2023高考数学大一轮复习第七章不等式教师用书理

PAGEPAGEPAGE2第七章eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,,,,,,))不等式第一节不等式的性质及一元二次不等式本节主要包括2个知识点：1.不等式的性质；2.一元二次不等式.本节主要包括2个知识点：1.不等式的性质；2.一元二次不等式.突破点(一)不等式的性质根底联通抓主干知识的“源〞与“流〞1．比拟两个实数大小的方法(1)作差法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b>0⇔a>ba，b∈R，,a－b＝0⇔a＝ba，b∈R，,a－b<0⇔a<ba，b∈R.))(2)作商法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)>1⇔a>ba∈R，b>0，,\f(a,b)＝1⇔a＝ba∈R，b>0，,\f(a,b)<1⇔a<ba∈R，b>0.))2．不等式的根本性质性质性质内容特别提醒对称性a>b⇔b<a⇔传递性a>b，b>c⇒a>c⇒可加性a>b⇔a＋c>b＋c⇔可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>0))⇒ac>bc注意c的符号eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c<0))⇒ac<bc同向可加性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>d))⇒a＋c>b＋d⇒同向同正可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b>0,c>d>0))⇒ac>bd>0⇒可乘方性a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)a，b同为正数可开方性a>b>0⇒eq\r(n,a)>eq\r(n,b)(n∈N，n≥2)3.不等式的一些常用性质(1)倒数的性质①a>b，ab>0⇒eq\f(1,a)<eq\f(1,b).②a<0<b⇒eq\f(1,a)<eq\f(1,b).③a>b>0,0<c<d⇒eq\f(a,c)>eq\f(b,d).④0<a<x<b或a<x<b<0⇒eq\f(1,b)<eq\f(1,x)<eq\f(1,a).(2)有关分数的性质假设a>b>0，m>0，那么：①eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m)；eq\f(b,a)>eq\f(b－m,a－m)(b－m>0)．②eq\f(a,b)>eq\f(a＋m,b＋m)；eq\f(a,b)<eq\f(a－m,b－m)(b－m>0).考点贯穿抓高考命题的“形〞与“神〞比拟两个数(式)的大小[例1](1)a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，那么M与NA．M<N B．M>NC．M＝N D．不确定(2)假设a＝eq\f(ln2,2)，b＝eq\f(ln3,3)，那么a________b(填“＞〞或“＜〞)．[解析](1)M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)(a2－1)，又∵a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，∴a1－1<0，a2－1<0.∴(a1－1)(a2－1)>0，即M－N>0.∴M>(2)易知a，b都是正数，eq\f(b,a)＝eq\f(2ln3,3ln2)＝log89＞1，所以b＞a.[答案](1)B(2)<[方法技巧]比拟两个数(式)大小的两种方法不等式的性质[例2](1)如果a<b<0，那么以下不等式成立的是()A.eq\f(1,a)<eq\f(1,b) B．ab<b2C．－ab<－a2 D．－eq\f(1,a)<－eq\f(1,b)(2)以下命题中，正确的选项是()A．假设a>b，c>d，那么ac>bdB．假设ac>bc，那么a>bC．假设eq\f(a,c2)<eq\f(b,c2)，那么a<bD．假设a>b，c>d，那么a－c>b－d(3)(2022·西安八校联考)“x1>3且x2>3”是“x1＋x2>6且x1x2>9”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件[解析](1)法一(性质判断)：对于A项，由a<b<0，得b－a>0，ab>0，故eq\f(1,a)－eq\f(1,b)＝eq\f(b－a,ab)>0，eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，故A项错误；对于B项，由a<b<0，得b(a－b)>0，ab>b2，故B项错误；对于C项，由a<b<0，得a(a－b)>0，a2>ab，即－ab>－a2，故C项错误；对于D项，由a<b<0，得a－b<0，ab>0，故－eq\f(1,a)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,b)))＝eq\f(a－b,ab)<0，－eq\f(1,a)<－eq\f(1,b)成立，故D项正确．法二(特殊值法)：令a＝－2，b＝－1，那么eq\f(1,a)＝－eq\f(1,2)>eq\f(1,b)＝－1，ab＝2>b2＝1，－ab＝－2>－a2＝－4，－eq\f(1,a)＝eq\f(1,2)<－eq\f(1,b)＝1.故A、B、C项错误，D项正确．(2)取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，可知A错误；当c<0时，ac>bc⇒a<b，∴B错误；∵eq\f(a,c2)<eq\f(b,c2)，∴c≠0，又c2>0，∴a<b，C正确；取a＝c＝2，b＝d＝1，可知D错误．(3)x1>3，x2>3⇒x1＋x2>6，x1x2>9；反之不成立，例如x1＝eq\f(1,2)，x2＝20，x1＋x2＝eq\f(41,2)>6，x1x2＝10>9，但x1<3.故“x1>3且x2>3”是“x1＋x2>6且x1x2>9”的充分不必要条件．[答案](1)D(2)C(3)A[方法技巧]不等式性质应用问题的常见类型及解题策略(1)不等式成立问题．熟记不等式性质的条件和结论是根底，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件．(2)与充分、必要条件相结合问题．用不等式的性质分别判断p⇒q和q⇒p是否正确，要注意特殊值法的应用．(3)与命题真假判断相结合问题．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．能力练通抓应用体验的“得〞与“失〞1.eq\a\vs4\al([考点一])设a，b∈[0，＋∞)，A＝eq\r(a)＋eq\r(b)，B＝eq\r(a＋b)，那么A，B的大小关系是()A．A≤B B．A≥BC．A<B D．A>B解析：选B由题意得，B2－A2＝－2eq\r(ab)≤0，且A≥0，B≥0，可得A≥B.2.eq\a\vs4\al([考点二])假设m＜0，n＞0且m＋n＜0，那么以下不等式中成立的是()A．－n＜m＜n＜－m B．－n＜m＜－m＜nC．m＜－n＜－m＜n D．m＜－n＜n＜－m解析：选D法一：(取特殊值法)令m＝－3，n＝2分别代入各选项检验即可．法二：m＋n＜0⇒m＜－n⇒n＜－m，又由于m＜0＜n，故m＜－n＜n＜－m成立．3.eq\a\vs4\al([考点二])假设a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，那么以下结论：①ad＞bc；②eq\f(a,d)＋eq\f(b,c)＜0；③a－c＞b－d；④a(d－c)＞b(d－c)中，成立的个数是()A．1B．2C解析：选C∵a＞0＞b，c＜d＜0，∴ad＜0，bc＞0，∴ad＜bc，故①不成立．∵a＞0＞b＞－a，∴a＞－b＞0，∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0，∴a(－c)＞(－b)(－d)，∴ac＋bd＜0，∴eq\f(a,d)＋eq\f(b,c)＝eq\f(ac＋bd,cd)＜0，故②成立．∵c＜d，∴－c＞－d，∵a＞b，∴a＋(－c)＞b＋(－d)，a－c＞b－d，故③成立．∵a＞b，d－c＞0，∴a(d－c)＞b(d－c)，故④成立．成立的个数为3.4.eq\a\vs4\al([考点二])设a，b是实数，那么“a>b>1”是“a＋eq\f(1,a)>b＋eq\f(1,b)〞的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选A因为a＋eq\f(1,a)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,b)))＝eq\f(a－bab－1,ab)，假设a>b>1，显然a＋eq\f(1,a)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,b)))＝eq\f(a－bab－1,ab)>0，那么充分性成立，当a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(2,3)时，显然不等式a＋eq\f(1,a)>b＋eq\f(1,b)成立，但a>b>1不成立，所以必要性不成立．突破点(二)一元二次不等式根底联通抓主干知识的“源〞与“流〞1．三个“二次〞之间的关系判别式Δ＝b2－4Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两个相异实根x1，x2(x1＜x2)有两个相等实根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)没有实数根一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|x<x1或x>x2}eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))R一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅2.不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件(1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝b＝0，,c>0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0.))(2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝b＝0，,c<0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ<0.))考点贯穿抓高考命题的“形〞与“神〞一元二次不等式的解法[例1]解以下不等式：(1)－3x2－2x＋8≥0；(2)0＜x2－x－2≤4；(3)ax2－(a＋1)x＋1＜0(a＞0)．[解](1)原不等式可化为3x2＋2x－8≤0，即(3x－4)(x＋2)≤0.解得－2≤x≤eq\f(4,3)，所以原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－2≤x≤\f(4,3))))).(2)原不等式等价于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－x－2＞0，,x2－x－2≤4))⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－x－2＞0，,x2－x－6≤0))⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2x＋1＞0，,x－3x＋2≤0))⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞2或x＜－1，,－2≤x≤3.))借助于数轴，如下图，原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－2≤x＜－1或2＜x≤3)).(3)原不等式变为(ax－1)(x－1)＜0，因为a＞0，所以aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－1)＜0.所以当a＞1，即eq\f(1,a)<1时，解为eq\f(1,a)＜x＜1；当a＝1时，解集为∅；当0＜a＜1，即eq\f(1,a)>1时，解为1＜x＜eq\f(1,a).综上，当0＜a＜1时，不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(1＜x＜\f(1,a)))))；当a＝1时，不等式的解集为∅；当a＞1时，不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＜x＜1)))).[方法技巧]1．解一元二次不等式的方法和步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式．(2)判：计算对应方程的判别式．(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根．(4)写：利用“大于取两边，小于取中间〞写出不等式的解集．2．解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中假设含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．(2)当不等式对应方程的实根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无实根时可直接写出解集，确定方程有两个实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式．由一元二次不等式恒成立求参数范围对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．另外，常转化为求二次函数的最值或用别离参数求最值．考法(一)在实数集R上恒成立[例2]不等式mx2－2x－m＋1＜0，是否存在实数m使得对所有的实数x，不等式恒成立？假设存在，求出m的取值范围；假设不存在，请说明理由．[解]不等式mx2－2x－m＋1＜0恒成立，即函数f(x)＝mx2－2x－m＋1的图象全部在x轴下方．当m＝0时，1－2x＜0，那么x＞eq\f(1,2)，不满足题意；当m≠0时，函数f(x)＝mx2－2x－m＋1为二次函数，需满足开口向下且方程mx2－2x－m＋1＝0无解，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＜0，,Δ＝4－4m1－m＜0，))不等式组的解集为空集，即m无解．综上可知不存在这样的实数m使不等式恒成立．考法(二)在某区间上恒成立[例3]设函数f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，假设对于x∈[1,3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求m的取值范围．[解]要使f(x)＜－m＋5在[1,3]上恒成立，那么mx2－mx＋m－6＜0，即meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)m－6＜0在x∈[1,3]上恒成立．法一：令g(x)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)m－6，x∈[1,3]．当m＞0时，g(x)在[1,3]上是增函数，所以g(x)max＝g(3)＝7m所以m＜eq\f(6,7)，那么0＜m＜eq\f(6,7).当m＜0时，g(x)在[1,3]上是减函数，所以g(x)max＝g(1)＝m－6＜0.所以m＜6，那么m＜0.综上所述，m的取值范围是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜m＜\f(6,7)或m＜0)))).法二：因为x2－x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)＞0，又因为m(x2－x＋1)－6＜0，所以m＜eq\f(6,x2－x＋1).因为函数y＝eq\f(6,x2－x＋1)＝eq\f(6,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋\f(3,4))在[1,3]上的最小值为eq\f(6,7)，所以只需m＜eq\f(6,7)即可．因为m≠0，所以m的取值范围是mm＜0或0＜m＜eq\f(6,7).考法(三)在参数的某区间上恒成立时求变量范围[例4]对任意m∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x[解]由f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m＝(x－2)m＋x2－4x＋4，令g(m)＝(x－2)m＋x2－4x那么原问题转化为关于m的一次函数问题．由题意知在[－1,1]上，g(m)的值恒大于零，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g－1＝x－2×－1＋x2－4x＋4>0，,g1＝x－2＋x2－4x＋4>0，))解得x<1或x>3.故当x的取值范围是(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m∈[－1,1]，函数f(x)的值恒大于零．[易错提醒]解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．能力练通抓应用体验的“得〞与“失〞1.eq\a\vs4\al([考点一])不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xx＋2>0，,|x|<1))的解集为()A．{x|－2<x<－1} B．{x|－1<x<0}C．{x|0<x<1} D．{x|x>1}解析：选C解x(x＋2)>0，得x<－2或x>0；解|x|<1，得－1<x<1.因为不等式组的解集为两个不等式解集的交集，即解集为{x|0<x<1}．2.eq\a\vs4\al([考点一])不等式x2－2x－3＜0的解集为A，不等式x2＋x－6＜0的解集为B，不等式x2＋ax＋b＜0的解集为A∩B，那么a＋b等于()A．－3B．1C解析：选A由题意得，A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|－3＜x＜2}，∴A∩B＝{x|－1＜x＜2}，由根与系数的关系可知，a＝－1，b＝－2，那么a＋b＝－3.3.eq\a\vs4\al([考点二·考法一])假设不等式2kx2＋kx－eq\f(3,8)<0对一切实数x都成立，那么k的取值范围为()A．(－3,0) B．[－3,0)C．[－3,0] D．(－3,0]解析：选D当k＝0时，显然成立；当k≠0时，即一元二次不等式2kx2＋kx－eq\f(3,8)<0对一切实数x都成立，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k<0，,k2－4×2k×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,8)))<0，))解得－3<k<0.综上，满足不等式2kx2＋kx－eq\f(3,8)<0对一切实数x都成立的k的取值范围是(－3,0]．4.eq\a\vs4\al([考点二·考法二])假设不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，那么a的取值范围是()A．[－4,1] B．[－4,3]C．[1,3] D．[－1,3]解析：选B原不等式为(x－a)(x－1)≤0，当a<1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a≥－4即可，即－4≤a<1；当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求；当a>1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即1<a≤3.综上可得－4≤a≤3.5.eq\a\vs4\al([考点二·考法三])要使不等式x2＋(a－6)x＋9－3a>0，|a|≤1恒成立，那么x的取值范围为________．解析：将原不等式整理为形式上是关于a的不等式(x－3)a＋x2－6x＋9>0.令f(a)＝(x－3)a＋x2－6x＋9.因为f(a)>0在|a|≤1时恒成立，所以①假设x＝3，那么f(a)＝0，不符合题意，应舍去．②假设x≠3，那么由一次函数的单调性，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f－1>0，,f1>0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－7x＋12>0，,x2－5x＋6>0，))解得x<2或x>4.答案：(－∞，2)∪(4，＋∞)[全国卷5年真题集中演练——明规律]1.(2022·新课标全国卷Ⅰ)集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x＜2}，那么A∩B＝()A．[－2，－1] B．[－1,2)C．[－1,1] D．[1,2)解析：选AA＝{x|x≤－1或x≥3}，故A∩B＝[－2，－1]，应选A.2．(2022·新课标全国卷Ⅱ)设集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x2－3x＋2≤0}，那么M∩N＝()A．{1} B．{2}C．{0,1} D．{1,2}解析：选DN＝{x|x2－3x＋2≤0}＝{x|1≤x≤2}，又M＝{0,1,2}，所以M∩N＝{1,2}．3．(2022·新课标全国卷Ⅰ)集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－eq\r(5)＜x＜eq\r(5)}，那么()A．A∩B＝∅ B．A∪B＝RC．B⊆A D．A⊆B解析：选B集合A＝{x|x＞2或x＜0}，所以A∪B＝{x|x＞2或x＜0}∪{x|－eq\r(5)＜x＜eq\r(5)}＝R，应选B.[课时达标检测]重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考[练根底小题——强化运算能力]1．假设a>b>0，那么以下不等式不成立的是()A.eq\f(1,a)<eq\f(1,b) B．|a|>|b|C．a＋b<2eq\r(ab) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))a<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))b解析：选C∵a>b>0，∴eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，且|a|>|b|，a＋b>2eq\r(ab)，又f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x是减函数，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))a<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))b.故C项不成立．2．函数f(x)＝eq\r(\f(1－x,x＋2))的定义域为()A．[－2,1] B．(－2,1]C．[－2,1) D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)解析：选B要使函数f(x)＝eq\r(\f(1－x,x＋2))有意义，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－xx＋2≥0，,x＋2≠0，))解得－2<x≤1，即函数的定义域为(－2,1]．3．x>y>z，x＋y＋z＝0，那么以下不等式成立的是()A．xy>yz B．xz>yzC．xy>xz D．x|y|>z|y|解析：选C因为x>y>z，x＋y＋z＝0，所以3x>x＋y＋z＝0，所以x>0，又y>z，所以xy>xz，应选C.4．不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4x＋3<0，,2x2－7x＋6>0))的解集是()A．(2,3) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))∪(2,3)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2)))∪(3，＋∞) D．(－∞，1)∪(2，＋∞)解析：选B∵x2－4x＋3<0，∴1<x<3.又∵2x2－7x＋6>0，∴(x－2)(2x－3)>0，∴x<eq\f(3,2)或x>2，∴原不等式组的解集为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))∪(2,3)．5．关于x的不等式ax2＋2x＋c>0的解集为－eq\f(1,3)，eq\f(1,2)，那么不等式－cx2＋2x－a>0的解集为________．解析：依题意知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)＋\f(1,2)＝－\f(2,a)，,－\f(1,3)×\f(1,2)＝\f(c,a)，))∴解得a＝－12，c＝2，∴不等式－cx2＋2x－a>0，即为－2x2＋2x＋12>0，即x2－x－6<0，解得－2<x<3.所以不等式的解集为(－2,3)．答案：(－2,3)[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．设集合A＝{x|x2＋x－6≤0}，集合B为函数y＝eq\f(1,\r(x－1))的定义域，那么A∩B等于()A．(1,2)B．[1,2]C．[1,2) D．(1,2]解析：选DA＝{x|x2＋x－6≤0}＝{x|－3≤x≤2}，由x－1>0得x>1，即B＝{x|x>1}，所以A∩B＝{x|1<x≤2}．2．a，b，c∈R，那么以下命题正确的选项是()A．a>b⇒ac2>bc2 B.eq\f(a,c)>eq\f(b,c)⇒a>bC.eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,ab<0))⇒eq\f(1,a)>eq\f(1,b) D.eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,ab>0))⇒eq\f(1,a)>eq\f(1,b)解析：选C当c＝0时，ac2＝0，bc2＝0，故由a>b不能得到ac2>bc2，故A错误；当c<0时，eq\f(a,c)>eq\f(b,c)⇒a<b，故B错误；因为eq\f(1,a)－eq\f(1,b)＝eq\f(b－a,ab)>0⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab>0，,a<b))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab<0，,a>b，))应选项D错误，C正确．应选C.3．a>0，且a≠1，m＝aa2＋1，n＝aa＋1，那么()A．m≥nB．m>nC．m<n D．m≤n解析：选B由题易知m>0，n>0，两式作商，得eq\f(m,n)＝a(a2＋1)－(a＋1)＝aa(a－1)，当a>1时，a(a－1)>0，所以aa(a－1)>a0＝1，即m>n；当0<a<1时，a(a－1)<0，所以aa(a－1)>a0＝1，即m>n.综上，对任意的a>0，a≠1，都有m>n.4．假设不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x－3≤0，,x2＋4x－1＋a≤0))的解集不是空集，那么实数a的取值范围是()A．(－∞，－4] B．[－4，＋∞)C．[－4,3] D．[－4,3)解析：选B不等式x2－2x－3≤0的解集为[－1,3]，假设eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x－3≤0，,x2＋4x－a＋1≤0))的解集为空集，那么不等式x2＋4x－(a＋1)≤0的解集为集合{x|x<－1或x>3}的子集，因为函数f(x)＝x2＋4x－(a＋1)的图象的对称轴方程为x＝－2，所以必有f(－1)＝－4－a>0，即a<－4，那么使eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x－3≤0，,x2＋4x－1＋a≤0))的解集不为空集的a的取值范围是a≥－4.5．假设不等式x2＋ax－2>0在区间[1,5]上有解，那么a的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23,5)，＋∞)) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(23,5)，1))C．(1，＋∞) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(23,5)))解析：选A由Δ＝a2＋8>0，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f(5)＞0，解得a＞－eq\f(23,5)，故a的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23,5)，＋∞)).6．在R上定义运算：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(a),\s\do5(c))\o(\s\up7(b),\s\do5(d))))＝ad－bc，假设不等式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(x－1),\s\do5(a＋1))\o(\s\up7(a－2),\s\do5(x))))≥1对任意实数x恒成立，那么实数a的最大值为()A．－eq\f(1,2)B．－eq\f(3,2)C.eq\f(1,2) D.eq\f(3,2)解析：选D由定义知，不等式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(x－1),\s\do5(a＋1))\o(\s\up7(a－2),\s\do5(x))))≥1等价于x2－x－(a2－a－2)≥1，∴x2－x＋1≥a2－a对任意实数x恒成立．∵x2－x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)≥eq\f(3,4)，∴a2－a≤eq\f(3,4)，解得－eq\f(1,2)≤a≤eq\f(3,2)，那么实数a的最大值为eq\f(3,2).二、填空题7．a，b，c∈R，有以下命题：①假设eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，那么eq\f(c,a)<eq\f(c,b)；②假设eq\f(a,c2)<eq\f(b,c2)，那么a<b；③假设a>b，那么a·2c>b·2其中正确的选项是__________(请把正确命题的序号都填上)．解析：①假设c≤0，那么命题不成立．②由eq\f(a,c2)<eq\f(b,c2)得eq\f(a－b,c2)<0，于是a<b，所以命题正确．③中由2c>0知命题正确．答案：②③8．假设0<a<1，那么不等式(a－x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))>0的解集是________．解析：原不等式为(x－a)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))<0，由0<a<1得a<eq\f(1,a)，∴a<x<eq\f(1,a).答案：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(a<x<\f(1,a)))))9．函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋ax，x≥0，,bx2－3x，x＜0))为奇函数，那么不等式f(x)＜4的解集为________．解析：假设x>0，那么－x<0，那么f(－x)＝bx2＋3x.因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即bx2＋3x＝－x2－ax，可得a＝－3，b＝－1，所以f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－3x，x≥0，,－x2－3x，x＜0.))当x≥0时，由x2－3x＜4解得0≤x＜4；当x＜0时，由－x2－3x＜4解得x＜0，所以不等式f(x)＜4的解集为(－∞，4)．答案：(－∞，4)10．(2022·西安一模)假设关于x的二次不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，那么实数m的取值范围是________．解析：不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，相当于二次函数y＝x2＋mx＋1的最小值非负，即方程x2＋mx＋1＝0最多有一个实根，故Δ＝m2－4≤0，解得－2≤m≤2.答案：[－2,2]三、解答题11．f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6.(1)解关于a的不等式f(1)>0；(2)假设不等式f(x)>b的解集为(－1,3)，求实数a，b的值．解：(1)∵f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6，∴f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a即a2－6a－3<0，解得3－2eq\r(3)<a<3＋2eq\r(3).∴不等式的解集为{a|3－2eq\r(3)<a<3＋2eq\r(3)}．(2)∵f(x)>b的解集为(－1,3)，∴方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的两根为－1,3，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＋3＝\f(a6－a,3)，,－1×3＝－\f(6－b,3)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3±\r(3)，,b＝－3.))故a的值为3＋eq\r(3)或3－eq\r(3)，b的值为－3.12．函数f(x)＝x2－2ax－1＋a，a∈R.(1)假设a＝2，试求函数y＝eq\f(fx,x)(x>0)的最小值；(2)对于任意的x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立，试求a的取值范围．解：(1)依题意得y＝eq\f(fx,x)＝eq\f(x2－4x＋1,x)＝x＋eq\f(1,x)－4.因为x>0，所以x＋eq\f(1,x)≥2.当且仅当x＝eq\f(1,x)时，即x＝1时，等号成立．所以y≥－2.所以当x＝1时，y＝eq\f(fx,x)的最小值为－2.(2)因为f(x)－a＝x2－2ax－1，所以要使得“对任意的x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立〞只要“x2－2ax－1≤0在[0,2]恒成立〞．不妨设g(x)＝x2－2ax－1，那么只要g(x)≤0在[0,2]上恒成立即可．所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g0≤0，,g2≤0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0－0－1≤0，,4－4a－1≤0，))解得a≥eq\f(3,4).那么a的取值范围为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，＋∞)).第二节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题本节主要包括3个知识点：1.二元一次不等式本节主要包括3个知识点：1.二元一次不等式组表示的平面区域；2.简单的线性规划问题；3.线性规划的实际应用.突破点(一)二元一次不等式(组)表示的平面区域根底联通抓主干知识的“源〞与“流〞1．二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域Ax＋By＋C＞0直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线Ax＋By＋C≥0包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共局部2.确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法步骤考点贯穿抓高考命题的“形〞与“神〞求平面区域的面积1.求平面区域的面积，要先作出不等式组表示的平面区域，然后根据区域的形状求面积．2．求平面区域的面积问题，平面区域形状为三角形的居多，尤其当△ABC为等腰直角三角形(A为直角)时，点B到直线AC的距离即△ABC的腰长|AB|.由点到直线的距离公式求得|AB|，面积便可求出．[例1]不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－6≤0，,x＋y－3≥0，,y≤2))表示的平面区域的面积为()A．4B．1C[解析]不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－6≤0，,x＋y－3≥0，,y≤2))表示的平面区域如下图(阴影局部)，△ABC的面积即所求．求出点A，B，C的坐标分别为A(1,2)，B(2,2)，C(3,0)，那么△ABC的面积为S＝eq\f(1,2)×(2－1)×2＝1.[答案]B[方法技巧]解决求平面区域面积问题的方法步骤(1)画出不等式组表示的平面区域；(2)判断平面区域的形状，并求得直线的交点坐标、图形的边长、相关线段的长(三角形的高、四边形的高)等，假设为规那么图形那么利用图形的面积公式求解；假设为不规那么图形那么利用割补法求解．[提醒]求面积时应考虑圆、平行四边形等图形的对称性．根据平面区域满足的条件求参数不等式组中的参数影响平面区域的形状，如果不等式组中的不等式含有参数，这时它表示的区域的分界线是一条变动的直线，此时要根据参数的取值范围确定这条直线的变化趋势、倾斜角度、上升还是下降、是否过定点等，确定区域的可能形状，进而根据题目要求求解；如果是一条曲线与平面区域具有一定的位置关系，可以考虑对应的函数的变化趋势，确定极限情况求解；如果目标函数中含有参数，那么要根据这个目标函数的特点考察参数变化时目标函数与平面区域的关系，在运动变化中求解．[例2]假设不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,2x＋y≤2，,y≥0，,x＋y≤a))表示的平面区域是一个三角形，那么a的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞)) B．(0,1]C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(4,3))) D．(0,1]∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞))[解析]不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,2x＋y≤2，,y≥0))表示的平面区域如下图(阴影局部)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x，,2x＋y＝2，))得Aeq\f(2,3)，eq\f(2,3)；由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝0，,2x＋y＝2，))得B(1,0)．假设原不等式组表示的平面区域是一个三角形，那么直线x＋y＝a中a的取值范围是0<a≤1或a≥eq\f(4,3).[答案]D[易错提醒]此类问题的难点在于参数取值范围的不同导致平面区域或者曲线位置的改变，解答的思路可能会有变化，所以求解时要根据题意进行必要的分类讨论及对特殊点、特殊值的考虑．能力练通抓应用体验的“得〞与“失〞1.eq\a\vs4\al([考点一])设动点P(x，y)在区域Ω：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,y≥x，,x＋y≤4))上，过点P任作直线l，设直线l与区域Ω的公共局部为线段AB，那么以AB为直径的圆的面积的最大值为()A．πB．2πC．3π D．4π解析：选D作出不等式组所表示的可行域如图中阴影局部所示，那么根据图形可知，AB长度的最大值为4，那么以AB为直径的圆的面积为最大值S＝π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,2)))2＝4π.2.eq\a\vs4\al([考点二])假设不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2≤0，,x＋2y－2≥0，,x－y＋2m≥0))表示的平面区域为三角形，且其面积等于eq\f(4,3)，那么m的值为()A．－3B．1C.eq\f(4,3) D．3解析：选B作出可行域，如图中阴影局部所示，易求A，B，C，D的坐标分别为A(2,0)，B(1－m,1＋m)，Ceq\f(2－4m,3)，eq\f(2＋2m,3)，D(－2m,0)．S△ABC＝S△ADB－S△ADC＝eq\f(1,2)|AD|·|yB－yC|＝eq\f(1,2)(2＋2m)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋m－\f(2＋2m,3)))＝(1＋m)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(m－2,3)))＝eq\f(4,3)，解得m＝1或m＝－3(舍去)．3.eq\a\vs4\al([考点一])不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2≥0，,x＋2y－4≤0，,x＋3y－2≥0))表示的平面区域的面积为________．解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影局部所示，可知S△ABC＝eq\f(1,2)×2×(2＋2)＝4.答案：44.eq\a\vs4\al([考点二])假设满足条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,x＋y－2≤0，,y≥a))的整点(x，y)恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，那么整数a的值为________．解析：不等式组所表示的平面区域如图中阴影局部，当a＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1，0)，(2,0)；当a＝－1时，增加了(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)共5个整点，此时，整点的个数共9个，故整数a＝－1.答案：－1突破点(二)简单的线性规划问题根底联通抓主干知识的“源〞与“流〞1．线性规划中的根本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)目标函数关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等线性目标函数关于x，y的一次函数解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题2.简单线性规划问题的图解法在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，用图解法求最优解的步骤概括为“画、移、求、答〞．即考点贯穿抓高考命题的“形〞与“神〞线性目标函数的最值[例1](2022·天津高考)设变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋2≥0，,2x＋3y－6≥0，,3x＋2y－9≤0，))那么目标函数z＝2x＋5y的最小值为()A．－4B．6C[解析]由约束条件作出可行域如下图，目标函数可化为y＝－eq\f(2,5)x＋eq\f(1,5)z，在图中画出直线y＝－eq\f(2,5)x，平移该直线，易知经过点A时z最小．又知点A的坐标为(3,0)，∴zmin＝2×3＋5×0＝6.应选B.[答案]B[方法技巧]求解线性目标函数最值的常用方法线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以对于一般的线性规划问题，假设可行域是一个封闭的图形，我们可以直接解出可行域的顶点，然后将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值；假设可行域不是封闭图形还是需要借助截距的几何意义来求最值．非线性目标函数的最值[例2](2022·山东高考)假设变量x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤2，,2x－3y≤9，,x≥0，))那么x2＋y2的最大值是()A．4B．9C．10[解析]作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影局部所示．x2＋y2表示平面区域内点到原点距离的平方，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2，,2x－3y＝9))得A(3，－1)，由图易得(x2＋y2)max＝|OA|2＝32＋(－1)2＝10.应选C.[答案]C[方法技巧]非线性目标函数最值问题的常见类型及求法(1)距离平方型：目标函数为z＝(x－a)2＋(y－b)2时，可转化为可行域内的点(x，y)与点(a，b)之间的距离的平方求解．(2)斜率型：对形如z＝eq\f(ay＋b,cx＋d)(ac≠0)型的目标函数，可利用斜率的几何意义来求最值，即先变形为z＝eq\f(a,c)·eq\f(y－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,a))),x－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(d,c))))的形式，将问题化为求可行域内的点(x，y)与点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(d,c)，－\f(b,a)))连线的斜率的eq\f(a,c)倍的取值范围、最值等．(3)点到直线距离型：对形如z＝|Ax＋By＋C|型的目标函数，可先变形为z＝eq\r(A2＋B2)·eq\f(|Ax＋By＋C|,\r(A2＋B2))的形式，将问题化为求可行域内的点(x，y)到直线Ax＋By＋C＝0的距离的eq\r(A2＋B2)倍的最值．线性规划中的参数问题[例3]x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,x＋y≤2，,y≥0.))假设z＝ax＋y的最大值为4，那么a＝()A．3B．2C．－2[解析]画出不等式组表示的平面区域如图阴影局部所示，假设z＝ax＋y的最大值为4，那么最优解为x＝1，y＝1或x＝2，y＝0，经检验知x＝2，y＝0符合题意，∴2a＋0＝4，此时a＝2.[答案]B[方法技巧]求解线性规划中含参问题的两种根本方法(1)把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或范围；(2)先别离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数．能力练通抓应用体验的“得〞与“失〞1.eq\a\vs4\al([考点一])设x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－7≤0，,x－3y＋1≤0，,3x－y－5≥0，))那么z＝2x－y的最大值为()A．10B．8C．3解析：选B作出可行域如图中阴影局部所示，由z＝2x－y得y＝2x－z，作出直线y＝2x，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点A(5,2)时，对应的z值最大．故zmax＝2×5－2＝8.2.eq\a\vs4\al([考点二])(x，y)满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,y≥0，,x＋y≤1，))那么k＝eq\f(y,x＋1)的最大值为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(3,2)C．1 D.eq\f(1,4)解析：选C如图，不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,y≥0，,x＋y≤1))表示的平面区域为△AOB的边界及其内部区域，k＝eq\f(y,x＋1)＝eq\f(y－0,x－－1)表示平面区域内的点(x，y)和点(－1,0)连线的斜率．由图知，平面区域内的点(0,1)和点(－1,0)连线的斜率最大，所以kmax＝eq\f(1－0,0－－1)＝1.3.eq\a\vs4\al([考点一])(2022·银川模拟)设z＝x＋y，其中实数x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y≥0，,x－y≤0，,0≤y≤k，))假设z的最大值为6，那么z的最小值为()A．－3 B．－2C．－1 D．0解析：选A作出实数x，y满足的平面区域，如图中阴影局部所示，由图知，当目标函数z＝x＋y经过点C(k，k)时，取得最大值，且zmax＝k＋k＝6，得k＝3.当目标函数z＝x＋y经过点B(－6,3)时，取得最小值，且zmin＝－6＋3＝－3，应选A.4.eq\a\vs4\al([考点三])x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2≤0，,x－2y－2≤0，,2x－y＋2≥0，))假设z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，那么实数a的值为()A.eq\f(1,2)或－1 B．2或eq\f(1,2)C．2或1 D．2或－1解析：选D由题中条件画出可行域如图中阴影局部所示，可知A(0,2)，B(2,0)，C(－2，－2)，那么zA＝2，zB＝－2a，zC＝2a－2，要使目标函数取得最大值的最优解不唯一，只要zA＝zB>zC或zA＝zC>zB或zB＝zC>zA，解得a＝－1或5.eq\a\vs4\al([考点二])设x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋5≥0，,x＋y≥0，,x≤3，))那么z＝(x＋1)2＋y2的最大值为________．解析：作出不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋5≥0，,x＋y≥0，,x≤3))表示的平面区域，如图中阴影局部所示．(x＋1)2＋y2可看作点(x，y)到点P(－1，0)的距离的平方，由图可知可行域内的点A到点P(－1，0)的距离最大．解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,x－y＋5＝0，))得A点的坐标为(3,8)，代入z＝(x＋1)2＋y2，得zmax＝(3＋1)2＋82＝80.答案：80突破点(三)线性规划的实际应用根底联通抓主干知识的“源〞与“流〞解线性规划应用题的一般步骤考点贯穿抓高考命题的“形〞与“神〞线性规划的实际应用[典例]某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，那么该企业每天可获得最大利润为()甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128A．12万元 B．16万元C．17万元 D．18万元[解析]设每天生产甲、乙产品分别为x吨、y吨，每天所获利润为z万元，那么有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋2y≤12，,x＋2y≤8，,x≥0，y≥0，))z＝3x＋4y，作出可行域如图阴影局部所示，由图形可知，当直线z＝3x＋4y经过点A(2,3)时，z取最大值，最大值为3×2＋4×3＝18.[答案]D[易错提醒]求解线性规划应用题的三个注意点(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号．(2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x，y的取值范围，特别注意分析x，y是否为整数、是否为非负数等．(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式．能力练通抓应用体验的“得〞与“失〞1．某校今年方案招聘女教师a名，男教师b名，假设a，b满足不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－b≥5，,a－b≤2，,a＜7，))设这所学校今年方案招聘教师最多x名，那么x＝()A．10B．12C．13 解析：选C如下图，画出约束条件所表示的区域，即可行域，作直线b＋a＝0，并平移，结合a，b∈N，可知当a＝6，b＝7时，a＋b取最大值，故x＝6＋7＝13.2．A，B两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品．A产品需要在甲机器上加工3小时，在乙机器上加工1小时；B产品需要在甲机器上加工1小时，在乙机器上加工3小时．在一个工作日内，甲机器至多只能使用11小时，乙机器至多只能使用9小时．A产品每件利润300元，B产品每件利润400元，那么这两台机器在一个工作日内创造的最大利润是________元．解析：设生产A产品x件，B产品y件，那么x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋y≤11，,x＋3y≤9，,x∈N，y∈N，))生产利润为z＝300x＋400y.画出可行域，如图中阴影局部(包含边界)内的整点，显然z＝300x＋400y在点M或其附近的整数点处取得最大值，由方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋y＝11，,x＋3y＝9，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝2，))那么zmax＝300×3＋400×2＝1700.故最大利润是1700元．答案：1700[全国卷5年真题集中演练——明规律]1．(2022·新课标全国卷Ⅰ)不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥1，,x－2y≤4))的解集记为D.有下面四个命题：p1：∀(x，y)∈D，x＋2y≥－2；p2：∃(x，y)∈D，x＋2y≥2；p3：∀(x，y)∈D，x＋2y≤3；p4：∃(x，y)∈D，x＋2y≤－1.其中的真命题是()A．p2，p3B．p1，p4C．p1，p2D．p1，p3解析：选C画出可行域如图中阴影局部所示，由图可知，当目标函数z＝x＋2y经过可行域内的点A(2，－1)时，取得最小值0，故x＋2y≥0，因此p1，p2是真命题，选C.2．(2022·新课标全国卷Ⅱ)a＞0，x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1，,x＋y≤3，,y≥ax－3.))假设z＝2x＋y的最小值为1，那么a＝()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C．1 D．2解析：选B由约束条件，作出可行域如图中△ABC内部及边界局部所示，由目标函数z＝2x＋y的几何意义为直线l：y＝－2x＋z在y轴上的截距，知当直线l过可行域内的点B(1，－2a)时，目标函数z＝2x＋y的最小值为1，那么2－2a＝1，a＝eq\f(1,2)，应选B.3．(2022·全国丙卷)假设x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≥0，,x－2y≤0，,x＋2y－2≤0，))那么z＝x＋y的最大值为________．解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影局部所示．平移直线x＋y＝0，当直线经过A点时，z取得最大值，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＝0，,x＋2y－2＝0))得A1，eq\f(1,2)，zmax＝1＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2).答案：eq\f(3,2)4．(2022·全国乙卷)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，那么在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．解析：设生产A产品x件，B产品y件，由可得约束条件为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1.5x＋0.5y≤150，,x＋0.3y≤90，,5x＋3y≤600，,x≥0，x∈N*，,y≥0，y∈N*.))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋y≤300，,10x＋3y≤900，,5x＋3y≤600，,x≥0，x∈N*，,y≥0，y∈N*.))目标函数为z＝2100x＋900y，由约束条件作出不等式组表示的可行域如图中阴影局部所示．作直线2100x＋900y＝0，即7x＋3y＝0并上下平移，易知当直线经过点M时，z取得最大值，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10x＋3y＝900，,5x＋3y＝600，))解得B(60,100)．那么zmax＝2100×60＋900×100＝216000(元)．答案：2160005．(2022·新课标全国卷Ⅰ)假设x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1≥0，,x－y≤0，,x＋y－4≤0，))那么eq\f(y,x)的最大值为________．解析：画出可行域如图阴影所示，∵eq\f(y,x)表示过点(x，y)与原点(0,0)的直线的斜率，∴点(x，y)在点A处时eq\f(y,x)最大．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,x＋y－4＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝3.))∴A(1,3)．∴eq\f(y,x)的最大值为3.答案：36．(2022·新课标全国卷)设x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥－1，,x＋y≤3，,x≥0，,y≥0，))那么z＝x－2y的取值范围为________．解析：依题意，画出可行域，如下图，可行域为ABOC，显然，当直线y＝eq\f(1,2)x－eq\f(z,2)过点A(1,2)时，z取得最小值为－3；当直线过点B(3,0)时，z取得最大值为3，综上可知z的取值范围为[－3,3]．答案：[－3,3][课时达标检测]重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考[练根底小题——强化运算能力]1．下面给出的四个点中，位于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－1<0，,x－y＋1>0))表示的平面区域内的点是()A．(0,2) B．(－2,0)C．(0，－2) D．(2,0)解析：选C将四个点的坐标分别代入不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－1<0，,x－y＋1>0))验证可知，满足条件的只有(0，－2)．2．不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,x＋3y≥4，,3x＋y≤4))所表示的平面区域的面积等于()A.eq\f(3,2) B.eq\f(2,3)C.eq\f(4,3) D.eq\f(3,4)解析：选C平面区域如图中阴影局部所示．解eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3y＝4，,3x＋y＝4))得A(1,1)，易得B(0,4)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(4,3)))，|BC|＝4－eq\f(4,3)＝eq\f(8,3).∴S△ABC＝eq\f(1,2)×eq\f(8,3)×1＝eq\f(4,3).3．假设x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≤0，,x＋y≤1，,x≥0，))那么z＝x＋2y的最大值为()A．0B．1C.eq\f(3,2) D．2解析：选D作出不等式组所表示的平面区域，如下图．作直线x＋2y＝0并上下平移，易知当直线过点A(0,1)时，z＝x＋2y取最大值，即zmax＝0＋2×1＝2.4．假设x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋2≥0，,y＋2≥0，,x＋y＋2≥0，))那么(x＋2)2＋(y＋3)2的最小值为()A．1 B.eq\f(9,2)C．5 D．9解析：选B不等式组表示的可行域如图阴影局部所示，由题意可知点P(－2，－3)到直线x＋y＋2＝0的距离为eq\f(|－2－3＋2|,\r(2))＝eq\f(3,\r(2))，所以(x＋2)2＋(y＋3)2的最小值为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,\r(2))))2＝eq\f(9,2)，应选B.5．设变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1，,x＋y－4≤0，,x－3y＋4≤0，))那么目标函数z＝3x－y的最大值为________．解析：根据约束条件作出可行域如图中阴影局部所示，∵z＝3x－y，∴y＝3x－z，当该直线经过点A(2,2)时，z取得最大值，即zmax＝3×2－2＝4.答案：4[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．假设x，y满足不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－3≤0，,x－y＋3≥0，,y≥－1，))那么z＝3x＋y的最大值为()A．11B．－11C．13 解析：选A将z＝3x＋y化为y＝－3x＋z，作出可行域如图阴影局部所示，易知当直线y＝－3x＋z经过点D时，z取得最大值．联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－3＝0，,y＝－1，))得D(4，－1)，此时zmax＝4×3－1＝11，应选A.2．(2022·河南八市高三质检)x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥2，,x＋y≤4，,－2x＋y＋c≥0，))目标函数z＝6x＋2y的最小值是10，那么z的最大值是()A．20B．22C解析：选A由z＝6x＋2y，得y＝－3x＋eq\f(z,2)，作出不等式组所表示可行域的大致图形如图中阴影局部所示，由图可知当直线y＝－3x＋eq\f(z,2)经过点C时，直线的纵截距最小，即z＝6x＋2y取得最小值10，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6x＋2y＝10，,x＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－1，))即C(2，－1)，将其代入直线方程－2x＋y＋c＝0，得c＝5，即直线方程为－2x＋y＋5＝0，平移直线3x＋y＝0，当直线经过点D时，直线的纵截距最大，此时z取最大值，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x＋y＋5＝0，,x＋y＝4，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝1，))即D(3,1)，将点D的坐标代入目标函数z＝6x＋2y，得zmax＝6×3＋2＝20，应选A.3．假设x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2≥0，,kx－y＋2≥0，,y≥0，))且z＝y－x的最小值为－4，那么k的值为()A．2B．－2C.eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)解析：选D作出线性约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2≥0，,kx－y＋2≥0，,y≥0))的可行域．当k≥0时，如图(1)所示，此时可行域为x轴上方、直线x＋y－2＝0的右上方、直线kx－y＋2＝0的右下方的区域，显然此时z＝y－x无最小值．当k<－1时，z＝y－x取得最小值2；当k＝－1时，z＝y－x取得最小值－2，均不符合题意．当－1<k<0时，如图(2)所示，此时可行域为点A(2,0)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,k)，0))，C(0,2)所围成的三角形区域，当直线z＝y－x经过点Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,k)，0))时，有最小值，即－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,k)))＝－4，即k＝－eq\f(1,2).应选D.4．(2022·安徽江南十校联考)假设x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－y≥0，,x＋y－4≤0，,y≥\f(1,2)x2，))那么z＝y－x的取值范围为()A．[－2,2] B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2))C．[－1,2] D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))解析：选B作出可行域如下图，设直线l：y＝