中考数学一轮知识复习和巩固练习考点10 锐角三角函数综合复习（能力提升） (含详解)

考向10锐角三角函数综合复习—能力提升【知识梳理】考点一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边．

锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即SKIPIF1<0；锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即SKIPIF1<0；锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即SKIPIF1<0.同理SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0．方法指导：

(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．

(2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、、常写成、、．

(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．

(4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，，，tanA＞0．考点二、特殊角的三角函数值利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下：锐角30°45°160°方法指导：

(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．

(2)仔细研究表中数值的规律会发现：

、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，

①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)，

②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．

考点三、锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．

(1)互余关系：，；

(2)平方关系：；

(3)倒数关系：或；

(4)商数关系：．

方法指导：

锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．

考点四、解直角三角形

在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.

在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.

设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：

①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).

②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.

③边角之间的关系：

，，，

，，.

④，h为斜边上的高.

方法指导：

(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知的值.

(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).

(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.考点五、解直角三角形的常见类型及解法已知条件解法步骤Rt△ABC

两

边两直角边(a，b)由求∠A，

∠B=90°－∠A，

斜边，一直角边(如c，a)由求∠A，

∠B=90°－∠A，

一

边

一

角一直角边

和一锐角锐角、邻边

(如∠A，b)∠B=90°－∠A，

，锐角、对边

(如∠A，a)∠B=90°－∠A，

，斜边、锐角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，

，方法指导：

1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.

2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.考点六、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.

解这类问题的一般过程是：

(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.

(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.

(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.

(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.

拓展：

在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：

(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.

坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.

(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.

(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.

(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.

方法指导：

1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.

2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.例如：

3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.【能力提升训练】一、选择题

1.在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝,则tanA等于()A．B．C．D．2．在Rt△ABC中，∠C=90°，把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA=．则下列关系式中不成立的是（） A．tanA•cotA=1 B．sinA=tanA•cosAC．cosA=cotA•sinAD．tan2A+cot2A=1第2题第3题3．如图，在四边形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC等于（）A．B．C．D．4．如图所示，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，现将△ABC如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则tan∠CBE的值是()A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<05．如图所示，已知∠α的终边OP⊥AB，直线AB的方程为y＝－x＋，则cosα等于()A．B．C．D．6．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的点A处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，海轮航行的距离AB长是（）A．2海里 B． 2sin55°海里 C． 2cos55°海里 D． 2tan55°海里二、填空题7．设θ为锐角，且x2＋3x＋2sinθ＝0的两根之差为．则θ＝．8．如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上，沿CE折叠矩形ABCD，使点B落在AD边上的点F处，若AB=4，BC=5，则tan∠AFE的值为.9．已知△ABC的外接圆O的半径为3，AC=4，则sinB=.第8题第9题10．当0°＜α＜90°时，求的值为．11．如图，点E（0，4），O（0，0），C（5，0）在⊙A上，BE是⊙A上的一条弦．则tan∠OBE=．12．在△ABC中，AB=12，AC=13，cos∠B=，则BC边长为.三、解答题13．如图，某仓储中心有一斜坡AB，其坡度为i=1：2，顶部A处的高AC为4m，B、C在同一水平地面上．（1）求斜坡AB的水平宽度BC；（2）矩形DEFG为长方体货柜的侧面图，其中DE=2.5m，EF=2m，将该货柜沿斜坡向上运送，当BF=3.5m时，求点D离地面的高．（≈2.236，结果精确到0.1m）14.为缓解“停车难”的问题，某单位拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的设计示意图，如图所示．按规定，地下停车库坡道1:3上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你根据该图计算CE(精确到0.1m)（sin18°≈0.3090，cos18°≈0.9511，tan18°≈0.3249）15．如图所示，某中学九年级一班数学课外活动小组利用周末开展课外实践活动，他们要在某公园人工湖旁的小山AB上，测量湖中两个小岛C、D间的距离．从山顶A处测得湖中小岛C的俯角为60°，测得湖中小岛D的俯角为45°．已知小山AB的高为180米，求小岛C、D间的距离．(计算过程和结果均不取近似值)16.在△ABC中，AB＝AC，CG⊥BA，交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图①所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．(1)在图①中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；(2)当三角尺沿AC方向平移到图②所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系；然后证明你的猜想；(3)当三角尺在②的基础上沿AC方向继续平移到图③所示的位置(点F在线段AC上，且点F与点C不重合)时，(2)中的猜想是否仍然成立?(不用说明理由)答案与解析一、选择题

1.【答案】D；【解析】在Rt△ABC中，设AC＝3k，AB＝5k，则BC＝4k，由定义可知tanA＝．故选D.2.【答案】D；【解析】根据锐角三角函数的定义，得A、tanA•cotA==1，关系式成立；B、sinA=，tanA•cosA=，关系式成立；C、cosA=，cotA•sinA=，关系式成立；D、tan2A+cot2A=（）2+（）2≠1，关系式不成立．故选D．3.【答案】B；【解析】连接BD．

∵E、F分別是AB、AD的中点．

∴BD=2EF=4

∵BC=5，CD=3

∴△BCD是直角三角形．

∴tanC=

故选B．4.【答案】C；【解析】设CE＝x，则AE＝8-x．由折叠性质知AE＝BE＝8-x．在Rt△CBE中，由勾股定理得BE2＝CE2+BC2，即(8-x)2＝x2+62，解得SKIPIF1<0，∴tan∠CBESKIPIF1<0．5.【答案】A；【解析】∵y＝－x＋，∴当x＝0时，y＝，当y＝0时，x＝1，∴A(1，0)，B，∴OB＝，OA＝1，∴AB＝＝，∴cos∠OBA＝.∴OP⊥AB，∴∠α＋∠OAB＝90°，又∵∠OBA＋∠OAB＝90°，∴∠α＝∠OBA．∴cosα＝cos∠OBA＝．故选A.6.【答案】C；【解析】如图，由题意可知∠NPA=55°，AP=2海里，∠ABP=90°．∵AB∥NP，∴∠A=∠NPA=55°．在Rt△ABP中，∵∠ABP=90°，∠A=55°，AP=2海里，∴AB=AP•cos∠A=2cos55°海里．故选C．二、填空题7．【答案】30°；【解析】x1·x2＝2sinθ，x1＋x2＝－3，则(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝9－8sinθ＝()2，∴sinθ＝，∴θ＝30°．8．【答案】；【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠D=90°，CD=AB=4，AD=BC=5，由题意得：∠EFC=∠B=90°，CF=BC=5，∴∠AFE+∠DFC=90°，∠DFC+∠FCD=90°，∴∠DCF=∠AFE，∵在Rt△DCF中，CF=5，CD=4，∴DF=3，∴tan∠AFE=tan∠DCF==．9．【答案】；【解析】连接AO并延长交圆于E，连CE．∴∠ACE=90°（直径所对的圆周角是直角）；在直角三角形ACE中，AC=4，AE=6，∴sin∠E=；又∵∠B=∠E（同弧所对的的圆周角相等），∴sinB=．10．【答案】1；【解析】由sin2α＋cos2α＝1，可得1－sin2α＝cos2α∵sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝1－sin2α．∴.∵0°＜α＜90°，∴cosα＞0．∴原式＝＝1．11．【答案】；【解析】连接EC．根据圆周角定理∠ECO=∠OBE．在Rt△EOC中，OE=4，OC=5，则tan∠ECO=．故tan∠OBE=．12．【答案】7或17；【解析】∵cos∠B=，∴∠B=45°，当△ABC为钝角三角形时，如图1，∵AB=12，∠B=45°，∴AD=BD=12，∵AC=13，∴由勾股定理得CD=5，∴BC=BD﹣CD=12﹣5=7；当△ABC为锐角三角形时，如图2，BC=BD+CD=12+5=17.三、解答题13.【答案与解析】解：（1）∵坡度为i=1：2，AC=4m，∴BC=4×2=8m．（2）作DS⊥BC，垂足为S，且与AB相交于H．∵∠DGH=∠BSH，∠DHG=∠BHS，∴∠GDH=∠SBH，∴=，∵DG=EF=2m，∴GH=1m，∴DH==m，BH=BF+FH=3.5+（2.5﹣1）=5m，设HS=xm，则BS=2xm，∴x2+（2x）2=52，∴x=m，∴DS=+=2m≈4.5m．14.【答案与解析】解：在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，∠BAD＝18°，∴SKIPIF1<0，BD＝tan∠BAD·AB＝tan18°×9，∴CD＝tan18°×9-0.5．在Rt△DCE中，∠DEC＝90°，∠CDE＝72°，