中考数学一轮知识复习和巩固练习考点23 圆综合复习（基础巩固） (含详解)

考向23圆综合复习【知识梳理】考点一、圆的有关概念1.圆的定义如图所示，有两种定义方式：①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，以O为圆心的圆记作⊙O，线段OA叫做半径；②圆是到定点的距离等于定长的点的集合． 方法指导：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．2.与圆有关的概念①弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦；如上图所示线段AB，BC，AC都是弦．②直径：经过圆心的弦叫做直径，如AC是⊙O的直径，直径是圆中最长的弦．③弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，如曲线BC、BAC都是⊙O中的弧，分别记作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．④半圆：圆中任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆，如SKIPIF1<0是半圆．⑤劣弧：像SKIPIF1<0这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧．⑥优弧：像SKIPIF1<0这样大于半圆周的圆弧叫做优弧．⑦同心圆：圆心相同，半径不相等的圆叫做同心圆．⑧弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．⑨等圆：能够重合的两个圆叫做等圆．⑩等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．SKIPIF1<0圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角，如上图中∠AOB，∠BOC是圆心角．SKIPIF1<0圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角，如上图中∠BAC、∠ACB都是圆周角．考点二、圆的有关性质1.圆的对称性圆是轴对称图形，经过圆心的直线都是它的对称轴，有无数条．圆是中心对称图形，圆心是对称中心，又是旋转对称图形，即旋转任意角度和自身重合．2.垂径定理①垂直于弦的直径平分这条弦，且平分弦所对的两条弧．②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．如图所示：方法指导：在图中(1)直径CD，(2)CD⊥AB，(3)AM＝MB，(4)SKIPIF1<0，(5)SKIPIF1<0．若上述5个条件有2个成立，则另外3个也成立．因此，垂径定理也称“五二三定理”．即知二推三．注意：(1)(3)作条件时，应限制AB不能为直径．3.弧、弦、圆心角之间的关系①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；②在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．4.圆周角定理及推论①圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．②圆周角定理的推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．方法指导：圆周角性质的前提是在同圆或等圆中．考点三、与圆有关的位置关系1.点与圆的位置关系如图所示．d表示点到圆心的距离，r为圆的半径．点和圆的位置关系如下表：点与圆的位置关系d与r的大小关系点在圆内d＜r点在圆上d＝r点在圆外d＞r方法指导：(1)圆的确定：①过一点的圆有无数个，如图所示．②过两点A、B的圆有无数个，如图所示．③经过在同一直线上的三点不能作圆．④不在同一直线上的三点确定一个圆．如图所示．(2)三角形的外接圆经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心．这个三角形叫做这个圆的内接三角形．三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线交点．它到三角形各顶点的距离相等，都等于三角形外接圆的半径．如图所示．2.直线与圆的位置关系①设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离，直线与圆的位置关系如下表．②圆的切线．切线的定义：和圆有唯一公共点的直线叫做圆的切线．这个公共点叫切点．切线的判定定理：经过半径的外端．且垂直于这条半径的直线是圆的切线．友情提示：直线l是⊙O的切线，必须符合两个条件：①直线l经过⊙O上的一点A；②OA⊥l．切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．切线长定义：我们把圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．③三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形，三角形的内心就是三角形三个内角平分线的交点．方法指导：找三角形内心时，只需要画出两内角平分线的交点．三角形外心、内心有关知识比较3.圆与圆的位置关系在同一平面内两圆作相对运动，可以得到下面5种位置关系，其中R、r为两圆半径(R≥r)．d为圆心距．方法指导：①相切包括内切和外切，相离包括外离和内舍．其中相切和相交是重点．②同心圆是内含的特殊情况．③圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解．④“r1－r2”时，要特别注意，r1＞r2．考点四、正多边形和圆1.正多边形的有关概念正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫正多边形的中心．外接圆的半径叫正多边形的半径，内切圆的半径叫正多边形的边心距，正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，这个角叫正多边形的中心角，正多边形的每一个中心角都等于SKIPIF1<0．方法指导：通过中心角的度数将圆等分，进而画出内接正多边形，正六边形边长等于半径．2.正多边形的性质任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两圆是同心圆．正多边形都是轴对称图形，偶数条边的正多边形也是中心对称图形，同边数的两个正多边形相似，其周长之比等于它们的边长(半径或边心距)之比．3.正多边形的有关计算定理：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形．正n边形的边长a、边心距r、周长P和面积S的计算归结为直角三角形的计算．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．考点五、圆中的计算问题1.弧长公式：SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0为n°的圆心角所对弧的长，R为圆的半径．2.扇形面积公式：SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0．圆心角所对的扇形的面积，另外SKIPIF1<0．3.圆锥的侧面积和全面积：圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆的周长．圆锥的全面积是它的侧面积与它的底面积的和．方法指导：在计算圆锥的侧面积时要注意各元素之间的对应关系，千万不要错把圆锥底面圆半径当成扇形半径．考点六、求阴影面积的几种常用方法(1)公式法；(2)割补法；(3)拼凑法；(4)等积变形法；(5)构造方程法．【专项训练】一、选择题1．如图，在⊙O中，OA＝AB，OC⊥AB，则下列结论错误的是()A．弦AB的长等于圆内接正六边形的边长B．弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长C．SKIPIF1<0D．∠BAC＝30°2．如图，⊙O的直径AB长为10，弦AC长为6，∠ACB的平分线交⊙O于D，则CD长为()A．7B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．93．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB＝6cm，OD＝4cm，则DC的长为()A．5cmB．2.5cmC．2cmD．1cm4．已知：⊙O的半径为13cm，弦AB∥CD，AB＝24cm，CD＝10cm，则AB，CD之间的距离为()A．17cmB．7cmC．12cmD．17cm或7cm5．已知⊙O1与⊙O2相交，且两圆的半径分别为2cm和3cm，则圆心距O1O2可能是（）A．1cm B．3cm C．5cm D．7cm6．一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则该圆锥的底面半径是()A．1B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0二、填空题7．在⊙O中直径为4，弦AB＝SKIPIF1<0，点C是圆上不同于A，B的点，那么∠ACB度数为________．8．如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，∠ACB＝50°，点D是SKIPIF1<0上一点，则∠D＝________．9．如图，在△ABC中，AB为⊙O的直径，∠B＝60°，∠C＝70°，则∠BOD的度数是________度．10．若两圆相切，圆心距是7，其中一圆的半径为10，则另一个圆的半径为________．11．如图，将一个圆心角为120°，半径为6cm的扇形围成一圆锥侧面（OA、OB重合），则围成的圆锥底面半径是cm．12．如图，在4×4的方格纸中(共有16个小方格)，每个小方格都是边长为1的正方形．O、A、B分别是小正方形的顶点，则扇形OAB的弧长等于________．(结果保留根号及π)三、解答题13．如图，AB为⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C，过点A作AD⊥l于点D，交⊙O于点E．（1）求证：∠CAD=∠BAC；（2）若sin∠BAC=，BC=6，求DE的长．14.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上，∠1＝∠C．(1)求证：CB∥PD；(2)若BC＝3，SKIPIF1<0，求⊙O的直径．15．如图，已知⊙O1与⊙O2都过点A，AO1是⊙O2的切线，⊙O1交O1O2于点B，连接AB并延长交⊙O2于点C，连接O2C．(1)求证：O2C⊥O1O2；(2)证明：AB·BC＝2O2B•BO1；(3)如果AB•BC＝12，O2C＝4，求AO1的长．16．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC．O是CD边的中点，以O为圆心，OC长为半径作圆，交BC边于点E．过E作EH⊥AB，垂足为H．已知⊙O与AB边相切，切点为F．(1)求证：OE∥AB；(2)求证：SKIPIF1<0；(3)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．答案与解析一、选择题

1.【答案】D；【解析】∵OA＝AB＝OB，∴∠AOB＝60°．又∵CO⊥AB，∴SKIPIF1<0．又∠BOC和∠BAC分别是SKIPIF1<0对的圆心角和圆周角，∴SKIPIF1<0．∴D错．2.【答案】B；【解析】连接AD，BD，由AB是⊙O的直径得∠ACB＝∠ADB＝90°，故∠ACD＝∠BCD＝45°，BC＝8，AD＝BD＝SKIPIF1<0．由△ACD∽△OCB，得SKIPIF1<0，即CO·CD＝6×8＝48．由△DOB∽△DBC，得SKIPIF1<0，即OD·CD＝SKIPIF1<0．∴CO·CD+OD·CD＝(CO+OD)·CD＝CD2＝98．∴SKIPIF1<0．3.【答案】D；【解析】连接AO，由垂径定理知SKIPIF1<0，所以Rt△AOD中，SKIPIF1<0．所以DC＝OC-OD＝OA-OD＝5-4＝1．4.【答案】D；【解析】如图，在Rt△OAE中，SKIPIF1<0(cm)．在Rt△OCF中，SKIPIF1<0(cm)．∴EF＝OF-OE＝12-5＝7(cm)．同理可求出OG＝12(cm)．∴EG＝5+12＝17(cm)．则AB，CD的距离为17cm或7cm．5.【答案】B；【解析】两圆半径差为1，半径和为5，两圆相交时，圆心距大于两圆半径差，且小于两圆半径和，所以，1＜O1O2＜5．符合条件的数只有B．6.【答案】C；【解析】圆锥底面的周长等于其侧面展开图半圆弧的长度，设圆锥底面圆的半径为r，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．二、填空题7．【答案】120°或60°；【解析】如图，过O作OD⊥AB于D，在Rt△ODB中，OB＝2，SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．∴∠DOB＝60°，∴∠AOB＝60°×2＝120°．如图中点C有两种情况：∴SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．8．【答案】40°；【解析】∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∴∠A＝40°，∴∠D＝∠A＝40°．9．【答案】100；【解析】在△ABC中，∠A＝180°-∠B-∠C＝180°-60°-70°＝50°，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠A＝50°，∴∠BOD＝∠A+∠ODA＝100°．10．【答案】3或17；【解析】显然两圆只能内切，设另一圆半径为r，则|r-10|＝7，∴r＝3或17．11.【答案】2；【解析】设此圆锥的底面半径为r，根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，2πr=，r=2cm．故答案为2．12．【答案】SKIPIF1<0；【解析】∠AOB＝45°+45°＝90°，OA＝SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．三、解答题13.【答案与解析】（1）证明：连接OC，∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD，∵AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠CAD=∠ACO．又∵OC=OA，∴∠ACO=∠OAC，∴∠CAD=∠OAC，即∠CAD=∠BAC．（2）过点B作BF⊥l于点F，连接BE，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°，又AD⊥l于点D，∴∠AEB=∠ADF=∠BFD=90°，∴四边形DEBF是矩形，∴DE=BF．∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCF=90°．∵∠ADC=90°，∴∠ACD+∠CAD=90°，∴∠BCF=∠CAD．∵∠CAD=∠BAC，∴∠BCF=∠BAC．在Rt△BCF中，BC=6，sin∠BCF==sin∠BAC=，∴BF==，∴DE=BF=．14.【答案与解析】(1)证明：∵SKIPIF1<0，∴∠BCD＝∠P．又∵∠1＝∠BCD，∴∠1＝∠P．∴CB∥PD．(2)解：连接AC．∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°．又∵CD⊥AB，∴SKIPIF1<0．∴∠A＝∠P，∴sinA＝sinP．在Rt△ABC中，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．又∵BC＝3，∴AB＝5，即⊙O的直径为5．15.【答案与解析】(1)证明：∵AO1是⊙O2的切线，∴O1A⊥AO2，∴∠O2AB+∠BAO1＝90°．又O2A＝O2C，O1A＝O1B，∴∠O2CB＝∠O2AB，∠O2BC＝∠ABO1＝∠BAO1．∴∠O2CB+∠O2BC＝∠O2AB+∠BAO1＝90°．∴O2C⊥O2B，即O2C⊥O1O2．(2)证明：延长O2O1，交⊙O1于点D，连接AD．∵BD是⊙O1的直径，∴∠BAD＝90°．又由(1)可知∠BO2C＝90°，∴∠BAD＝∠BO2C，又∠ABD＝∠