2023高考数学一轮复习第6章不等式、推理与证明第2节基本不等式课时分层训练文北师大版

PAGEPAGE1课时分层训练(三十二)根本不等式A组根底达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．x>－1，那么函数y＝x＋eq\f(1,x＋1)的最小值为()A．－1 B．0C．1 D．2C[由于x>－1，那么x＋1>0，所以y＝x＋eq\f(1,x＋1)＝(x＋1)＋eq\f(1,x＋1)－1≥2eq\r(x＋1·\f(1,x＋1))－1＝1，当且仅当x＋1＝eq\f(1,x＋1)，由于x>－1，即当x＝0时，上式取等号．]2．设非零实数a，b，那么“a2＋b2≥2ab〞是“eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)≥2”成立的()【导学号：66482282】A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件B[因为a，b∈R时，都有a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，即a2＋b2≥2ab，而eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)≥2⇔ab>0，所以“a2＋b2≥2ab〞是“eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)≥2”的必要不充分条件．]3．(2022·吉林东北师大附中等校联考)函数f(x)＝ax－1－2(a>0，且a≠1)的图像恒过定点A，假设点A在直线mx－ny－1＝0上，其中m>0，n>0，那么eq\f(1,m)＋eq\f(2,n)的最小值为()【导学号：66482283】A．4 B．5C．6 D．3＋2eq\r(2)D[由题意知A(1，－1)，因为点A在直线mx－ny－1＝0上，所以m＋n＝1，所以eq\f(1,m)＋eq\f(2,n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)＋\f(2,n)))(m＋n)＝3＋eq\f(n,m)＋eq\f(2m,n)，因为m>0，n>0，所以eq\f(1,m)＋eq\f(2,n)＝3＋eq\f(n,m)＋eq\f(2m,n)≥3＋2eq\r(\f(n,m)·\f(2m,n))＝3＋2eq\r(2).当且仅当eq\f(n,m)＝eq\f(2m,n)时，取等号，应选D.]4．(2022·安徽安庆二模)a>0，b>0，a＋b＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)，那么eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)的最小值为()A．4 B．2eq\r(2)C．8 D．16B[由a>0，b>0，a＋b＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(a＋b,ab)，得ab＝1，那么eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)≥2eq\r(\f(1,a)·\f(2,b))＝2eq\r(2).当且仅当eq\f(1,a)＝eq\f(2,b)，即a＝eq\f(\r(2),2)，b＝eq\r(2)时等号成立．应选B.]5．(2022·郑州外国语学校月考)假设a>b>1，P＝eq\r(lga·lgb)，Q＝eq\f(1,2)(lga＋lgb)，R＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))，那么()A．R<P<Q B．Q<P<RC．P<Q<R D．P<R<QC[∵a>b>1，∴lga>lgb>0，eq\f(1,2)(lga＋lgb)>eq\r(lga·lgb)，即Q>P.∵eq\f(a＋b,2)>eq\r(ab)，∴lgeq\f(a＋b,2)>lgeq\r(ab)＝eq\f(1,2)(lga＋lgb)＝Q，即R>Q，∴P<Q<R.]二、填空题6．(2022·湖北华师一附中3月联考)假设2x＋4y＝4，那么x＋2y的最大值是__________.【导学号：66482284】2[因为4＝2x＋4y＝2x＋22y≥2eq\r(2x×22y)＝2eq\r(2x＋2y)，所以2x＋2y≤4＝22，即x＋2y≤2，当且仅当2x＝22y＝2，即x＝2y＝1时，x＋2y取得最大值2.]7．函数f(x)＝x＋eq\f(p,x－1)(p为常数，且p>0)，假设f(x)在(1，＋∞)上的最小值为4，那么实数p的值为__________．eq\f(9,4)[由题意得x－1>0，f(x)＝x－1＋eq\f(p,x－1)＋1≥2eq\r(p)＋1，当且仅当x＝eq\r(p)＋1时取等号，所以2eq\r(p)＋1＝4，解得p＝eq\f(9,4).]8．某公司一年购置某种货物400吨，每次都购置x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，那么x＝__________吨．20[每次都购置x吨，那么需要购置eq\f(400,x)次．∵运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，∴一年的总运费与总存储费用之和为4×eq\f(400,x)＋4x万元．∵4×eq\f(400,x)＋4x≥160，当且仅当4x＝eq\f(4×400,x)时取等号，∴x＝20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小．]三、解答题9．(1)当x<eq\f(3,2)时，求函数y＝x＋eq\f(8,2x－3)的最大值；(2)设0<x<2，求函数y＝eq\r(x4－2x)的最大值．[解](1)y＝eq\f(1,2)(2x－3)＋eq\f(8,2x－3)＋eq\f(3,2)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3－2x,2)＋\f(8,3－2x)))＋eq\f(3,2).2分当x<eq\f(3,2)时，有3－2x>0，∴eq\f(3－2x,2)＋eq\f(8,3－2x)≥2eq\r(\f(3－2x,2)·\f(8,3－2x))＝4，4分当且仅当eq\f(3－2x,2)＝eq\f(8,3－2x)，即x＝－eq\f(1,2)时取等号．于是y≤－4＋eq\f(3,2)＝－eq\f(5,2)，故函数的最大值为－eq\f(5,2).6分(2)∵0<x<2，∴2－x>0，∴y＝eq\r(x4－2x)＝eq\r(2)·eq\r(x2－x)≤eq\r(2)·eq\f(x＋2－x,2)＝eq\r(2)，8分当且仅当x＝2－x，即x＝1时取等号，∴当x＝1时，函数y＝eq\r(x4－2x)的最大值为eq\r(2).12分10．x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求：(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值.【导学号：66482285】[解](1)由2x＋8y－xy＝0，得eq\f(8,x)＋eq\f(2,y)＝1，2分又x>0，y>0，那么1＝eq\f(8,x)＋eq\f(2,y)≥2eq\r(\f(8,x)·\f(2,y))＝eq\f(8,\r(xy))，得xy≥64，当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立．所以xy的最小值为64.5分(2)由2x＋8y－xy＝0，得eq\f(8,x)＋eq\f(2,y)＝1，那么x＋y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,x)＋\f(2,y)))·(x＋y)＝10＋eq\f(2x,y)＋eq\f(8y,x)≥10＋2eq\r(\f(2x,y)·\f(8y,x))＝18.8分当且仅当x＝12且y＝6时等号成立，∴x＋y的最小值为18.12分B组能力提升(建议用时：15分钟)1．要制作一个容积为4m3，高为1mA．80元 B．120元C．160元 D．240元C[由题意知，体积V＝4m3，高h＝1m所以底面积S＝4m2，设底面矩形的一条边长是xm，那么另一条边长是eq\f(4,x)m．又设总造价是y元，那么y＝20×4＋10×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(8,x)))≥80＋20eq\r(2x·\f(8,x))＝160.当且仅当2x＝eq\f(8,x)，即x＝2时取得等号．]2．(2022·山东高考)定义运算“⊗〞：x⊗y＝eq\f(x2－y2,xy)(x，y∈R，xy≠0)．当x>0，y>0时，x⊗y＋(2y)⊗x的最小值为________．eq\r(2)[因为xy＝eq\f(x2－y2,xy)，所以(2y)x＝eq\f(4y2－x2,2xy).又x>0，y>0.故xy＋(2y)x＝eq\f(x2－y2,xy)＋eq\f(4y2－x2,2xy)＝eq\f(x2＋2y2,2xy)≥eq\f(2\r(2)xy,2xy)＝eq\r(2)，当且仅当x＝eq\r(2)y时，等号成立．]3．经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t天(1≤t≤30，t∈N*)的旅游人数f(t)(万人)近似地满足f(t)＝4＋eq\f(1,t)，而人均消费g(t)(元)近似地满足g(t)＝120－|t－20|.(1)求该城市的旅游日收益W(t)(万元)与时间t(1≤t≤30，t∈N*)的函数关系式；(2)求该城市旅游日收益的最小值.【导学号：66482286】[解](1)W(t)＝f(t)g(t)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋\f(1,t)))(120－|t－20|)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(401＋4t＋\f(100,t)，1≤t≤20，,559＋\f(140,t