-新教材高中数学第13章立体几何初步2.1平面的基本性质学案苏教版必修第二册

PAGEPAGE9平面的基本性质课程标准1.借助日常生活中的实物，在直观认识空间点、直线、平面的基础上，抽象出空间点、直线、平面概念．2.了解基本事实和确定平面的推论．【概念认知】1．平面(1)平面的概念平静的湖面给我们以平面的形象．和点、直线一样，平面也是从现实世界中抽象出来的几何概念．(2)平面的画法平面通常用平行四边形来表示，当平面水平放置的时候，一般用水平放置的正方形的直观图作为平面的直观图．(3)平面的表示方法平面通常用希腊字母α，β，γ等表示，也可以用平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面α、平面AC等．2．与平面有关的三个基本事实(1)基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．如图：(2)基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．空间中点、直线和平面的位置关系，可以借助集合中的符号来表示．例如，在长方体ABCD­A1B1C1D1位置关系符号表示点P在直线AB上P∈AB点C不在直线AB上C∉AB点M在平面AC内M∈平面AC点A1不在平面AC内A1∉平面AC直线AB与直线BC交于点BAB∩BC＝B直线AB在平面AC内AB⊂平面AC直线AA1不在平面AC内AA1⊄平面AC(3)基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．这样，基本事实3就可以用符号表示为eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(P∈α,P∈β))⇒α∩β＝l且P∈l.3．平面性质的三个基本事实的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．【自我小测】1．已知直线m⊂平面α，P∉m，Q∈m，则()A．P∉α，Q∈α B．P∈α，Q∉αC．P∉α，Q∉α D．Q∈α【解析】选D.因为Q∈m，m⊂α，所以Q∈α.因为P∉m，所以有可能P∈α，也可能有P∉α.故选D.2．在长方体ABCD­A1B1C1D1的所有棱中，既与AB共面，又与CC1【解析】既与AB共面又与CC1共面的棱有CD，BC，BB1，AA1，C1D1，共5条．答案：53．如图，填入相应的符号：A________平面ABC，A________平面BCD，BD________平面ABC，平面ABC∩平面ACD＝________．答案：∈∉⊄AC4．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为AB，AA1的中点．求证：CE，D1【证明】连接EF，D1C，A1因为E为AB的中点，F为AA1的中点，所以EF＝eq\f(1,2)A1B，EF∥eq\f(1,2)A1B，又因为A1B＝D1C，A1B∥D1所以EF＝eq\f(1,2)D1C，EF∥eq\f(1,2)D1C，所以E，F，D1，C四点共面，可设D1F又D1F⊂平面A1D1DA，CE⊂平面所以点P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点．又因为平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA，所以据基本事实3可得P∈DA，即CE，D1F【基础全面练】一、单选题1．点P在直线a上，直线a在平面α内可记为()A．P∈a，a⊂αB．P⊂a，a⊂αC．P⊂a，a∈αD．P∈a，a∈α【解析】选A.由点与直线的位置关系表示方法及直线与平面之间位置关系的表示可知点P在直线a上表示为P∈a，直线a在平面α内可表示为a⊂α，故A正确．2．两个平面若有三个公共点，则这两个平面()A．相交 B．重合C．相交或重合 D．以上都不对【解析】选C.若三点在同一条直线上，则这两个平面相交或重合，若三点不共线，则这两个平面重合．3．已知平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面可能的交线有()A．1条或2条 B．2条或3条C．1条或3条 D．1条或2条或3条【解析】选D.当三个平面两两相交且过同一直线时，它们有1条交线；当平面β和γ平行时，它们的交线有2条；当这三个平面两两相交且不过同一条直线时，它们有3条交线．4．如图所示，下列符号表示错误的是()A．l∈αB．P∉lC．l⊂αD．P∈α【解析】选A.观察图知：P∉l，P∈α，l⊂α，则l∈α是错误的．5．在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，若EF与HG交于点M，则()A．M一定在直线AC上B．M一定在直线BD上C．M可能在AC上，也可能在BD上D．M不在AC上，也不在BD上【解析】选A.由题意得EF⊂平面ABC，HG⊂平面ACD，又EF∩HG＝M，故M∈平面ABC，且M∈平面ACD，又平面ABC∩平面ACD＝AC，所以M一定在直线AC上．二、多选题6．以下四个命题中，不正确的命题是()A．不共面的四点中，其中任意三点不共线B．若两个平面有三个公共点，则这两个平面重合C．若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面D．依次首尾相接的四条线段必共面【解析】选BCD.A正确，可以用反证法证明，假设任意三点共线，则四个点必共面，与不共面的四点矛盾；若三点共线，则这两个平面相交或重合，B不正确；C不正确，共面不具有传递性，若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c可能异面；D不正确，因为此时所得的四边形四条边可以不在一个平面上，空间四边形的四个顶点就不共面．三、填空题7．空间中有五个点，其中有四个点在同一平面内，但没有任何三点共线，这样的五个点确定________个平面．【解析】可以想象四棱锥的5个顶点，它们总共确定7个平面．答案：78．设平面α与平面β相交于l，直线a⊂α，直线b⊂β，a∩b＝M，则M________l.【解析】因为a∩b＝M，a⊂α，b⊂β，所以M∈α，M∈β.又因为α∩β＝l，所以M∈l.答案：∈四、解答题9．如图，梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线，并说明理由．【解析】很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在交线上，由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示．因为E∈AC，AC⊂平面SAC，所以E∈平面SAC.同理，可证E∈平面SBD.所以点E在平面SBD和平面SAC的交线上，连接SE，直线SE是平面SBD和平面SAC的交线．10．一条直线与三条平行直线都相交，求证：这四条直线共面．【解析】已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：直线a，b，c，l共面．证明：方法一：因为a∥b，所以a，b确定一个平面α，因为l∩a＝A，l∩b＝B，所以A∈α，B∈α，故l⊂α.又因为a∥c，所以a，c确定一个平面β.同理可证l⊂β，所以α∩β＝a且α∩β＝l.因为过两条相交直线a，l有且只有一个平面，故α与β重合，即直线a，b，c，l共面．方法二：由法一得a，b，l共面α，也就是说b在a，l确定的平面α内．同理可证c在a，l确定的平面α内．因为过a和l只能确定一个平面，所以a，b，c，l共面．【综合突破练】一、选择题1．如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，则()A．l⊂α B．l⊄αC．l∩α＝M D．l∩α＝N【解析】选A.因为M∈a，a⊂α，所以M∈α，同理，N∈α，又M∈l，N∈l，故l⊂α.2．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1eq\f(1,3)DD1，NB＝eq\f(1,3)BB1，那么正方体过点M，N，C1的截面图形是()A．三角形 B．四边形C．五边形 D．六边形【解析】选C.在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MD＝eq\f(1,3)DD1，NB＝eq\f(1,3)BB1.如图，延长C1M交CD的延长线于点P，延长C1N交CB的延长线于点Q，连接PQ交AD于点E，交AB于点F，连接NF，ME，则正方体过点M，N，C1的截面图形是五边形．3．已知空间中有A，B，C，D，E五个点，如果点A，B，C，D在同一个平面内，点B，C，D，E在同一个平面内，那么这五个点()A．共面 B．不一定共面C．不共面 D．以上都不对【解析】选B.若B，C，D共线，则这五个点不一定共面；若B，C，D不共线，则这五个点一定共面．【误区警示】做此题容易忽略B，C，D共线的情况致错，所以考虑问题要全面．4．(多选)如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O为DB的中点，直线A1C交平面CA.C1，M，O三点共线B．C1，M，O，C四点共面C．C1，O，A，M四点共面D．D1，D，O，M四点共面【解析】选ABC.在题图中，连接A1C1，AC，则AC∩BD＝O，A1C∩平面C1BD＝M.所以三点C1，M，O在平面C1BD与平面ACC1A1所以A，B，C均正确，D不正确．【光速解题】判断点共线或者共面问题时，要看从这些点出发的直线是否相交或者平行．二、填空题5．若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是________．【解析】因为AC∥BD，所以AC与BD确定一个平面，记作平面β，则α∩β＝直线CD.因为l∩α＝O，所以O∈α.又因为O∈AB⊂β，所以O∈直线CD，所以O，C，D三点共线．答案：共线6．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1(1)平面AB1∩平面A1C1(2)平面A1C1(3)平面A1C1CA∩平面D1B1(4)平面A1C1，平面B1C，平面AB答案：(1)A1B1(2)AC(3)OO1(4)B17．下列各图均是正六棱柱，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是________．【解析】在①，②，③中，由棱柱、正六边形、中位线的性质，知均有PS∥QR，即在这三个图形中P，Q，R，S共面．答案：④三、解答题8．用符号表示下列语句，并画出图形．①平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于A，B.②点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，C不在直线AB上．【解析】①用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图．②用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C∉AB，如图．9．已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l