弹性力学的变分原理

第十一章弹性力学的变分原理一.内容介绍由于偏微分方程边值问题的求解在数学上的困难，因此对于弹性力学问变分原理就是一种最有成效的近似解法，就其本质而言，是把弹性力学似解法的基础，而且也是数值计算方法，例如有限元方法等的理论基础。本章将系统地介绍最小势能原理和最小余能原理，并且应用变分原理求解弹性力学问题。最后，将介绍有限元方法的基本概念。本章内容要求学习变分法数学基础知识，如果你没有学过上述课程，请学习附录3或者查阅参考资料。二.重点几何可能的位移和静力可能的应力；弹性体的虚功原理；最小势能原理及其应用；最小余能原理及其应用；有限元原理的基本概念。知识点静力可能的应力弹性体的功能关系功的互等定理弹性体的总势能虚应力应变余能函数应力变分方程有限元原理与变分原理有限元原理的基本概念有限元整体分析几何可能的位移虚位移虚功原理最小势能原理瑞利-里茨(Rayleigh-Ritz）法伽辽金(Гапёркин）最小余能原理平面问题最小余能近似解基于最小势能原理的近似计算方法基于最小余能原理的近似计算方法有限元单元分析附录3 变分原理泛函是指某一个量，它的值依赖于其它一个或者几个函数。因此泛函也称为函数的函数。变分法的基本问题是求解泛函的极值。对于弹性力学问题，根据能量关系可以使偏微分方程的边值问题转化为者应变分量是坐标的函数。因此，应变能就是泛函。在数学分析中，讨论函数和函数的极值。变分法讨论泛函的极值，是极值问题的推广。下面简单介绍复变函数的定义和基本性质。如果需要深入探讨复变函数问题，请查阅参考资料。参考资料§1泛函和泛函的极值§2泛函极值的必要条件-欧拉方程§3自然边界条件§4泛函变分的基本运算法则§11.1弹性变形体的功能原理学习思路:首先建立静力可能的应力 和几何可能的位移 概念；静力可能的应力 和几何可能的位移 可以是同一弹性体中的两种不同的受力状态和变形状态，二者彼此独立而且无任何关系。建立弹性体的功能关系。功能关系可以描述为：对于弹性体，外力在任可能的位移对应的应变分量上所做的功。学习要点：静力可能的应力；几何可能的位移；弹性体的功能关系；真实应力和位移分量表达的功能关系。SSSu给定，称为S。如图所示。显然S=S+Su假设有一组应力分量 在弹性体内部满足平衡微分方程ij在面力已知的边界S，满足面力边界条件这一组应力分量称为静力可能的应力必然是静力可能的应力。为了区别于真实的应力分量，我们用 表示静力可能的应力分量。ui

和与其对应的应变分量

，它们在弹性体内部满足几何方ij程在位移已知的边界Su上，满足位移边界条件这一组位移称为几何可能的位移。几何可能的位移未必是真实的位移，因为真实的位移还必须在弹性体内部满足位移表示的平衡微分方程；在面力已知的边界S上，必须满足以位移表示的面力边界条件。但是，真实的位移必然是几何可能的。为了区别于真实的位移，用 表示几何可能的位移几何可能的位移产生的应变分量记作 。FbiFsi分别表示物体单位体积的体力和单位面积的面力（Su反力。则不难证明，有以下恒等式证明：由于 和 满足几何方程，而且应力 是对称的，所以将上式代入等式的右边，并且利用高斯积分公式，可得由于 满足面力边界条件，上式的第一个积分为由于 满足平衡微分方程，所以第二个积分为为恒等式。公式 揭示了弹性体的功能关系。的功。这里需要强调指出的是：对于功能关系的证明，没有涉及材料的性质，条件。其次，功能关系中，静力可能的应力 、几何可能的位移 以及其对应的应变分量 ，可以是同一弹性体中的两种不同的受力状态和变形状态，二者彼此独立而且无任何关系。假如静力可能的应力

和几何可能的应变分量

满足材料本构方程时，则对应的静力可能的应力

和几何可能的位移

以及其对应的应变分量均成为真实的应力，位移和应变分量。对于真实的应力，位移和应变分量，功能关系为加到最后的数值的，因此应变能关系式中有1/2加载限制。功能关系是弹性力学中的一个普遍的能量关系，这一原理将用于推导其它的弹性力学变分原理。§11.2变形体的虚功原理学习思路:本节讨论的重点是弹性体的虚功原理。首先定义虚位移概念，通过将几何可能的位移定义为真实位移与虚位移产生的虚应变，记作。根据弹性体的功能关系，可以得到虚功方程表达式W=U。这就是虚功原理。虚功原理等价于平衡微分方程和面力边界条件，它满足了静力平衡的要求。学习要点：虚位移与虚应变；虚功原理；虚功原理的意义。为虚功。设几何可能的位移为ui

为真实位移，ui

称为虚位移。虚位移是位移边界条件所容许的位移的微小改变量。由于几何可能的位移在边界Su

上，应该满足位移边界条件，因此,边界S，有u

u=0i将几何可能位移公式代入几何方程显然，上式右边的第一项是真实应变，而第二项是虚位移所产生的虚应ij

。因此，上式可以写作几何可能的位移对应的应变可以用真实应变与虚位移所产生的虚应变之和表如果用虚位移表达的几何可能位移 、和真实应力作为静力可能应力代入功能关系表达式 ，注意到真实应u力和位移是满足功能关系的，因此可以得到用虚位移ui

和虚应变ij

表达的虚功方程Su

上，虚位移是恒等于S上完成。就力学意义而言，虚功原理表达式的等号的左边为外力在虚位移中所做W能，称为虚应变能U。即W=U根据上述分析，可以得出结论：如果弹性体是处于静力平衡状态的，对于满足变形连续条件的虚位移及其虚应变而言，外力在虚位移上所做的虚功，等于真实应力分量在对应的虚应变上所做的虚功，即虚应变能。这就是虚功原理。对于虚功方程写作

，其右边的积分可以上式在推导中应用了在位移边界Su

上＝0的边界条件。现在将上式uiu回代到虚功方程，整理可得因为虚位移ui是任意的，因此上式的成立，要求在弹性体内在位移已知边界Su上,有显然，虚功原理等价于平衡微分方程和面力边界条件，它满足了静力平§11.3功的互等定理学习思路:本节讨论功的互等定理。定理的证明比较简单，将功能方程应用于同一能原理的另一种应用形式。外力在第一种状态对应的位移上所做的功。题。学习要点：功的互等定理；功的互等定理的应用。如果将功能方程种不同的受力和变形状态，则可以得到功的互等定理。

应用于同一弹性体的两假设第一种状态的体力为

，在面力边界S上的面力为 ，在位S的位移为

，弹性体内部的应力，应变和位移分别为u；第二种状态的体力，面力，应力，应变和位移分别为 ， ,。由于两种状态的应力和应变分量都是真实解，所以它们当然也就是静力可能的和几何可能的。现在把第一种状态的应力作为静力可能的应力，而把第二种状态的位移方程，有同理，把第二种状态的应力取为静力可能的应力，而把第一种