，ABCD4/