-新教材高中数学第13章立体几何初步2.3第1课时直线与平面平行的判定学案苏教版必修第二册

PAGEPAGE10第1课时直线与平面平行的判定【概念认知】1．直线与平面的位置关系2.直线与平面平行的判定定理【自我小测】1．下列说法正确的是()A．若直线a∥平面α，直线b∥平面α，则直线a∥直线bB．若直线a∥平面α，直线a与直线b相交，则直线b与平面α相交C．若直线a∥平面α，直线a∥直线b，则直线b∥平面αD．若直线a∥平面α，则直线a与平面α内任意一条直线都无公共点【解析】选D.A中直线a与直线b也可能异面、相交，所以不正确；B中，直线b也可能与平面α平行，所以不正确；C中，直线b也可能在平面α内，所以不正确；根据直线与平面平行的定义知D正确．2．若直线l与平面α不平行，则下列结论正确的是________．(填序号)①α内的所有直线都与直线l异面；②α内不存在与l平行的直线；③α内的直线与l相交；④直线l与平面α有公共点．【解析】①中，过公共点的直线与直线l相交，不异面，①错误；②③中，当l⊂α时，α内有无数条直线与l平行，故②③错；④中，直线l与平面α不平行，则直线l与平面α相交或在平面内，所以l与平面α有公共点，故④正确．答案：④3．若平面外一条直线上有两点到该平面的距离相等，则这条直线与平面的位置关系是________．【解析】当两点在平面的一侧时，这条直线与平面平行；当两点在平面的两侧时，这条直线与平面相交．所以这条直线与平面的位置关系是平行或相交．答案：平行或相交4．正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1【解析】如图所示，连接BD交AC于点O.在正方体中容易得到点O为BD的中点．又因为E为DD1的中点，所以OE∥BD1.又因为OE⊂平面ACE，BD1⊄平面ACE，所以BD1∥平面ACE.答案：平行5．长方体ABCD­A1B1C1D1中E为AA1的中点，F为BB1【解析】如图，因为EF∥A1B1，EF⊄平面A1B1C1D1，A1B1⊂平面A1B1C1D1，所以EF∥平面A1B1C1D1答案：36．如图，正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE，BD上各取一点P，Q，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面BCE.【证明】如图所示，在平面ABEF内过P作PM∥AB交BE于点M，在平面ABCD内过点Q作QN∥AB交BC于点N，连接MN.因为PM∥AB，所以eq\f(PM,AB)＝eq\f(PE,AE).又因为QN∥AB∥CD，所以eq\f(QN,DC)＝eq\f(BQ,BD)，即eq\f(QN,AB)＝eq\f(BQ,BD).因为正方形ABEF与ABCD有公共边AB，所以AE＝DB.因为AP＝DQ，所以PE＝BQ，所以PM＝QN.又因为PM∥AB，QN∥AB，所以PM∥QN.所以四边形PQNM为平行四边形．所以PQ∥MN.又因为MN⊂平面BCE，PQ⊄平面BCE.所以PQ∥平面BCE.【基础全面练】一、单选题1．M∈l，N∈l，N∉α，M∈α，则有()A．l∥αB．l⊂αC．l与α相交D．以上都有可能【解析】选C.由符号语言知，直线l上有一点在平面α内，另一点在α外，故l与α相交．2．下列说法正确的个数为()①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；②如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；③若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点．A．0B．1C．2D．3【解析】选B.如图所示：借助长方体模型，棱AA1所在直线上有无数个点在平面ABCD外，但棱AA1所在直线与平面ABCD相交，所以①不正确．A1B1∥AB，A1B1所在直线平行于平面ABCD，但直线AB⊂平面ABCD，所以②不正确．直线l与平面α平行，则l与α无公共点，l与平面α内所有直线都没有公共点，所以③正确．3．下列给出的四个命题，正确的个数是()(1)若直线与平面不相交，则直线与平面平行．(2)过一点有且只有一条直线与已知直线平行．(3)直线l上有无数多个点在平面α外，则l∥α.(4)过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行．A．0B．1C．2D．4【解析】选A.(1)错误，若直线与平面不相交，则直线在平面内或直线与平面平行．(2)错误，当点在已知直线上时，不存在过该点的直线与已知直线平行，故(2)错．(3)错误，直线l也可能与平面α相交．(4)错误，在棱柱的上底面内，过一点任意作一条直线都与棱柱的下底面平行，所以过平面外一点与已知平面平行的直线有无数条，故(4)错．二、多选题4．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得到AB∥平面MNP的图形是()【解析】选AD.过AB的体对角面与平面MNP平行，故A成立；D中易知AB∥NP，故D也成立．5．如图，一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内，把这块矩形木板绕AB转动，在转动的过程中，AB的对边CD与平面α的位置关系是()A.平行B．相交C．在平面α内D．以上都有可能【解析】选AC.在旋转过程中，CD∥AB，易得CD∥α或CD⊂α.三、填空题6．能保证直线a与平面α平行的条件是________(填序号).(1)b⊂α，a∥b；(2)b⊂α，c∥α，a∥b，a∥c；(3)b⊂α，A，B∈a，C，D∈b，且AC∥BD；(4)a⊄α，b⊂α，a∥b.【解析】由直线与平面平行的判定定理可知(4)正确．答案：(4)7．如图，在五面体ABCDEF中，四边形CDEF为矩形，M，N分别是BF，BC的中点，则MN与平面ADE的位置关系是________．(填“平行”或“相交”)【解析】因为M，N分别是BF，BC的中点，所以MN∥CF.又因为四边形CDEF为矩形，所以CF∥DE，所以MN∥DE.又因为MN⊄平面ADE，DE⊂平面ADE，所以MN∥平面ADE.答案：平行四、解答题8．直三棱柱ABC­A1B1C1中，D是AB的中点．证明：BC1∥平面A1【证明】如图，连接AC1交A1C于点F，则F为AC1又D是AB的中点，连接DF，则BC1∥DF.因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.9．如图，在三棱台DEFABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．求证：BD∥平面FGH.【证明】在三棱台DEFABC中，AB＝2DE，G为AC的中点，可得DF∥GC，DF＝GC，所以四边形DFCG为平行四边形，连接CD，FG.设CD∩FG＝O，则O为CD的中点．又H为BC的中点，所以OH∥BD.又OH⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，所以BD∥平面FGH.【综合突破练】一、选择题1．如图所示，已知正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是它们所在线段的中点，则满足A1F∥平面BDA．①B．①②C．②D．①②③【解析】选C.①中，平移A1F至D1F′，知D1F′与平面BD1E只有一个交点D1，则A1②中，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是它们所在线段的中点，则易知A1F∥D1E，而A1F⊄平面BD1E，D1E⊂平面BD1E，故A1③中，同①平移A1F至D1F′，知D1F′与平面BD1E只有一个交点D1，则A12．已知在棱长均为2的正三棱柱ABCA1B1C1中，点D为B1C1的中点，若在棱AB上存在一点P，使得B1P∥平面ACD，则BA．2B．eq\r(5)C．eq\r(6)D．3【解析】选B.如图，设点P为AB的中点，取A1B1的中点Q，连接AQ，DQ，则B1P∥AQ，又B1P⊄平面AQD，AQ⊂平面AQD，所以B1P∥平面AQD，易知AC∥DQ，故平面AQD与平面ACD是同一个平面，所以B1P∥平面ACD，此时B1P＝eq\r(5).3．(多选)如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，下列结论正确的是()A.OM∥PDB．OM∥平面PCDC．OM∥平面PDAD．OM∥平面PBA【解析】选ABC.对于A，由于O为BD的中点，M为PB的中点，则OM∥PD，故正确；对于B，由于OM∥PD，OM⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，则OM∥平面PCD，故正确；对于C，由于OM∥PD，OM⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，则OM∥平面PAD，故正确；对于D，由于M∈平面PAB，故错误．二、填空题4．下列说法中正确的个数是________.①平行于同一平面的两直线平行；②若直线a平行于平面α内的一条直线b，则直线a∥平面α；③若两平行直线中的一条与平面α相交，则另一条也与平面α相交；④若直线a与平面α内的无数条直线相交，则直线a在平面α内．【解析】①②④错误，③正确．答案：15．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂，CD⊄α，则CD与平面α内的直线的位置关系只能是________.【解析】由条件知CD∥α，故CD与α内的直线平行或异面．答案：平行或异面6．P是△ABC所在平面外一点，E，F，G分别是AB，BC，PC的中点，则图中与过E，F，G的截面平行的线段有________条．【解析】由题意知EF∥AC，FG∥PB，所以AC∥平面EFG，PB∥平面EFG，即有2条与平面EFG平行的线段．答案：27．在四面体A­BCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是______________．【解析】连接AM并延长交CD于E，连接BN并延长交CD于F，由重心性质可知，E，F重合为一点，且该点为CD的中点，由eq\f(EM,MA)＝eq\f(EN,NB)得MN∥AB，因此，MN∥平面ABC且MN∥平面ABD.答案：平面ABC，平面ABD三、解答题8．如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．求证：(1)EH∥平面BCD；(2)BD∥平面EFGH.【证明】(1)因为EH为△ABD的中位线，所以EH∥BD.因为EH⊄平面BCD，BD⊂平