特征值与特征向量的概念_第1页
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特征值与特征向量的概念第一页，共十八页，2022年，8月28日成立，那么，这样的数λ称为方阵A的特征值，非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量。(A－λE)x=0(2)这是n个未知数、n个方程的齐次线性方程组。它有非零解的充分必要条件是系数行列式等于零，即特征值与特征向量的概念定义6设A是n阶方阵，如果数λ和n维非零列向量x使关系式Ax=λx(1)(1)式也可以写成如下形式：|A－λE|=0(3)上页下页返回第二页，共十八页，2022年，8月28日上式是以特征方程。由(2)式和(3)式可知(i).A的特征值就是特征方程的解；(ii).特征方程在复数范围内一定有n个根（重根按重数计算）。因此，n阶方阵A有n个特征值。为未知数的一元n次方程，称为方阵A的其左端称为A的特征多项式。上页下页返回第三页，共十八页，2022年，8月28日注意:

(1).实矩阵的特征值不一定是实数，复数特征值是共轭成对出现的；(2).特征向量必为非零向量。上页下页返回第四页，共十八页，2022年，8月28日特征值与特征向量的步骤上页下页返回第五页，共十八页，2022年，8月28日解例5A的特征多项式是：上页下页返回第六页，共十八页，2022年，8月28日所以特征向量可取：上页下页返回第七页，共十八页，2022年，8月28日解得x1=－x2,所以特征向量可取为：上页下页返回第八页，共十八页，2022年，8月28日的特征值和特征向量。例6解所以

A的特征值是求矩阵A的特征多项式是上页下页返回第九页，共十八页，2022年，8月28日上页下页返回第十页，共十八页，2022年，8月28日上页下页返回第十一页，共十八页，2022年，8月28日例7解求矩阵上页下页返回第十二页，共十八页，2022年，8月28日上页下页返回第十三页，共十八页，2022年，8月28日上页下页返回第十四页，共十八页，2022年，8月28日例8证上页下页返回第十五页，共十八页，2022年，8月28日定理2证上页下页返回第十六页，共十八页，2022年，8月28日把上列各式写成矩阵的形式，得上式等号左端第二个矩阵的行列式为范德蒙行列式，各不相等时，该行列式不等于0，从而该矩阵可逆。

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