n阶行列式的定义全

第一章行列式

§1n阶行列式的定义

§2行列式的性质

§3行列式按行(列)展开

§4克拉默法则n阶行列式的定义全共33页，您现在浏览的是第1页!§1n阶行列式的定义●二阶与三阶行列式●排列与逆序●n阶行列式的定义n阶行列式的定义全共33页，您现在浏览的是第2页!一、二阶与三阶行列式二元线性方程组

由消元法，得当时，该方程组有唯一解

1.二阶行列式n阶行列式的定义全共33页，您现在浏览的是第3页!求解公式为二元线性方程组

请观察，此公式有何特点？分母相同，由方程组的四个系数确定.分子、分母都是四个数分成两对相乘再相减而得.n阶行列式的定义全共33页，您现在浏览的是第4页!二元线性方程组

若令

(方程组的系数行列式)则上述二元线性方程组的解可表示为n阶行列式的定义全共33页，您现在浏览的是第5页!三阶行列式的计算

——对角线法则注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.

实线上的三个元素的乘积冠正号，虚线上的三个元素的乘积冠负号.n阶行列式的定义全共33页，您现在浏览的是第6页!方程左端解由得例2

求解方程

n阶行列式的定义全共33页，您现在浏览的是第7页!n个不同的自然数，规定从小到大为标准次序.定义

在一个n级排列中，如果数，则称数与构成一个逆序。在一个n级排列中，逆序的总数称为该排列的逆序数，记为例如在排列32514中，32514逆序逆序逆序思考题：还能找到其它逆序吗？答：2和1，3和1也构成逆序.n阶行列式的定义全共33页，您现在浏览的是第8页!例1：求排列32514的逆序数.解：练习：求排列453162的逆序数.解：因为3排在首位，故其逆序的个数为0；

在2的前面比2大的数有1个，故其逆序的个数为1；

在5的前面比5大的数有0个，故其逆序的个数为0；在1的前面比1大的数有3个，故其逆序的个数为3；

在4的前面比4大的数有1个，故其逆序的个数为1。易见所求排列的逆序数为

n阶行列式的定义全共33页，您现在浏览的是第9页!定理1任意一个排列经过一个对换后，改变奇偶性。即经过一次对换，奇排列变为偶排列，偶排列变为奇排列。证明：种情形。先看相邻对换的情况设排列为，对换与，变为显然，，这些元素的逆序数经过对换并不改变，与两元素的逆序数改变为：当时，经对换后的逆序数增加1而的逆序数不变；当时，经对换后的逆序数不变而的逆序数减少1；所以，排列与排列的奇偶性改变。n阶行列式的定义全共33页，您现在浏览的是第10页!定理2个自然数共有个级排列，其中奇偶排列各占一半。证明级排列的总数为个。设其中奇排列为个，偶排列为个。若对每个奇排列都做同一对换，则由定理1，个奇排列均变成偶排列，故；同理，对每个偶排列做同一变换，则个偶排列均变成奇排列，故。从而，n阶行列式的定义全共33页，您现在浏览的是第11页!所以，三阶行列式可以写成

其中表示对所有3级排列求和。二阶行列式有类似规律。下面将行列式推广到一般的情形

n阶行列式的定义全共33页，您现在浏览的是第12页!规律

n阶行列式共有

n!

项．每项都是取自不同行不同列的

n

个元素的乘积，每项各元素行标按自然数顺序排列后就是行列式的一般项形式：

3.若行列式每项的行标都按自然数的顺序排列，其中

是指项的符号，且列序构成

n

级排列，若此排列为奇排列则此项取负号，若此排列为偶排列则此项取正号，所以行列式项的符号一半为正，一半为负。n阶行列式的定义全共33页，您现在浏览的是第13页!例如

所表示的代数和中有4！=24项。

行标排列为1234，元素取自不同行；列标排列为1234，元素取自不同列，且逆序数,即元素乘积前面应冠以正号，所以为D的一项。行标排列为1234，元素取自不同行；列标排列为4312，元素取自不同列，且逆序数,即排列4312为奇排列，所以元素乘积前面应冠以负号，所以为D的一项。有两个元素取自第四列，所以它不是D的一项。n阶行列式的定义全共33页，您现在浏览的是第14页!例1计算n阶行列式的值，其中解记行列式的一般项为中有很多项为零，现在考察有哪些项不为零。n阶行列式的定义全共33页，您现在浏览的是第15页!下三角形行列式同理上三角形行列式n阶行列式的定义全共33页，您现在浏览的是第16页!(2)(3)n阶行列式的定义全共33页，您现在浏览的是第17页!例3已知是六阶行列式中的一项，求并确定该项的符号。解由行列式的定义可知，行列式的每一项的元素均取自不同行、不同列，

所以有，再将该项的行标按自然数的顺序排好，得列标的逆序数为为偶排列。故此项符号为正号。n阶行列式的定义全共33页，您现在浏览的是第18页!其求解公式为二元线性方程组

我们引进新的符号来表示“四个数分成两对相乘再相减”.记号数表表达式称为由该数表所确定的二阶行列式，即其中，称为元素.i为行标，表明元素位于第i行；

j为列标，表明元素位于第j

列.n阶行列式的定义全共33页，您现在浏览的是第19页!2.三阶行列式定义

对于有9个元素排成3行3列的式子记称为三阶行列式.主对角线

副对角线

n阶行列式的定义全共33页，您现在浏览的是第20页!例1

计算行列式

解按对角线法则，有n阶行列式的定义全共33页，您现在浏览的是第21页!二、排列与逆序定义由正整数组成的一个没有重复数字的n元有序数组，称为一个n级排列，简称排列，记为。例如42316534121523是一个4级排列是一个6级排列不是一个排列n阶行列式的定义全共33页，您现在浏览的是第22页!计算排列的逆序数的方法则此排列的逆序数为设是1,2,…,n这n个自然数的任一排列，并规定由小到大为标准次序。先看有多少个比大的数排在前面，记为；再看有多少个比大的数排在前面，记为;……最后看有多少个比大的数排在前面，记为;n阶行列式的定义全共33页，您现在浏览的是第23页!定义逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的排列称为奇排列。定义把一个排列中某两个数，的位置互换，而其余数不动，得到另一个排列，这样的变换称为一个对换，记为。将两个相邻元素对换，称为相邻对换n阶行列式的定义全共33页，您现在浏览的是第24页!第二种情形。再看一般情况。设排列为，对它做次相邻对换，变成再做次相邻对换，变成总之，经次相邻对换，排列变成所以这两个排列的奇偶性改变。n阶行列式的定义全共33页，您现在浏览的是第25页!三、n阶行列式的定义规律：三阶行列式共有3!项。每项都是取自不同行、不同列的三个元素的乘积。每项的符号取决于：当该项元素的行标按自然数顺序排列后，如果对应的列标构成的排列是偶排列则取正号，奇排列则取负号。n阶行列式的定义全共33页，您现在浏览的是第26页!定义由个元素排成n行、n列构成的记号：简记作，其中为行列式D的(i,j)元称为n阶行列式，其中表示对所有n阶排列求和。n阶行列式的定义全共33页，您现在浏览的是第27页!思考题：成立吗？答：符号可以有两种理解：若理解成绝对值，则；若理解成一阶行列式，则.注意：当n=1时，一阶行列式|a|=a，注意不要与绝对值的记号相混淆.例如：一阶行列式.n阶行列式的定义全共33页，您现在浏览的是第28页!定理3n阶行列式也可以定义为证明按行列式定义有记由上面讨论知：对于中任一项，总有且仅有中某一项与之对应并相等于是，与中的项可以一一对应并相等。从而，n阶行列式的定义全共33页，您现在浏览的是第29页!一般项中个元素取自行，但行中只有不为零，因而，即中只有含有的那些项可能不为零，其他项均为零；一般项中第二个元素取自第二行，第二行中有和不为零，因个元素已取自列，因此第二个元素不能再取自列，即不能取，所以第二个元素只能取，从而，即中只有含的那些项可能不为零，其他项均为零；这样推下去，可得，，…，。因此，中只有这一项不为零，其他项均为零。由于，因此这一项应取正号，于是可得n阶行列式的定义全共33页，您现在浏览的是第30页!特殊情况：(1)对角行列式行列式中从左上角到右下角的对角线称为主对角线由行列式定义不难得出：一个行列式若有一