-新教材高中数学第14章统计单元形成性评价含解析苏教版必修第二册

PAGEPAGE10单元形成性评价(六)(第14章)(120分钟150分)一、单选题(每小题5分，共40分)1．一个容量为80的样本中，数据的最大值为152，最小值为60，组距为10，应将样本数据分为()A．10组B．9组C．8组D．7组【解析】选A.由题意可知，eq\f(152－60,10)＝9.2，故应将数据分为10组．【加固训练】一个容量为32的样本，已知某组样本的频率为0.125，则该组样本的频数为()A．2B．4C．6D．8【解析】选B.频率＝eq\f(频数,样本容量)，则频数＝频率×样本容量＝0.125×32＝4.2．为了解某校学生的视力情况，随机抽查了该校的100名学生，得到如图所示的频率分布直方图．由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数和为40，后6组的频数和为87.设最大频率为a，视力在4.5到5.2之间的学生数为b，则a，b的值分别为()A.0.27，96 B．0.27，83C．2.7，78 D．2.7，83【解析】选A.由频率分布直方图知组距为0.1，前3组频数和为13，则4.6到4.7之间的频数最大为27，故最大频率a＝0.27，视力在4.5到5.2之间的频率为0.96，故视力在4.5到5.2之间的学生数b＝96.3．在样本频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他8个长方形的面积和的eq\f(2,5)，且样本容量为140，则中间一组的频数为()A．28B．40C．56D．60【解析】选B.设中间一组的频数为x，则其他8组的频数和为eq\f(5,2)x，所以x＋eq\f(5,2)x＝140，解得x＝40.4．“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[0，10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高．现随机抽取6位小区居民，他们的幸福感指数分别为5，6，7，8，9，5，则这组数据的80百分位数是()A．7 B．7.5 C．8 D．9【解析】选C.将该组数据从小到大排列为：5，5，6，7，8，9.得6×80%＝4.8，所以这组数据的80百分位数是8.5．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层随机抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为()A．200，20B．100，20C．200，10D．100，10【解析】选A.该地区中小学生总人数为3500＋2000＋4500＝10000，则样本容量为10000×2%＝200，其中抽取的高中生近视人数为2000×2%×50%＝20.6．某市刑警队对警员进行技能测试，测试成绩分为优秀、良好、合格三个等级，测试结果如下表：(单位：人)优秀良好合格男4010525女a155若按优秀、良好、合格三个等级分层，从中抽取40人，成绩为良好的有24人，则a等于()A．10B．15C．20D．30【解析】选A.设该市刑警队共n人，由题意得eq\f(40,n)＝eq\f(24,105＋15)，解得，n＝200；则a＝200－(40＋105＋15＋25＋5)＝10.7．某工厂生产A，B，C，D四种不同型号的产品，产品数量之比依次为2∶3∶5∶1.现用分层随机抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号有16件，那么此样本的容量n为()A．88B．44C．22D．11【解析】选A.在分层抽样中，每一层所抽的个体数的比例与总体中各层个体数的比例是一致的．所以，样本容量n＝eq\f(2＋3＋5＋1,2)×16＝88.8．某中学从某次考试成绩中抽取若干名学生的分数，并绘制成如图所示的频率分布直方图，样本数据分组为[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100].若用分层抽样的方法从样本中抽取分数在[80，100]范围内的数据16个，则其中分数在[90，100]范围内的样本数据有()A.5个B．6个C．8个D．10个【解析】选B.分数段在[80，100]范围内占所有分数段的百分比为(0.025＋0.015)×10＝0.4，其中分数在[90，100]范围内的人数占所有分数段的百分比为0.015×10＝0.15，因此分数在[90，100]范围内占分数在[80，100]范围内的百分比为eq\f(0.15,0.4)＝eq\f(3,8)，因此分数在[90，100]范围内的样本数据有16×eq\f(3,8)＝6.二、多选题(每小题5分，共20分，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)9．三个同学的数学测试成绩及班级平均分关系如图，则下列说法正确的是()A.王伟同学的数学学习成绩高于班级平均水平，且较稳定B．张诚同学的数学学习成绩波动较大C．赵磊同学的数学学习成绩低于班级平均水平D．在6次测验中，每一次成绩都是王伟第1，张诚第2，赵磊第3【解析】选ABC.从图中看出王伟同学的数学学习成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且成绩优秀．张诚同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较大．赵磊同学的数学学习成绩低于班级平均水平，但他的成绩曲线呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提高，第6次考试张诚没有赵磊的成绩好．故D错误．10．在某次测量中得到的A样本数据如下：52，54，54，56，56，56，55，55，55，55.若B样本数据恰好是A样本数据都加6后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是()A．方差B．平均数C．中位数D．标准差【解析】选AD.A样本的平均数为54.8，B样本的平均数为60.8，B选项错误；A样本的中位数为55，B样本的中位数为61，C选项错误；事实上，在A样本的每个数据上加上6后形成B样本，样本的稳定性不变，因此两个样本的方差相同，标准差相等．11．为比较甲、乙两名高中学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验(指标值满分为100分，分值高者为优)，根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述正确的是()A．甲的数据分析素养优于乙B．乙的数据分析素养优于数学建模素养C．甲的六大素养整体水平优于乙D．甲的六大素养中数学运算最强【解析】选ABC.对于A，甲的数据分析素养为100分，乙的数据分析素养为80分，故甲的数据分析素养优于乙，故A正确；对于B，乙的数据分析素养为80分，数学建模素养为60分，故乙的数据分析素养优于数学建模素养，故B正确；对于C，甲的六大素养整体水平平均得分为eq\f(100＋80＋100＋80＋100＋80,6)＝eq\f(270,3)＝90，乙的六大素养整体水平平均得分为eq\f(80＋60＋80＋60＋60＋100,6)＝eq\f(220,3)，故C正确；对于D，甲的六大素养中数学运算为80分，不是最强的，故D错误．12．为了反映各行业对仓储物流业务需求变化的情况，以及重要商品库存变化的动向，中国物流与采购联合会和中储发展股份有限公司通过联合调查，制定了中国仓储指数．由2017年1月至2018年7月的调查数据得出的中国仓储指数，绘制出如图所示的折线图．根据该折线图，下列结论不正确的是()A．2017年各月的仓储指数最大值是在3月份B．2018年1月至7月的仓储指数的中位数为55C．2018年1月与4月的仓储指数的平均数为52D．2017年1月至4月的仓储指数相对于2018年1月至4月，波动性更大【解析】选ABC.2017年各月的仓储指数最大值是在11月份，所以A是错误的；由图可知，2018年1月至7月的仓储指数的中位数约为53，所以B是错误的；2018年1月与4月的仓储指数的平均数为eq\f(51＋55,2)＝53，所以C是错误的；由图可知，2017年1月至4月的仓储指数比2018年1月至4月的仓储指数波动更大．三、填空题(每小题5分，共20分)13．已知样本数据由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12，13.7，18.3，20，且样本的中位数为10.5，若使该样本的方差最小，则a，b的值分别为________，________．【解析】由于样本共有10个值，且中间两个数为a，b，依题意，得eq\f(a＋b,2)＝10.5，即b＝21－a.因为平均数为(2＋3＋3＋7＋a＋b＋12＋13.7＋18.3＋20)÷10＝10，所以要使该样本的方差最小，只需(a－10)2＋(b－10)2最小．又(a－10)2＋(b－10)2＝(a－10)2＋(21－a－10)2＝2a2－42a＋221，所以当a＝－eq\f(－42,2×2)＝10.5时，(a－10)2＋(b－10)2最小，此时b＝10.5.答案：10.510.514．某社区对居民进行某车展知晓情况的分层随机抽样调查．已知该社区的青年人、中年人和老年人分别有800人、1600人、1400人．若在老年人中的抽样人数是70，则在中年人中的抽样人数应该是________.【解析】依题意，应有eq\f(70,1400)＝eq\f(x,1600)，解得x＝80，即在中年人中应抽取80人．答案：8015．某工厂从生产的一批产品中随机抽出一部分，对这些产品的一项质量指标进行了检测，整理检测结果得到如下频率分布表：质量指标分组[10，30)[30，50)[50，70]频率0.10.60.3据此可估计这批产品的此项质量指标的方差为________．【解析】由题意得这批产品的此项质量指标的平均数为20×0.1＋40×0.6＋60×0.3＝44，故方差为(20－44)2×0.1＋(40－44)2×0.6＋(60－44)2×0.3＝144.答案：14416．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：cm)数据绘制成频率分布直方图(如图所示).由图中数据可知a＝________．若要从身高在[120，130)，[130，140)，[140，150]三组内的学生中，用分层随机抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为________.【解析】由10×(0.005＋0.035＋a＋0.020＋0.010)＝1，得a＝0.03，从而这三组的频数之比为0.03∶0.02∶0.01＝3∶2∶1，故从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为18×eq\f(1,6)＝3.答案：0.033四、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)中小学生的视力状况受到全社会的广泛关注．某市有关部门对全市4万名初中生的视力状况进行一次抽样调查，所得到的有关数据绘制成频率分布直方图如图所示．从左至右五个小组的频率之比依次是2∶4∶9∶7∶3，第五小组的频数是30.(1)本次调查共抽取了多少名学生？(2)如果视力在[4.85，5.45)属正常，那么全市初中生视力正常的约有多少人？【解析】(1)频率之比等于频数之比．设第一小组的频数为2k，则其余各组的频数依次为4k，9k，7k，3k，于是3k＝30，解得k＝10.则2k＝20，4k＝40，9k＝90，7k＝70，故本次调查的抽样总人数为20＋40＋90＋70＋30＝250.(2)因为视力在[4.85，5.45)范围内的有100人，所以频率为eq\f(100,250)＝0.4.所以全市初中生视力正常的约有40000×0.4＝16000(人).18．(12分)某城市有210家百货商店，其中大型商店20家，中型商店40家，小型商店150家．为了掌握各商店的营业情况，计划抽取一个容量为21的样本，按照分层随机抽样方法抽取时，各种百货商店分别要抽取多少家？写出抽样过程．【解析】(1)样本容量与总体的个体数的比为eq\f(21,210)＝eq\f(1,10).(2)确定各种商店要抽取的数目：大型：20×eq\f(1,10)＝2(家)，中型：40×eq\f(1,10)＝4(家)，小型：150×eq\f(1,10)＝15(家).(3)采用简单随机抽样在各层中抽取大型：2家；中型：4家；小型：15家．这样便得到了所要抽取的样本．19．(12分)某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加其中一组．在参加活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%，登山组的职工占参加活动总人数的eq\f(1,4)，且该组中，青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%.为了了解各组不同的年龄层的职工对本次活动的满意程度，现用分层随机抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取容量为200的样本．试求：(1)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例．(2)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数．【解析】(1)设登山组人数为x，游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为a，b，c，则有eq\f(x·40%＋3xb,4x)＝47.5%，eq\f(x·10%＋3xc,4x)＝10%.解得b＝50%，c＝10%.故a＝1－50%－10%＝40%.即游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为40%，50%，10%.(2)游泳组中，抽取的青年人人数为200×eq\f(3,4)×40%＝60；抽取的中年人人数为200×eq\f(3,4)×50%＝75；抽取的老年人人数为200×eq\f(3,4)×10%＝15.20．(12分)两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天的次品数如下：甲：1，0，2，0，2，3，0，4，1，2.乙：1，3，2，1，0，2，1，1，0，1.(1)哪台机床次品数的平均数较小？(2)哪台机床的生产状况比较稳定？【解析】(1)eq\x\to(x)甲＝(1＋0＋2＋0＋2＋3＋0＋4＋1＋2)×eq\f(1,10)＝1.5，eq\x\to(x)乙＝(1＋3＋2＋1＋0＋2＋1＋1＋0＋1)×eq\f(1,10)＝1.2.因为eq\x\to(x)甲>eq\x\to(x)乙，所以乙机床次品数的平均数较小．(2)seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(甲))＝eq\f(1,10)×[(1－1.5)2＋(0－1.5)2＋(2－1.5)2＋(0－1.5)2＋(2－1.5)2＋(3－1.5)2＋(0－1.5)2＋(4－1.5)2＋(1－1.5)2＋(2－1.5)2]＝1.65，同理seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(乙))＝0.76，因为seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(甲))>seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(乙))，所以乙机床的生产状况比较稳定．21．(12分)某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查．通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0，0.5)，[0.5，1)，…[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．(1)求直方图中a的值；(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；(3)估计居民月均用水量的中位数．【解析】(1)由频率分布直方图，可知，月均用水量在[0，0.5)的频率为0.08×0.5＝0.04，同理，在[0.5，1)，[1.5，2)，[2，2.5)，[3，3.5)，[3.5，4)，[4，4.5]组的频率分别为0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02.由1－(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)＝0.5×a＋0.5×a，解得a＝0.30.(2)由(1)可知，100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12.由以上样本的频率，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300000×0.12＝36000.(3)设中位数为x吨．因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73>0.5，而前4组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48<0.5，所以2≤x<2.5.由0.50×(x－2)＝0.5－0.48，解得x＝2.04.故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨．22．(12分)从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间(单位：小时)的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：组号分组频数1[0，2)62[2，4)83[4，6)174[6，8)225[8，10)256[10，12)127[12，14)68[14，16)29[16，18)2合计100(1)从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的频率；(2)求频率分布直方图中的a，b的值；(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组(只需写出结论)?【解析】(1)根据频数分布表，100名学生中，课外阅读时间不少于12小时的学生共有6＋2＋2