平面向量的数量积与运算律

关于平面向量的数量积与运算律第1页，共27页，2023年，2月20日，星期三物理中功的概念θsF

一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功应当怎样计算？其中力F

和位移s是向量，功是数量.是F的方向与s的方向的夹角。新课引入第2页，共27页，2023年，2月20日，星期三先看一个概念-----向量的夹角

OABabOABba当，OABba当，OABab当，记作已知a

与b

同向；a

与b

反向；a

与b

垂直.第3页，共27页，2023年，2月20日，星期三练习一：在中，找出下列向量的夹角：

ABC(1)(2)(3)第4页，共27页，2023年，2月20日，星期三平面向量的数量积的定义

（1）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定.

（3）

在运用数量积公式解题时，一定要注意两向量夹角的范围是[0°，180°]．（2）两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法，它与数的乘法是有区别的，a·b不能写成a×b

或ab.说明：

第5页，共27页，2023年，2月20日，星期三第6页，共27页，2023年，2月20日，星期三例题1：求下列向量的内积第7页，共27页，2023年，2月20日，星期三平面向量数量积的性质：（1）e·a=a·e=|a|cos

（2）a⊥ba·b=0

(判断两向量垂直的依据)

（3）当a与b同向时，a·b=|a|·|b|，当a与b反向时，a·b=-|a|·|b|

．特别地(a//

ba·

b=±|a|·

|b|)第8页，共27页，2023年，2月20日，星期三

第9页，共27页，2023年，2月20日，星期三数量积的运算律：

⑴交换律：⑵对数乘的结合律：⑶分配律：第10页，共27页，2023年，2月20日，星期三第11页，共27页，2023年，2月20日，星期三（1）

解：由题意

第12页，共27页，2023年，2月20日，星期三练习二：（1）在四边形ABCD中，AB·BC=0，且AB=DC则四边形ABCD是（）A梯形B菱形C矩形D正方形（3）在中，已知|AB|=|AC|=1，且AB·AC=，则这个三角形的形状是C±1等边三角形（2）已知向量a,b共线，且|a|=2|b|则a与b间的夹角的余弦值是。第13页，共27页，2023年，2月20日，星期三总结提炼1、向量的数量积的物理模型是力的做功；4、两向量的夹角范围是5、掌握五条重要性质：平面向量的数量积的几何意义是:a

的长度|a|与b在a的方向上的数量

|b|cos的乘积2、a

·b的结果是一个实数，它是标量不是向量。3、利用a

·b=|a|·|b|cos可求两向量的夹角，尤其是判定垂直。第14页，共27页，2023年，2月20日，星期三演练反馈××√判断下列各题是否正确：（2）、若，，则（3）、若，，则(1)、若，则任一向量，有（4）、×第15页，共27页，2023年，2月20日，星期三ABC1AB1O第16页，共27页，2023年，2月20日，星期三

在实数中，有(ab)c=a(bc)，向量中是否也有?为什么?想一想：答：没有.因为右端是与共线的向量，而左端是与共线的向量，但一般与不共线．所以，向量的数量积不满足结合律．第17页，共27页，2023年，2月20日，星期三想一想：所以，向量的数量积不满足消去律．

在实数中，若ab=ac且a0，则b=c向量中是否也有“若，则”成立呢?为什么?OABC第18页，共27页，2023年，2月20日，星期三例3已知||=6，||=4，与的夹角为60，求：解：(1)=72.第19页，共27页，2023年，2月20日，星期三

1.小结：

2.向量运算不能照搬实数运算律，交换律、数乘结合律、分配率成立；向量结合律、消去律不成立。

3.向量的主要应用是解决长度和夹角问题。第20页，共27页，2023年，2月20日，星期三运用平面向量的坐标求内积探究：设，，，分别为x轴和y轴正方向上的单位向量。１１０11第21页，共27页，2023年，2月20日，星期三平面向量内积的坐标表示即：两个向量的内积等于它们对应坐标的乘积之和.探究：利用坐标公式验证向量的模第22页，共27页，2023年，2月20日，星期三例题３：求下列向量的内积解：（１）

第23页，共27页，2023年，2月20日，星期三例题2：已知，求：

（1）

（2）

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