2022年高中数学选择性必修第二册综合测试卷

2第2第#页共16页⑵设bn=_^nanam，求数列｛bn｝的前n项和Sn.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ex(x-l)-2eax2,a<0.2(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；⑵求函数f(x)的极小值；(3)求函数f(x)的零点个数.19.(本小题满分12分)已知数列｛an｝的前n项和为」2n1(1)求数列｛an｝的通项公式;⑵设bn=(an+1)•2%，求数列｛bn｝的前n项和几20.(本小题满分12分)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元.用d表示a1,a2，并写出an+1与an的关系式；若公司希望经过m(m$3)年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示).21.(本小题满分12分)如图,有一块半径为20米,圆心角ZAOB=^的扇形展示台，该3展示台分为四个区域:三角形OCD,弓形CMD，扇形AOC和扇形BOD(其中ZAOC=ZBOD).某次菊花展依次在这四个区域摆放:泥金香、紫龙卧雪、朱砂红霜、朱砂红霜.预计这三种菊花展示带来的日效益分别是:泥金香50元/米2,紫龙卧雪30元/米2,朱砂红霜40元/米2.设ZCOD=e,试建立日效益总量y关于0的函数关系式；试探求0为何值时，日效益总量达到最大值.22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ln(2x+a)(x>0,a>0),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线在y轴上的截距为In3-2.3求a的值；讨论函数g(x)=f(x)-2x(x>0)和h(x)=f(x)^^(x>0)的单调性；2x1设a=2,a=f(a)，求证:5!^<1-2<0(n^2).15n+1n2na答案全解全析一、单项选择题C由a+a+a=18,得3a=18,.'.a=6,36966又an=6,.an=a6，又d#0,｛aj为单调数列，•:n=6.故选C.C由f(x)=alnx+2得，f(x)=-,X.*.f(e)=-=2，解得a=2e.故选C.eC设等比数列｛an｝的公比为q,则a4a5=^£2J£i=q2=2,a?a3a?a3a6+a7=a4q2+a5q2=(a4+a5)q2=2x2=4.故选C.B设该女子每天分别织布的尺数构成数列｛an｝,则数列｛an｝为等比数列，设其首项为a1，公比为q,前n项和为Sn.则q=2,S5=5,阳二色空,解得三,1?131・・・％=5x22=20.故选B.33131C由S3=S]5得,a4+a5+…+a15=0,..6(a9+a10)=0,即a9+a10=0.又a1>0,.a9>0,a10<0,・・・S的最大项为s9.故选C.n9Cf'(x)=-e-x(cosx+sinx)+e-x(-sinx+cosx)=-2e-xsinx.令f(x)=0,得-2e-xsinx=0，解得x=kn,k^Z,从而xn=nn,n^N*,f(xn)=(-1)ne-nn.因为代陥)=-e-n，所以数列｛f(x)｝是公比为-e-n的等比数列,其首项f(xl)=(-1)ie-n=-e-n./■每)n1其通项公式为f(xn)=(-1)ne-nn,故选C.D由f(l-m)-f(m)$2[(l-m)3-m3]得，f(1-m)-1(1-m)3f(m)-2m3,构造函数333g(x)=f(x)-1x3,则g'(x)=f(x)-x2<0.故g(x)在(0,+s)上单调递减,由函数f(x)为奇函数可3得g(x)为奇函数，故g(x)在R上单调递减，因此原不等式可化为1-mWm,解得m》1,故选D.2A由函数y=f(x-1)的图象关于直线x=1对称知,f(x)是偶函数，设g(x)=x•f(x),则g(x)是奇函数，且当x<0时,g'(x)=f(x)+x•f(x)<0,即g(x)是减函数,.••当x>0时,g(x)也是减函数.又0<sini<i<ln2<log.i=2,22142.\g(sini)>g(ln2)>g(logxi).2^42即(sin»f(sin2)>(ln2)f(ln2)>(logi1)f(log±i).2424a>b>c.故选A.解题模板构造函数,利用单调性解决比较大小的问题中,掌握一些基本的大小关系可帮助解题，如本题中，当0<x<n时,sinx<x,ln2>lnVe=1等.22二、多项选择题9.ABDJS^=16(aiai6)>0,162a+a=a+a^>0,AB正确.89116又S17=17(^i^i7)=17a9<0,Aa9<0,2a>>0,Ad=a-a<0,Aa>0,AA>D正确.TOC\o"1-5"\h\z8981易知S8是S的最大值,s9不是S的最大值,AC错误.故选ABD.8n9n10.AC由题意得,f(x)的定义域为(0,+s),且f'(x)=ex-1,设h(x)=f(x)，则h'(x)=ex+丄>0,XX2Ah(x)在(0,+s)上单调递增，=e=e1-2=Ve-2<0,h(1)=e1-1>0,・・.h(x)存在唯一零点，设为x0,当0<x<x0时，f(x)<0,f(x)单调递减，当x>x0时，f(x)>0,f(x)单调递增，・・・f(x)有唯一极小值点x0，・・・A正确.令f(x0)=e%=0，得e%=1，000x0=ln1=-lnx0.0%0・・・叽)=%-ln%-2=++X。-2无0上2[—•%0-2=0(当且仅当x0=1时等号成立),又1<x0<l，心00020・・・f(x0)>0,即[f(X)监>0,・・・f(x)无零点,・B错误.由f(xo)=1+x0-2,1<x0<1，0可设g(x)=i+x-2，则g'(x)=-±+l.XX2当2<x<1时,g'(x)<0,・・g(x)在(Z,1)上单调递减.22・・・g(l)<g(x)<g(1),即0<f(x0)<1,・C正确，D错误.故选AC.11.BD设等差数列｛an｝的公差为d,由题意得必=a2a8，即(l+3d)2=(l+d)(l+7d),d2-d=0,解得d=0或d=1.当d=0时,a=a=1,n1•*.b=aQan=q,nn•:{bn}的前n项和为nq,B正确.当d=1时,an=n,.*.bn=n•qn(qH0,l).Sn=1xq+2xq2+…+nqn,

q-qn1nqn2-nqn11q.••qSn=lxq2+・・・+(n-l)qnq-qn1nqn2-nqn11q(l-q)S=q+q2+—+qn-nqn+i=q(1-qn)-nqn+in1q又qH1,・・・S=qnqn2-nqnl~qnl,D正确.故选BD.n(1-q)212.BCDf(x)=ex•x3,f(x)=ex(x3+3x2).令f(x)=0,得x=0或x=-3.当x<-3时，f(x)<0,f(x)单调递减，当x>-3时，f(x)$0,f(x)单调递增,A错误.又0<log52<i<e-21<1<lnn,f(log52)<f(e-2)<f(lnn),B正确.3・・・f(0)=0,f(-3)=e-3•(-3)3=-(3)<-1,e・・.f(x)=-1有实数根,C正确.设f(x)=kx,显然x=0是方程的根，当x#0时,k=住^=ex•X2,设g(x)=ex•X2,贝g'(x)=x(x+2)ex,X令g'(x)=0,得x=0或x=-2.当x发生变化时,g'(x),g(x)的变化情况如下表:x3,-2)x3,-2)-2(-2,0)0g'(x)+0-04g(x)/e2\0(0,+s)+/画出画出y=g(x)的大致图象,如图,-20-20・••当0<k<4时,g(x)=k有3个实数根,・・・D正确.故选BCD.e2三、填空题答案6解析设等差数列｛an｝的公差为d.则3d=a6-a3=6，解得d=2.所以a10-a7=3d=6.答案768解析由a1=3S，得S1-S=3S，即S1=4S，又S1=a1=1,所以数列｛S｝是首项为1,n+1nn+1nnn+1n11n公比为4的等比数列，所以S=4n-1，所以a=S-S=45-4仁3x4仁768.n665答案x-y-1=0解析Tf(x)=xg(x)，Af(x)=g(x)+xg'(x).•.•曲线y=f(x)在(1，f(1))处的切线方程是x-y-1=0，r1-/(1)-1=0,•jf(l)=O,・・｛广(1)=1,・・｛广(1)=1・

当x>i+V5或i-V5<x<i,f(x)<o,f(x)单调递减，当i<x<i+V5或x<i-V5时，f(x)>o,f(x)单调递增.又当Xfg时，f(x)<0,f(l+V5)=f(l-V5)=16,・：f(x)的最大值为16.四、解答题17.解析(1)设等差数列｛an｝的首项为a1,公差为d.=3,a5=6,(a{(a{1a1:4d==；解得需J2分)an=a1+(n-1)d=n+1.(4分)⑵由⑴知a=n+1,・：b—1=——1一=丄-丄,(6分)nn«n«n+1(n+1)(n+2)n+1n+2.*.S—b+b+…+b—1-i+1-i++^—^^^(8分)n12n2334n+1n+2—丄-丄—^^.(10分)2n+22(n+2)18.解析(1)由已知得，f(x)的定义域为R,f'(x)—ex(x-1)+ex-eax—x(ex-ea),f'(0)—0.又f(0)--1,・・・切点坐标为(0,-1).・・・曲线y—f(x)在点(0,-1)处的切线方程为y--1.(4分)⑵由(1)知f(x)—x(ex-ea).令f(x)—0,得x—0或x—a(a<0).当x发生变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表：(0,+s)+/x(-s,a)a(0,+s)+/f'(x)+0-0f(x)/极大值'极小值・・・f(x)在(®,a),(O,+x)上单调递增,在(a,0)上单调递减.・・・f（x）在x=0处取得极小值，且极小值为f（0）=-l.（8分）⑶由(2)知f(x)的极大值为f(a)=ea(a-1)-1eaa2=(a-1-2fl2)ea<0(a<0),22f(0)=-1<0,f(2)=e2-2ea.*.*a<0,A0<ea<1,Af(2)>0.・・・函数f（x）的零点个数为1.（12分）19.解析（1）设等差数列｛an｝的首项为a1,公差为d,令n=1,得D,所以a1a2=3.①（1分）口1口23令n=2,得丄+丄=5,a1a2a2a35所以a2a3=15.②（3分）由①②得a1=1,d=2，所以an=2n-1.（5分）(2)由(1)矢口bn=2n•22n-i=n•4n,所以T=1•4i+2•42+・・・+n•4n,n所以4Tn=1•42+・・・+(n-1)•4n+n•4n+1,(7分)两式相减，得-3Tn=41+42+・・・+4n-n•4n+1(9分)=4(14町-n•4n+1=i^^•4n+1-4,(11分)1433所以T=込1・4n+1+4=43-1)・4初.(12分)n999解析(1)由题意得a=2000(1+50%)-d=3000-d,a=a(1+50%)-d=3a-d=412121500-5d,(2分)2a尸a(1+50%)-d=3a-d.(5分)n+1n2n⑵由⑴得an=|an.1-d=|•(|%2可缶(|)2•玄“工尹缶…弋广1a"1+2+(3)2+・・・+(|广2,(7分)整理得an=(|)n"1(3000-d)-2d•(尹1-1电广力000-3d)+2d.(9分)由题意知am=4000,所以(2)m_1(3000-3d)+2d=4000,亦/曰1(3)m-2X1000解得d=(泸1_1000(3叫2如)(ii分3m-2m故该企业每年上缴资金d的值为1000(3心⑷)万元时，经过m(m$3)年企业的剩余资3m-2m金为4000万元.(12分)解析(1)依题意得,ZAOC=3M=n2(2分)232则y=ix(n--)x202x40x2+ix202xsin0^50+Ix0x202-ix202xsin0^x302>32丿222=16000x(n--)+10000sin0+60000-6000sin0=i6000n+4000sin0-20000,0<0<2n.(6分)33(2)由(1)得,y'=4000cos0-2000,令y'=0,得cos0=2,2又0<0<空,所以0=n,(8分)33当0<0<n时,y'>0,当¥<0<竺时,y'<0,(10分)333所以0=n是函数的极大值点，且唯一；3所以当0=呼寸，日效益总量达到最大值.(12分)3解析(1)由f(x)=ln(2x+a),得f(x)二「，因此f(1)=丄.(1分)2%a2a又因为f(1)=ln(2+a),所以曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y-ln(2+a)=-J(x-1),2a即y=_^x+ln(2+a)--^.(2分)2a2a由题意得,ln(2+a)--^=ln3-2,2a3易得a=1，符合上式.(3分)令申(a)=ln(2+a)--^(a>0),2a贝H0@)=丄+—2—>0,2a(2a)2所以叽a)为单调递增函数，故a=1是唯一解.(4分)(2)由(1)可知,g(x)=ln(2x+l)-2x(x>0),h(x)=ln(2x+l)--^(x>0),2x1则g'(x)=—-2二-旦<0,2x12x1所以g(x)=f(x)-2x(x>0)为单调递减函数.(6分)因为h'(x)=—^-—2—=——>0,2x1(2x1)2(2x1)2所以h(x)=f(x)-王(x>0)为单调递增函数.(8分)2x1⑶证明:由a=2,a=f(a)=ln(2a+1),易得a>0.15n+1nnn所以込竺<丄2等价于a<竺.(9分)2池％n5由⑵可知,g(x)=f(x)-2x=ln(2x+1)-2x在(0,+s)上为单调递减函数.因此，当x>0时,g(x)<g(0)=0,即f(x)<2x.令％=%-1@上2),得f(an-1)<2an-1,即a<2a.nn-1因此，当n$2时,a<2a<22a<^<2n-1•a=^.nn-1n-215所以52上l<丄-2成立.(10分)2nan下面证明:—-2<0.an由⑵可知,h(x)=f(x)--?^=ln(2x+1)--在(0,+s)上为单调递增函数,2x12x1因此，当x>0时,h(x)>h