第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛(初二 第二试)

第二十三届“希杯”全国数学邀请赛年月8日

初二第试上午：00至1100

得分一、选择题（每小题4分，40分）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在后面的圆括号内。1.实数a,c,d

满足：eq\o\ac(○,1)

；eq\o\ac(○,2)

；eq\o\ac(○,3)

c

，则a,,d

的大小关系是（）（）（）

ada

（）（）

bd2.下等式中不恒成立的是（）(A)

aaabab

(B)

abbaab（）

a

a

a2

a

（）

3a)aa)3.一数据由五个正整数组成，位数是4，唯一的众数是，这五个正整数的平均数等于（）（）4.2或（）或4.6（C）或4.6（）或或4.64.化：

47

（）（）（）

（）

（）5.Put8identicalballs3differentboxes,eachboxatleast2balls.Howmanydifferentwaysputtheballs?()(A)6(B)12(C)18(D)36(英汉词典：identical完相)6.如1，在平面直角坐标系内、、点的坐标分别是，0A、B、三点顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（）（）一象限（）二限（C）第三象限（）第四象限7.如2，设点A、是比例函数

y

kx

图象上的两点，AC、BD都垂于y轴垂足分别是C、D。接OA、OB，若OA交于，且

的面积是，梯形AEDC的面是（）（）（）（）2011（D）20128.如3，在矩形中AB=6BC=8P是AD上动点PE-1-

BD

于F，则PE+PF的是（）（）（）

（）（）9.设a,

是实数，且

1111，1111

的值是（）（）

（）

（）3(

（）法确定的10.循环节长度是4的纯环小数化成最简分数后是三位数样循环小数）（）798个（）个（）个（）个二、填空题（每小题4分共40分）11.若a，算：

2012

2011

12.若以x为知数的方程

2xx

的根是负数，则实数的取值范围是13.若n(n

是以x为未知数的方程x

的根，则的是14.正整数a,b

满足等式

13，么a153

，

15.已知

x

1x

6(0

，则

x

x

的值是16.已知点A（，（，）在反比例函数

y

8x

的图象上，直线AB与x轴交，如果点在y轴，DA=DC，点D的标是17.如图4，等腰直角

ABC

中，A90

，底边BC的为10，在上，D作BC的线交AC于E交的延线于点F，则DE＋的值18.如图5，在边长为的菱中，DE

AB于E，并且点E是的中F在段AC上动EF+FB的最值是，最大值是19.若实数a,b,

满足

abbcca3,4,，的是abcaabbcca20.Suppose

Mabc321

isa6-digitnumber,

a,b,c

arethreedifferent1-digitnumbers,andnotlessthan4.IfMisamultipleof7,thentheminimumvalueofMis(英词典：multiple倍数-2-

三、解答题每题都要写出推算过程21.（本题满分10分）如图6，直线yxb

交坐标轴于A、B两点，交双曲

y

2x

于点D，点D分别作两坐标轴的垂线、，足分别为、E，连接BCOD。（）求证：平CDE。（）对任意的实数(b0)

，求证：AD·为定。（）是否存在直线AB四形为平行四边形？若存在，求出直线的解析式；若不存在，请说明理由。22.（本题满分15分）如图7，在一条平直的公路的前有一陡峭的山壁，一辆汽车正以恒定的速度沿着公路向山壁驶去。（）若汽车的行驶速度是，距离山壁925m处时汽车鸣笛一声，则经过多长时间后司机听到回声？（）某一时刻，汽车第一次鸣笛，经过再次鸣笛，若司机听到两次鸣笛的回声的时间间隔是4s，求汽车的行驶度。（已知声音在空气中的传播速度是340m/s）23.生产某产品要经过三道工序，同一个人在完成这三道工序时所用的时间相同，甲、乙二人同时开始生产，一段时间后恰完成第产品的生产，此时乙正好在进行某个产品的第一道工序的操作，若甲、乙的生产效率比是6:5问此时乙至少生产了多少产品？-3-

参考答案一、选择题题号答案

1A

2B

3D

4B

5A

6B

7C

8B

9A

10C二、填空题题

1112

1314

151617181920号答案

1

aa4

且

-52-2

(0,

114

)

10

12047

468321三、解答题21.（）因为A、B是直(b

和坐标轴的交点，所由

yx及y0x得A（）,B(0,b)所以DAC又DC⊥轴DE⊥轴

所以∠90

因此ADC

即平分

CDE（）（）和

都是等腰直角三角形，所以AD2,2DEBD2DE2即AD

为定值。（）存在直线AB，使得四边形OBCD为行四边形，则AO=AC，OB=CD由（1）知AO=BO，AC=CD。并且B（，）所以得（-2b,-b）因为

2b

b

（正数舍去）即存在直线AB：y=x-1，得四边形OBCD为平四边形。22.（）如图1，设经过ts后机听到回声，则有30t+340t=2×925，得t=5.所以，经过5s后司听到回声。-4-

vv（）汽车的行驶速度是v，声音传播的速度是，汽车两次鸣笛的时间间隔是；11车第一次鸣笛

t1

时间后司第一次听到回声车第二次鸣笛

t

2

时间后司机第二次听到回声；汽车第一次鸣笛时距离山壁为

.如图2，如果司机先听到第一次笛的回声，则有tt1)tt12两式相减，得2t)1112即

2v11v2司机两次听到回声的时间间隔是vt)21122代入数据，得

v340

解得

/s1如图3果司机先听到第二次笛的回声，得2v11v2司机两次听到回声的时间间隔是v2v2代入数据，得

-5-

66v3401v340/s解得这样的速度不切合实际。所以，汽车的行驶速度是20m/s23.设甲生产一个产品所用的时间为t，则乙生产一个产品所用的时间为用a]表示不大于a的最整数，[3.14]=3,{3.14}=0.14

t

。甲生产