材料科学基础辅导与习题-上交课件 06ch1

第一章晶体学基础§1-1晶体与晶体学§1-2晶体点阵与空间点阵§1-3晶体的对称性§1-4布拉菲点阵、晶胞与晶系§1-5晶向指数和晶面指数§1-6晶面间距、晶面夹角和晶带定理§1-7晶体的极射投影1第一章参考书包永千，金属学基础，冶金工业出版社，1986石德珂，材料科学基础，机械工业出版社，1999卢光熙等，金属学教程，上海科学技术出版社，1985胡赓祥等，金属学，上海科学技术出版社，1980钟家湘等，金属学教程，北京理工大学出版社，1995赵品等，材料科学基础，哈尔滨工业大学出版社，1999

2CategoriesofcrystalsCrystalsareclassifiedingeneralcategories,suchasinsulators,metals,semiconductors,andmolecularsolids.Asinglecrystalofaninsulatorisusuallytransparentandresemblesapieceofglass.Metalsareshinyunlesstheyhaverusted.Semiconductorsaresometimesshinyandsometimestransparentbutareneverrusty.

3Crystals4Al2O3

Al2O3567Si6O18Si6O18

89101112§1-1晶体与晶体学一、晶体与非晶体

晶体:其原子排列是有序的,即原子按某种特定方式在三维空间内周期性地规则重复排列(长程有序)Acrystalconsistsofidenticalstructuralunits,consistingofoneormoreatoms,whichareregularlyarrangedwithrespecttoeachotherinspace.

非晶体:其内部原子排列是无序的(短程有序).13Long-andshort-rangeorderAsolidiscrystallineifithaslong-rangeorder.Oncethepositionsofanatomanditsneighboursareknownatonepoint,theplaceofeachatomisknownpreciselythroughoutthecrystal.Mostliquidslacklong-rangeorder,althoughmanyhaveshort-rangeorder.Shortrangeisdefinedasthefirst-orsecond-nearestneighboursofanatom.Inmanyliquidsthefirst-neighbour…14长程有序与短程有序

15各向异性与各向同性

类别弹性模量（MPa）抗拉强度（MPa）延伸率（％）最大最小最大最小最大最小Cu191000667003461285510α-Fe293000125000225158802016结晶（有固定熔点和体积突变）

与过冷的液体（无固定熔点和体积突变）

17有无锐利的衍射峰:(布拉格定律)2dsinθ=nλ

18晶体特征1)自范性:晶体具有自发地形成封闭的凸几何多面体外形能力的性质,又称为自限性.2)均一性:指晶体在任一部位上都具有相同性质的特征.3)各向异性:在晶体的不同方向上具有不同的性质.4)对称性:指晶体的物理化学性质能够在不同方向或位置上有规律地出现,也称周期性.5)最小内能和最大稳定性19晶体的周期性和对称性

晶体的周期性：整个晶体可看作由结点沿三个不同的方向按一定间距重复出现形成的，结点间的距离称为该方向上晶体的周期。同一晶体不同方向的周期不一定相同。可以从晶体中取出一个单元，表示晶体结构的特征。取出的最小晶格单元称为晶胞。晶胞是从晶体结构中取出来的反映晶体周期性和对称性的重复单元。20§1-1晶体与晶体学二、晶体学

晶体学研究晶体的自然科学,研究晶体的成核与生长过程;研究晶体的外部形态和内部结构;研究实际晶体结构与其物理性质的相互关系等.它与化学、固体物理学、冶金学、材料科学、分子生物学和固体电子学等学科关系十分密切.21§1-2晶体点阵与空间点阵一、结构基元二、等同点三、空间点阵与阵点四、空间格子与格点五、空间点阵+结构基元→晶体结构22一、结构基元是指通过一定结合键组成某一种晶体的分子、原子、离子、原子集团等。Theidenticalstructuralunits(orbaseofthecrystal)aretheatomsinsomespecificarrangementwhichareunambiguouslyplacedateverylatticepoint.23二、等同点

在晶体结构中占有相同几何位置，且具有相同物质环境的点都称其为等同点。在同一晶体中可以找出无穷多类等同点，但每一类等同点集合而成的图形都呈现如右图所示的相同图形。

24金刚石金刚石中同是碳原子由于其几何环境不同而产生的两类等同点25三、空间点阵与阵点将晶体结构中某一类等同点挑选出来,它们有规则地、周期性重复排列所形成的空间几何图形即称为空间点阵,简称点阵.构成空间点阵的每一个点称之为结点或阵点.(a)(b)(c)(d)几种晶体点阵的平面图(a、b、c)和它们的空间点阵(d)26LatticeAnidealcrystalisarepetitionofidenticalstructuralunitsinthreedimensionalspace.Theperiodicityisdescribedbyamathematicallattice(whicharemathematicalpointsatspecificcoordinatesinspace),theidenticalstructuralunits(orbaseofthecrystal)aretheatomsinsomespecificarrangementwhichareunambiguouslyplacedateverylatticepoint.27空间点阵中的几何要素①结点：空间点阵中的等同点；②行列：分布在同一直线上的结点构成一个行列；③面网：分布在同一平面上的结点构成一个面网。④初基格子：空间点阵中由八个结点连成的中空的平行六面体。28293031四、空间格子与格点一个空间点阵若用不在同一平面上的三个方向的平行直线束穿接起来,称之为空间格子.空间格子中每个点称之为格点.

32五、空间点阵+结构基元→晶体结构Notethatalatticeisnotacrystal,evensothetwowordsareoftenusedsynonymouslyincolloquiallanguage,especiallyinthecaseofelementalcrystalswherethebaseconsistsofoneatomonly.33AcrystalnowisobtainedbytakingaBravaislattice

andaddingabase!

Thebasecanjustbeoneatom(asinthecaseofmanyelementalcrystals,mostnoteworthythemetals),twoidenticalatoms(e.g.Si,Ge,C(diamond)),twodifferentatoms(NaCl,GaAs,...)threeatoms,...uptohugecomplexmoleculesasinthecaseofproteincrystals.34GaAsCrystalStructure

35Anarbitraryexampleisshownbelow

36§1-3晶体的对称性一、对称的概念二、宏观对称元素三、32种点群四、晶体的分类五、微观对称元素六、空间群七、对称型的国际符号

37一、对称的概念对称是指物体相同部分作有规律的重复。38SymmetryaroundaPointinthePlaneReflectionandRotationSymmetryisthesetofmathematicalrulesthatdescribetheshapeofanobject.Thetwomostcommonkindsare:ReflectionorMirrorSymmetryRotationSymmetry39ReflectionorMirrorsymmetryTwohalvesofanobjectaremirrorimagesofeachother.Thefiguresbelowhavereflectionsymmetry.MirrorPlane

|

|

//|\\

(|)

Mirror

))]pqdb/

Mirror

//]|[\\

/|\

Plane----------------

Plane-------+-------

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))]bdqp\

\\]|[//

q|p

\\|//

=|=

|

MirrorPlane

40ThelettersAUVTYallhavereflectionsymmetryacrossaverticalplane.ThelettersDECBhavereflectionsymmetryacrossahorizontalplane.Itispossibletohavereflectionsymmetryinmorethanonedirection.ThelettersHIOXhavebothhorizontalandverticalmirrorsymmetry.Notethat:Objectscanhavemorethanonekindofsymmetry.Iftheydo,thesymmetrieshavetobeconsistent.Forexample,youcan'tcrossmirrorplanesatarbitraryangles.Symmetryoperationsactoneachotheraswellasonpatterns.Intheright-mostfigureabove,notethateachmirrorplaneisreflectedbytheother.Peopleandmostvertebratesbasicallyhavemirrorsymmetry(atleastexternally).Inbiologyitisoftencalledbilateralsymmetry.41RotationalSymmetryPartsofanobjectarerelatedbyrotation.Asageneralrule,youcanrotatesuchanobjectthroughacertainangleanditwillstillhavethesameappearance.Thefiguresbelowhaverotationalsymmetry:(a.)

(b.)

/

=====

/\

66///%///99

/

\

=====

__/___\

\

42N-foldsymmetryInFigurea.,thepartsarerelatedbyarotationaroundthecenterby180degrees.Thefigurelooksthesametwiceina360-degreerotation.Wesayithastwo-foldsymmetry.ThelettersZSandNalsohavetwo-foldsymmetry.Figureb.looksthesamethreetimesduringa360-degreerotationandissaidtohavethree-foldsymmetry.Somefigureshavefour-foldsymmetryandothershavesix-foldsymmetry.Anobjectissaidtohaven-foldsymmetryifitlooksthesameafterbeingrotated360/ndegrees.Thepointaroundwhichwerotatetheobjectiscalledasymmetryaxis.43SymmetryandtheRealWorldNotethat,becauseweareusingkeyboardcharacters,thefiguresarenotperfectlysymmetrical.Realobjectsneverare.Eveninacrystal,thereareimpurityatomsanddefectsthatspoiltheperfectsymmetry.Wesayanobjecthassymmetryifitdoesasawhole,apartfromminordefects.Forexample,wesaypeoplehavebilateralsymmetryeventhoughtheymayhaveamoleononesideoftheirfacebutnottheother.44二、宏观对称元素使物体的相等部分重复所进行的操作称为对称操作，对称操作包括反映、旋转、反演等。在进行对称操作时，所借助的几何要素称为对称要素，包括点、线、面。45（1）对称面（用符号“m”表示

）

对称面是通过晶体中心的一个假想平面，它将晶体平分为互为镜像的两个相等部分。对称面的操作是对此平面的反映。4647（2）对称轴(Ln)

对称轴是通过晶体中心的一根假想直线，晶体围绕此直线旋转一定角度后，可使相等部分重复或者说使晶体复原。对称轴的对称操作是围绕一根直线旋转。旋转一周重复的次数称为周次（n），重复时所旋转的最小角度称为基转角（），周次与基转角之间的关系为n=360°/48

对称轴的种类名称符号基转角（）轴次（n）作图符号一次对称二次对称三次对称四次对称六次对称L1L2L3L4L6360°180°120°90°60°1234649在晶体中，只可能出现轴次为一次、二次、三次、四次和六次的对称轴，而不可能存在五次和高于六次的对称轴。晶体对称定律二维晶胞的密排图形50证明51基转角的可能值K>33210-1<-1COSα=(1-K)/2<-1-1-(1/2)01/21>1α无相当值180°120°90°60°0°360°无相当值52①1次对称轴,习惯符号为L1,国际符号为1,n＝1,α＝360°,任何晶体旋转360°以后等同部分会重复；②2次对称轴，习惯符号为L2，国际符号为2，n＝2，α＝180°，晶体旋转180°以后等同部分会重复，旋转一周重复2次；③3次对称轴，习惯符号为L3，国际符号为3，n＝3，α＝120°，晶体旋转120°以后等同部分会重复，旋转一周重复3次；④4次对称轴，习惯符号为L4，国际符号为4，n＝4，α＝90°，晶体旋转90°以后等同部分会重复，旋转一周重复4次；⑤6次对称轴，习惯符号为L6，国际符号为6，n＝1，α＝60°，晶体旋转60°以后等同部分会重复，旋转一周重复6次.53（3）对称中心

对称中心是晶体中心的一个假想点，任意通过此点的直线的等距离两端，必定找到对应的点。对称中心的对称操作是对此点的反演。晶体中可以没有对称中心，或者有一个对称中心。晶体中如果有对称中心，晶体上的晶面必然都是两两平行（或两两反向平行）且相等。54对称中心用符号“i”表示

55（4）旋转反演轴(Lin)

旋转反演轴是通过晶体中心的一根假想的直线，晶体围绕此直线旋转一定角度后，再对此直线上的一点反演，可使相等部分重复即晶体复原。旋转反伸轴的对称操作是围绕一根直线旋转和对此直线上一点反演。旋转反伸轴的符号Lin，i代表反演，n代表轴次。n可以为1、2、3、4、6，相应的基转角为360°、180°、120°、90°、60°，旋转反演轴的作用如下图所示：56Li1Li2Li357Li4Li658注意当已经考虑了对称面和反演对称元素后，Li1

、Li2

、Li3

、Li6

次旋转－反演对称轴就不必再列为基本的对称元素。原因如下：Li1次旋转－反演对称轴就是对称中心，用i表示，即Li1＝i。Li2次旋转－反演对称轴就是垂直于该轴的对称面，用m表示，即Li2＝m。Li3次旋转－反演的效果和L3次转轴加上对称中心i的总效果一样。Li6次旋转－反演的效果和L3次转轴加上垂直于该轴的对称面的总效果一样59小结综上所述，晶体的宏观对称性中，只有以下八种最基本的对称元素，即L1、L2、L3、L4、L6、i、m、Li4。60三、32种点群晶体的宏观外形可以只有一种对称元素独立存在，也可以有若干对称元素同时存在，由上面八种对称元素的不同组合就可以组成形形色色晶体的各种宏观对称性，但是晶体除了对称性以外，还必须具有周期性这样一个特点，因此这些对称元素的组合不能是任意的，必须遵循对称元素的组合规律，使对称元素之间相互制约而又相互协调，利用数学方法可以导出这八个宏观对称元素可能有的组合数为32种，构成了晶体32种宏观对称类型，即32种点群。之所以称其为点群，是因为每种宏观对称类型中的各个对称元素必须至少相交于一点，此点称为点群中心。6162TheCrystallographicPointGroupsTriclinic,MonoclinicandOrthorhombicSymmetriesTrigonalSymmetriesHexagonalSymmetriesTetragonalSymmetriesIsometricSymmetries63Triclinic,MonoclinicandOrthorhombicSymmetries64TrigonalSymmetries65HexagonalSymmetries66TetragonalSymmetries67IsometricSymmetries68补充：对称要素的组合（1）对称要素的组合规律：定理一如果有一个对称面P包含Ln，则必有n个对称面包含Ln，且任意二相邻P之间的交角δ等于360°/2n。即：逆定理如果两个对称面P以δ角相交，其交线必为一个n次对称轴Ln，且n为：69定理二如果有一个二次对称轴L2垂直Ln，则必有n个L2垂直Ln，且任意二相邻L2之间的交角δ=360°/2n。即：逆定理

如果有相邻的L2以δ角相交，则过两个L2交点的公共垂线必为一个n次对称轴Ln，且70定理三如果有一个偶次对称轴Ln垂直对称面P，其交点必为对称中心C。逆定理一：如果有一个对称面和对称中心组合，必有一个垂直于对称面的偶次对称轴。逆定理二如果有一个偶次轴Ln和对称中心C组合，必产生垂直该Ln的对称面P。71定理四如果有一个二次对称轴L2垂直Lin（或者有一个对称面P包含Lin），当n为偶数时，则必有n/2个L2垂直Lin

和n/2个P包含Lin；当n为奇数时，则必有n个L2垂直Lin

和n个P包含Lin，而且对称面P的法线与相邻L2之间的交角δ均为360°/2n。逆定理如果有一个L2与一个P斜交，P的法线与L2的交角为δ，则包含P且垂直于L2的直线必为一个n反伸轴,n=360°/2δ72定理五如有两个基

转角分别为α和β

的对称轴以δ角相

交,则过两者之交点

必有另一个对称轴

存在，后者之基转

角ω及其与二原始

对称轴之交角γ’和

γ”分别为：推论

n次对称轴Ln与m次对称轴Lm以δ角斜交时，则围绕Ln必有共点且对称分布的n个Lm，围绕Lm必有共点且对称分布的m个Ln，且任意二相邻的Ln与Lm之间交角均等于δ。73NotationWe'renowreadytosetupsomenotationforsymmetryoperations:Simplerotationsymmetryissimplydescribedbyanumber:three-foldrotationissimplydescribedas3.A+hassymmetry4.Mirrorplanesaredescribedbym.Compoundsymmetriesaredescribedbyjoiningsymbols.Odd-foldrotationplusreflection,likethatofatriangle,is3m.ThestarsonanAmericanflaghavesymmetry5m.Whentherotationiseven-fold,wealsonotethesecondsetofmirrorplanesthatiscreated.Arhombus菱形hassymmetry2mm,asquarehas4mm,ahexagonorstarofDavidhas6mm.Allregularpolygonshavesymmetrynmifnisoddornmmifniseven.74One-foldSymmetry=NoSymmetrySomeobjectshavenosymmetryatall:acomputerkeyboard,aleftglove,thelettersGQdpJL.Ina360degreerotation,theobjectmatchesitsoriginalappearanceonlyonce,afterafull360degrees.Thus,wecansaytheobjecthasone-foldsymmetry.One-foldsymmetryisthesameasnosymmetryatall.75Summaryoftheone-dimensionalspacegroups1.p1pppppppppp

2.pmpppppppppp-----------------------------------------bbbbbbbbbb

3.p/mp|q|p|q|p|q|p|q|p|q764.pmmp|q|p|q|p|q|p|q|p|q----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+----b|d|b|d|b|d|b|d|b|d

5.p2p+d+p+d+p+d+p+d+p+d6.

pgpppppppppp---------------------------------------------------------bbbbbbbbbb

7.pmgp+d|q+b|p+d|q+b|p+d|q+b|p+d|q

77SymmetryElementsoftheTwo-DimensionalSpaceGroups78Three-DimensionalPointGroupsThereareseventypesofsymmetry.Recallthattherearealsosevenone-dimensionalstripspacegroups.Thenumbersevenisnocoincidence:thepolarsymmetriescanbeobtainedbywrappingthestripsymmetriesaroundacylinder.Thediagramsbelowshowthestrip,theresultwhenwrappedaroundacylinder,andasolidwiththeresultingsymmetry.798081四、晶体的分类晶类：晶体共有32种对称型，把属于同一对称型的所有晶体归为一类，称为晶类，所以也有32个晶类。根据有无高次轴和高次轴的多少将32个晶类划分为低、中、高三个晶族。低级晶族：对称型中无高次轴为低级晶族。中级晶族：对称型中只有一个高次轴为中级晶族。高级晶族：对称型中高次轴多于一个为高级晶族。82根据有无L2或P，以及L2或P是否多于一个将低级晶族划分为三个晶系：三斜晶系（无L2，无P），单斜晶系（L2或P不多于一个），斜方晶系（或称正交晶系）（L2或P多于一个）。根据高次轴的轴次将中级晶族划分为3个晶系：三方晶系（L3）、四方晶系（或正方晶系）（L4或L4i）和六方晶系（L6或L6i）。高级晶族不再进一步划分，称为等轴晶系或立方晶系。三个晶族、七个晶系、32个对称型的具体组成见下表83848586五、微观对称元素宏观对称元素在晶体内部结构中仍然存在。此外，由于介入平移操作又出现了一些新的对称元素，一般将这些微观特有的对称元素称为微观对称元素。微观对称元素主要分为以下三类。1．平移轴

2．滑移面

3．螺旋轴871．平移轴晶体最根本的特点是其内部结构具有空间点阵的特征，即晶体内部结构的周期性。若点阵沿着点阵中某一方向上任何两点的矢量进行平移，点阵必然复原，由这种平移操作所组合的对称群称为平移群，可以用下式来表达：Tmnp＝ma＋nb＋pc

其中：m、n、p＝0、±1、±2……因此，如果说空间点阵是反映晶体内部结构周期性的几何形式，那么平移群的表达式则是反映晶体内部结构周期性的代数形式。88点阵与相应平移群间的对应关系还体现在下列两个重要的性质上：①连接点阵中任意两点的矢量必属于平移群T中的一个平移矢量；②属于平移群T中的任何矢量必定通过点阵中的二个节点。所以不难得出：平移群矢量之组合仍属于平移群。晶体的宏观对称性与微观对称性的区别就在于：宏观对称操作至少要求有一点不动，而微观对称操作要求全部点都动。因此，宏观对称性无法反映微观对称性中的平移部分。然而，当宏观对称元素一旦与平移结合起来即可形成新的微观对称元素。892．滑移面

滑动面是一复合的对称要素。其辅助对称要素有两个：一个是假想的平面和平行此平面的某一直线方向。相应的对称变换为：对于此平面的反映和沿此直线方向平移的联合，其平移的距离等于该方向行列结点间距的一半。根据平移成分τ的方向和大小，滑动面一般有下列三种：轴滑移面；对角滑移面；金刚石滑移面。90轴滑移面用a、b、c各表示沿a、b、c方向平移对应轴一半a/2、b/2、c/2后又反演而得到重复的滑移机制，见如下各图所示。91轴滑移面①=(1/2)a的滑移面，符号a滑移面

a92轴滑移面②=(1/2)b的滑移面，符号b滑移面

b93轴滑移面③=(1/2)c的滑移面，符号c滑移面

c94对角滑移面一律用n表示平移（a＋b)/2，(b＋c)/2，(a＋c)/2，(a＋b＋c)/2各种对角矢量的1/2平移，后再反演而重复的晶面，下图列举了n滑移面滑移了（a＋b)/2。

=1/2（a+b)或1/2(b+c)或1/2(c+a)或1/2(a+b+c)的滑移面，符号n95金刚石滑移面对滑移量为（a＋b)/4，(b＋c)/4，(a＋c)/4，(a＋b＋c)/4的滑移反映对称面统称为金刚石滑移对称面，用d表示，下图列举了d滑移面滑移了（a＋b)/4。96=1/4(a+b)或1/4(b+c)或1/4(c+a)或1/4(a+b+c)的滑移面，符号d滑移面

d97在各种晶体结构中，由镜面m和平移t结合而形成的滑移面的国际符号和滑移矢量等归纳在下表中。而反演、四次旋转－反演轴在进行对称操作时都要求有一点不动，所以只有平移一个周期才能使晶体规则复原，然而平移一个周期相当于不动，所以反演和四次旋转－反演轴均不能与平移结合而形成新的微观对称元素。98993．螺旋轴

螺旋轴是一种复合的对称要素。其辅助几何要素为：一根假想的直线及与之平行的直线方向。相应的对称变换为，围绕此直线旋转一定的角度和此直线方向平移的联合。螺旋轴的周次n只能等于1、2、3、4、6，所包含的平移变换其平移距离应等于沿螺旋轴方向结点间距的s/n，s为小于n的自然数。螺旋轴的国际符号一般为ns100

旋转轴根据其轴次和平移距离的大小的不同可分为21；31；32；41；42；43；61；62；63；64；65共11种螺旋轴。即当转轴与平移组合后，可以形成11种新的微观对称元素。

螺旋轴根据其旋转方向可分为左旋、右旋和中性旋转轴。左旋方向是指顺时针旋转，右旋是指逆时针旋转，旋转方向左右旋性质相同时为中性旋转轴。螺旋轴的类型101各种旋转对称轴图示1021034142431046162105636465106107六、空间群晶体外形的对称分类用点群来说明，而晶体内部结构――原子、离子、分子类别和排列的对称性类别则用空间群来说明。这种微观的对称性不但包括了所有宏观对称元素而且又多出三类微观对称元素：平移、螺旋轴以及滑移面。导致这种差异的根本原因在于晶体内部结构具有特有的平移对称性。108把宏观对称元素的点群与微观对称元素的螺旋轴、滑移面结合作为一部分，将其与平移再组合而形成的对称群，称为空间群。很显然，有宏观对称元素和微观对称元素在三维空间中可能的组合排列数很多，经过熊夫利斯和费多罗夫的精确分析，晶体最多可能有230种空间群。但是，并非所有空间群都能找到与它相应的晶体结构。迄今为止，在测定的晶体中，大部分只属于230种空间群中的100个空间群，将近80个空间群还未找到与其相应的实际晶体结构。实际上，重要的空间群只有30个，对金属材料而言，比较重要的空间群只有15～16个。109七、对称型的国际符号

（1）对称型中对称要素的国际符号对称型国际符号所采用的对称要素为对称面、对称轴和旋转反演轴，对应符号分别为：对称面：m；一次、二次、三次、四次和六次旋转轴分别为：1、2、3、4、6；一次、二次、三次、四次和六次旋转反演轴分别为：L1i

、L2i

、L3i

、L4i

、L6i

。由于L1i=C，L2i=P，在国际符号中用表示对称中心C，用m表示L2i。110（2）对称型国际符号的表示方法对称型的国际符号不超过三位，书写顺序有严格规定，随晶系的不同而不同，具体顺序见下表。国际符号的书写方法就是按表中要求的顺序写出各方向所含的对称要素符号。对称面的方向是其法线的方向。当轴向与对称面法线处同一方向时用分式表示，轴次作分子，对称面作分母，例如四次轴和对称面法线方向一致，此方向的国际符号写成4/m。111对称型国际符号中三个位的取向

晶系第Ⅰ方向第Ⅱ方向第Ⅲ方向等轴c（a+b+c）（a+b）四方ca（a+b）三方、六方ca（2a+b）斜方abc单斜b三斜c112举例：L44P--4mm

L4P1P2P3P4113§1-4布拉菲点阵、晶胞与晶系一、Bravaislattice

ThefourteenBravaislatticesdescribeallthedifferenttypesofthree-dimensionallatticesthatexist.Theunitcellsofeachoftheselatticesaredistinguishedbytheirpatternoflatticepoints.法国学者布拉菲(A.Bravais)根据晶体结构的最高点群对称和平移群（所有平移轴的组合）对称及晶体学晶胞选取原则，将所有晶体结构的空间点阵划分成十四种类型的空间格子，称14种空间格子或布拉菲点阵。

114115BravaisLatticesSymbolsP-Primitive:simpleunitcellF-Face-centered:additionalpointinthecenterofeachfaceI-Body-centered:additionalpointinthecenterofthecellC-Centered:additionalpointinthecenterofeachendR-Rhombohedral:Hexagonalclassonly116CrystalClassBravaisLatticesPointGroupsTriclinicP1,1*MonoclinicP,C2,m,2/mOrthorhombicP,C,F,I222,mm2,2/m2/m2/mTrigonalP,R3,3*,32,3m,3*2/mHexagonalP6,6*,6/m,622,6mm,6*m2,6/m2/m2/mTetragonalP,I4,4*,4/m,422,4mm,4*2m,4/m2/m2/mIsometricP,F,I23,2/m3*432,4*3m,4/m3*2/m117IsometricCellsTheFcellisveryimportantbecauseitisthepatternforcubicclosestpacking.ThereisnoCcellbecausesuchacellwouldnothavecubicsymmetry.118TetragonalCellsACcellwouldsimplybeaPcellwithasmallercross-section.AnFcellwouldreducetoanetworkofIcells.119HexagonalCellsTheRcellisuniquetohexagonalcrystals.Thetwointeriorpointsdividethelongdiagonalofthecellinthirds.ThisistheonlyBravaislatticewithmorethanoneinteriorpoint.Arhombohedroncanbethoughtofasacubedistortedalongoneofitsdiagonals.120121OrthorhombicCellsTheorthorhombicclassistheonlyonewithallfourtypesofBravaislattice122MonoclinicandTriclinicCellsMonoclinicForIcellscouldalsoberepresentedasCcells.AnyothertricliniccellcanalsoberepresentedasaPcell.123§1-4布拉菲点阵、晶胞与晶系二、晶胞（单胞）在空间点阵中取一个具有代表性的基本小单元(通常是一个平行六面体),整个点阵可看作是由这样一个平行六面体在空间堆砌而成,此平行六面体称为单胞.124125晶胞的选取在同一空间点阵中,可以选取多种不同形状和大小的平行六面体作为单胞。126晶胞的选取固体物理选法选取空间点阵中体积最小的平行六面体作为单胞,它只反映其空间点阵的周期性,但不能反映其对称性.如图1-8所示127elementarycellandprimitiveunitcellForcertainapplications,aBravaislatticemaynotbethebestchoice.Whereas,forexample,itshowsbestthecubicsymmetryofthecubiclattices,itselementarycellisnotaprimitiveunitcellofthelattice,i.e.thereareunitcellswithasmallervolume(butwithoutthecubicsymmetry).Forothercases(especiallyifworkinginreciprocallattices)thechoiceofaWigner-Seitzcellmaybeappropriate,whichisobtainedbyintersectingalllinesfromonelatticepointtoneighboringpointsathalfthedistancewithplanesatrightanglestothelines128Wigner-SeitzcellThisisshownschematicallybelow:Thebluelinesconnectlatticepoints,theredlinesdenotetheintersectionatrightangles.Theresultinganditsuseinconstructingthelatticeareshowninyellow.

129crystaltypesInpracticalwork,oneoftensreferstocrystaltypesinsteadoflatticesbyusingthenameofprominentcrystals,crystallographersormineralsetc.;e.g."diamondtype,Perovskites,"Zinkblende"structureandsoon.Afewexamplesaregivenbelows.130TheNaClStructure

Thelatticeisfacecenteredcubic

(fcc),withtwoatomsinthebase:oneat(0,0,0),theotheroneat(½,0,0)Manysaltsandoxideshavethisstructure,e.g.KCl,AgBr,KBr,PbS,...orMgO,FeO,...131TheCsClStructure

Thelatticeiscubicprimitivewithtwoatomsinthebaseat(0,0,0)and(½,½,½).Itisacommonerrortomistakeitforabcclattice.Intermetalliccompounds(notnecessarilyioniccrystals),butalsocommonsaltsassumethisstructure;e.g.CsCl,TlJ,...,orAlNi,CuZn

132TheZnS(orDiamond,orSphalerite)Structure

The"zincblende"latticeisfacecenteredcubic

(fcc)withtwoatomsinthebaseat(0,0,0)and(¼,¼,¼).

ItisnotonlyanimportantlatticeforotherioniccrystalslikeZnS,whichgaveititsname,butalsothetypicallatticeofcovalentlybondedgroupIVsemiconductors(C(diamondform),Si,Ge)orIII-Vcompoundssemiconductors(GaAs,GaP,InSb,InP,..)TheZnSlatticeiseasilyconfusedwiththeZrO2latticebelow133

TheCaF2orZrO2StructureThelatticeisfacecenteredcubic

(fcc)withthreeatomsinthebase,onekind(thecations)at(0,0,0),andtheothertwo(anionsofthesamekind)at(¼,¼,¼),and(¼,¾,¼).Itisoftenjustcalledthe"fluoritestructure".134Perovskite钙钛矿

Structure

Thelatticeisessentiallycubicprimitive,butmaybedistortedtosomeextentandthenbecomesorthorhombicorworse.ItisalsoknownastheBaTiO3orCaTiO3latticeandhasthreedifferentatomsinthebase.IntheexampleitwouldbeBaat(0,0,0),Oat(½,½,,0)andTiat(½,½,½).Aparticularinterestingperovskite(athighpressures)isMgSiO3.Itisassumedtoformthebulkofthemantleoftheearth,soitisthemostabundantstuffonthisplanet,neglectingitsFe/Nicore.Themechanicalproperties(includingthemovementofdislocations)ofthis(andrelated)mineralsareessentialforgeotectonics-formingthecontinents,makingandquenchingvolcanoes,earthquakes-quiteinterestingstuff!135PerovskiteStructure

136Spinel尖晶石

Structure（1）Thespinelstructure(sometimescalledgarnet石榴石

structure)isnamedafterthemineralspinel(MgAl2O4);thegeneralcompositionisAB2O4.Itisessentiallycubic,withtheO-ionsformingafcclattice.Thecations(usuallymetals)occupy1/8ofthetetrahedralsitesand1/2oftheoctahedralsitesandthereare32

O-ionsintheunitcell.Thissoundscomplicated,butitisnotasbadasitcouldbe;lookatthedrawing.We"simply"havetwotypesofcubicbuildingunitsinsideabigfcc

O-ionlattice,fillingall8octants.Thespinelstructureisveryflexiblewithrespecttothecationsitcanincorporate;thereareover100knowncompounds.Inparticular,theAandBcationscanmix!Inotherwords,thecompositionwithrespecttooneunitcellcanbe137SpinelStructure138SpinelStructure(2)(A8)(B16)O32,orA8(B8A8)O32=A(AB)O4inregularchemicalspelling,or(A8/3B16/3)(A16/3B32/3)O32

andsoon,withtheatomsinthebracketsoccupyingtherespectivesiteatrandom.Afewexamples(inregularchemicalsymbols)Magnetite;Fe3+(Fe2+Fe3+)O4

Spinel;Mg2+(Al23+)O4

Chromite;Fe3+(Cr23+)O4

Jacobsite;Fe3+(Mn2+Fe3+)O4

Thespinelstructureisalsointerestingbecauseitmaycontainvacanciesasregularpartofthecrystal.Forexample,ifmagnetiteisslowlyoxidizedbylyingaroundacoupleofbillionyears,orwhenrockscool,Fe2+willturnintoFe3+(oxidation,inchemicalterms,meansyoutakeelectronsaway).IfallFe2+isconvertedintoFe3+,chargebalancerequiresanetformulaofFe21,67O32perunitcellandthismeansthat2,33sitesmustbevacant-wehavewhatiscalledadefectspinel.Inaway,thecompositionisnowFe21,67Vac2,33O3;havinglotsofvacanciesasanintegralpartofthestructure.139晶胞的选取晶体学选法①要能充分反映整个空间点阵的周期性和对称性；②在满足①的基础上，单胞要具有尽可能多的直角；③在满足①、②的基础上，所选取单胞的体积最小。140对称性，直角，体积最小141晶胞的选取简单单胞与复合单胞

简单单胞:即只在平行六面体的8个顶点上有结点,且它们又分属于8个相邻单胞,故一个简单单胞只含有一个结点。

复合单胞:除在平行六面体顶点位置含有结点之外，尚在体心、面心、底心等位置上存在结点。142三、晶胞参数（点阵常数）

晶胞的形状和大小可以用6个参数来表示，此即晶格特征参数，简称晶胞参数。它们是3条棱边的长度a、b、c和3条棱边的夹角、、，如图所示。143Allpossiblelatticescanbedescribedbyasetofthreelinearlyindependentvectorsa1,a2,anda3,theunitvectorsofthelattice.EachlatticepointthancanbereachedbyatranslationvectorTofthelatticegivenbyWithu,v,w=integersT

=

(u·a1,v·a1,w·a3)144四、CrystalsystemEverycrystalbelongstooneofsevencrystalsystems.Eachsystemisdefinedintermsoftherelativelengthsoftheunitvectorsa,bandcofthelatticeunitcell,aswellastheanglesbetweenthevectors(seecrystalaxes).Thesevencrystalsystemsarecubic,tetragonal,orthorhombic,trigonal,hexagonal,monoclinicandtriclinic.145四

七大晶系14614

Bravais

latticesItisconvenient,toclassifylatticesaccordingtosomebasicsymmetrygroups.Thisyieldsthe14

Bravais

lattices,whicharecommonlyusedtodescribelatticetypes.Theirbasicfeaturesareshownbelow(Forsakeofclarity,thelatticepointsareshownaslittlespheresandoccasionallyonly"visible"latticepointsareshown.Thesearenotatoms,however!)147Tricline简单三斜C=PI=PF=Pa1a2

a3

a

b

g

900148Monoclinic简单单斜底心单斜

I=CF=Ca1a2

a3

=b

=900g

900MonoclinebasefacecenteredMonoclineprimitive149Orthorhombica1a2

a3,α=b

=

g

=900OrthorhombicprimitiveOrthorhombicbodycenteredOrthorhombicbasefacecentered

Orthorhombicfacecentered150Rhombohedrala1=a2=a3,α=b

=

g

900三方菱面体C:与本晶系对称不符I=PF=P151Hexagonal(elementarycellcontinuedtoshowhex.symmetry)a1=a2a3,α=b

=900,

g

=1200简单六方C、I、F不符六方对称152Tetragonala1=a2a3,α=b

=

g

=900TetragonalprimitiveTetragonalbodycentered简单四方C=P体心四方F=I153Cubica1=a2=a3,α=b

=

g

=900cubicprimitivecubicbodycentered(bcc)

cubicfacecentered(fcc)C：与本晶系对称不符154三斜：F=P155单斜：C=P156单斜：I=C157四方：C=P158四方：F=I159三方：I=P160三方：F=P161面心正方和体心正方点阵的关系底心正方和简单正方点阵的关系162§1-5晶向指数和晶面指数晶面与晶向在晶体中存在着一系列的原子列或原子平面，晶体中原子组成的平面叫晶面，原子列表示的方向称为晶向。163MillerIndicesMillerindicesareanotationfordescribingdirectionsandlabellingplanesinlatticesandcrystals.Thebasisfordeterminingtheindexistheunitcell.Itisimportanttobeclearabouttheunitcellbeingused.Adirectionisexpressedintermsofitsratioofunitvectorsintheform[uvw]whereu,vandwareintegers.Afamilyof

crystallographicallyequivalentdirectionsisexpressedas<uvw>.AMillerindex