数学竞赛（提升篇）·函数·函数的性质课

中学生数学奥林匹克竞赛（提升篇）函数——函数的性质桐城市第八中学数学竞赛组原创旺仔数学修订江淮名师高考工作室出品2019.8函数的基本性质1，

函数的奇偶性（1）

函数的奇偶性的定义。（2）

函数的奇偶性的判断与证明。（3）

奇、偶函数图象的特征。例1．已知

（a、b为实数）且

，则

的值是（）（1993年全国高中数学联赛试题）（A）-5

（B）-3

（C）3（D）随a、b取不同值而取不同值奇函数解：

是奇函数的和，为奇函数，从而

即

，

选（C）。2，

函数的单调性（1）

函数的单调性的定义。（2）

函数的单调性的判断与证明。复合函数的单调性（3）

求函数的单调区间。

例2

如果不等式x2－＜0

在区间上恒成立，那么实数a

的取值范围是___________．数形结合的思想【讲解】设y＝x2①

y＝②当a＞1时，函数②在上取负值，因此不可能有x2＜成立．在上函数①的最大值是，在上，当0＜a＜1时，②的最小值是，在上，x2＜恒成立当0＜a＜1时，由，得∴例3、解不等式

的一切实数m都成立，求实数x的取值范围.例4设关于x的一元二次不等式

对满足

析解：为单调函数解得

3.函数的周期性

(1)定义:设函数的定义域是D，若存在非零常数T，使得对任何x∈D，都有x+T

∈D且f(x+T)=f(x)，则函数f(x)为周期函数，T为f(x)的一个周期。

定理:设函数的定义域是D，a,b为不相等的常数，若对任何x∈D，都有x+a∈D,x+b∈D,且f(x+a)=f(x+b)，则函数f(x)为周期函数，a-b为f(x)的一个周期。

(2)最小正周期:(3)定理:若T是函数f(X)的一个周期,则nT也是函数f(x)的一个周期.(n为非零整数.)4.函数图象的对称性一·中心对称：(1)奇函数的图象关于原点对称；一般地，如果方程f(x,y)=0满足f(x,y)=f(-x,-y)，则曲线f(x,y)=0关于原点对称（2）函数y=f(x)的图象关于点（a,b）对称的充要条件为：对函数定义域中的任意x均满足2b-y=f(2a-x)

(3)函数的图象关于点(a,0)对称的充要条件为:f(x)=-f(2a-x)f(a+x)=-f(a-x)(4)设函数f(x)对其定义域中的任意值x均满足f(a+x)=-f(b-x),则f(x)的图象关于点((a+b)/2,0)成中心对称.二·轴对称：

（1）偶函数的图象关于Y轴对称；

一般地，如果方程f(x,y)=0满足f(x,y)=f(-x,y)，则曲线f(x,y)=0关于Y轴对称

（2）设a是非零常数，如果对函数定义域中的任意值x均满足f(x)=f(2a-x)

f(a+x)=f(a-x)则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称。（３）设函数f(x)对其定义域中的任意值x均满足f(a+x)=f(b-x),则f(x)的图象关于直线x＝（a+b)/2对称.一般地，如果方程f(x,y)=0满足

f(x,y)=f(2a-x,y)，

则曲线f(x,y)=0关于直线x=a对称

函数图象的对称性与函数的周期性有着密切的内在联系，我们有下面的结论：命题1：如果函数的图象关于直线x=a和直线x=b(a≠b)对称，那么函数是以2(a-b)为周期的周期函数。命题2：如果函数的图象关于点(a,0)和直线x=b(a≠b)对称，那么函数是周期函数，4(a-b)为函数的一个周期。命题：如果函数的图象关于点(a,m)和直线x=b对称，那么函数是周期函数，4(a-b)为函数的一个周期。命题3：如果函数y=f(x)的图象关于点(a,0)和点(b,0)对称，那么函数y=f(x)是周期函数，2(a-b)为函数的一个周期。(a>b)命题：如果函数f(x)的图象关于两点(a,b)和(c,d)对称，那么：当a≠

c，b=d时，f(x)是周期函数，2(a-c)为函数的一个周期。当a≠c，b≠d时，f(x)不是周期函数。

例5已知函数f(x)，对任意实数x，有下面四个关系式成立：（1）f(x)=－f(x+a)（a为非零常数）；（2）f(x)=f(a－x)（a为非零常数）；（3）f(a－x)=f(b－x)（a,b为常数且a2+b2≠0）

（4）f(a－x)=－f(b－x)(a,b为常数且a2+b2≠0）其中使f(x)是周期函数的关系式是_______．

【解】考查（1），f(x)=－f(x+a)说明“两个自变量相差a，则函数值互为相反数”，于是相差2a时，函数值相等：

f(x)=－f(x+a)=f(x+2a)∴等式（1）使f(x)是周期函数，且2a是周期；

考查（2），f(x)=f(a－x)表明函数f(x)的图像关于直线对称，这不一定能使其为周期函数；考查（3），f(a－x)=f(b－x)表明自变量相差a－b时，函数值相等，即f(x)=f(a－b+x)∴等式（3）使f(x)是周期函数，且a－b是周期．

考查（4），f(a－x)=－f(b－x)表明自变量相差a－b时，函数值互为相反数，于是相差2（a－b）时，函数值相等．故（4）同（1），能使f(x)为周期函数，且2（a－b）是周期．综上所述，应填（1），（3），（4）．例6设f(x)是R上的奇函数，且f(x＋3)＝－f(x)，当0≤x≤

时，f(x)＝x，则f(2003)＝()

A.－1 B.0 C.1 D.2003

解：f(x＋6)＝f(x＋3＋3)＝－f(x＋3)＝f(x)

∴f(x)的周期为6

f(2003)＝f(6×335－1)＝f(－1)＝－f⑴＝－1

选AA小结:关于函数关系式f(a+x)=f(bx)所表示的函数性质,我们用下面的歌谣来帮助记忆:(f可念虎,X可念司)f,x同号呈周期,周期恰是a,b差;f同x异轴对称,f异x异有中心.方程坐标和折半,符号一定要小心.双重对称周期现;2倍4倍要分清.f(a+x)=±f(b±x)高考题例

例7.

已知y=loga(2-ax)在[0,1]上是x的减

函数，则a的取值范围是（

）

(A)(0,1)

(B)(1,2)

(C)(0,2)

(D)

[2,+∞)B2-ax>0恒成立例8、设0<a<1，

（1）求f(x);

（2）求证f(x)是奇函数；（3）求证f(x)在R上的增函数；解：（1）设t=logax(t∈R)则x=at(x>0)

于是

因此

（2）

∴f(x)为奇函数

（3）设—∞<x1<x2<+∞则

∵0<a<1；x1<x2-x1>-x2∴

又∵a2-1<0,a>0

∴f(x2)-f(x1)>0即f(x2)>f(x1)

因此f(x)在R上为增函数

例9、定义在R的奇函数f(x)为增函数；偶函数g(x)在区间[0,+∞)的图象与f(x)的图象重合。设a>b>0，给出下列不等式：①

f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b)

②

f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b)

③

f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a)

④f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a)其中成立的是（

）(A)①④

(B)②③

(C)①③

(D)②④由函数的奇偶性可知：f(-a)=-f(a)、f(-b)=-f(b)g(-a)=g(a)、g(-b)=g(b)而f(a)=g(a)、f(b)=g(b)故选Cg(x)f(x)例10设函数f(x),对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)，若x>0时，f(x)<0且f(1)=－2.

（1）证明：f(x)是奇函数；

（2）求f(x)在[－3，3]上的最大值和最小值.

（3）当t>2时，

不等式

恒成立，求实数k的取值范围.【思路分析】因为x∈R，由区间的特殊点，即x=0入手，是解题的出发点.【略解】（1）令x=y=0,则有f(0)=f(0)+f(0),∴f(0)=0.再令y=－x，得f(0)=f(x)+f(－x),∵f(0)=0,∴f(－x)=－f(x),∴f(x)是奇函数.（2）设x1,x2∈R，且x1<x2,则

f(x2)=f[x1+(x2－x1)]=f(x1)+f(x2－x1),∵x2>x1,∴x2－x1>0.由已知得f(x2－x1)<0,∴f(x2)<f(x1).故f(x)在R上是减函数.∴f(x)在[－3，3]上的最大值[f(x)]最大值=f(－3),最小值[f(x)]最小值=f(3).又∵f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1)+f(1)=－6,f(－3)=－f(3)=6.故f(x)在[－3，3]上的最大值为6，最小值为－6.（3）∵f(x)是R上的单调递减函数.又f(x)是奇函数.由得即,恒成立∴(k+1)2－8<0,∴－2<k+1<2,∴－1－2<k<－1+2.故使不等式恒成立的实数k的范围是（－1－2，2－1）.竞赛试题例11．（第九届希望杯）f(x)是定义域为R的奇函数，方程f(x)=0的解集为M，且M中有有限个元素，则M（

）(A)可能是

Φ

(B)元素的个数是偶数(C)元素的个数是奇数

(D)元素的个数可以是奇数，也可以是偶数5.（第十届希望杯）已知f(x)=2x-2-x-2，f(a)=0，则f(-a)的值为（

）(A)

-a-4

(B)-2

(C)-4

(D)-2aCC例12．（92全国联赛）设f(x)是定义在实数集上的函数，且满足下列关系：

f(10+x)=f(10-x),f(20-x)=-f(20+x)。

则f(x)是（

）

(A)偶函数，又是周期函数

(B)偶函数，但不是周期函数

(C)奇函数，又是周期函数

(D)奇函数，但不是周期函数C故f(-x)=f(40-x)=f[20+(20-x)]=-f[20-(20-x)]=-f(x)由f(10+x)=f(10-x),f(x)有对称轴x=10由f(20-x)=-f(20+x),f(x)有对称中心(20,0)故函数的周期为4(20-10).例13.已知函数f(x)的定义域为N，且对任意正整数x，都有f(x)＝f(x－1)＋f(x＋1)

若f(0)＝2004，求f(2004)

解：因为f(x)＝f(x－1)＋f(x＋1)

所以f(x＋1)＝f(x)＋f(x＋2)

两式相加得0＝f(x－1)＋f(x＋2)

即：f(x＋3)＝－f(x)

∴f(x＋6)＝f(x)

f(x)是以6为周期的周期函数

2004＝6×334

∴f(2004)＝f(0)＝2004例14.定义在实数集上的函数f(x)，对一切实数x都有f(x＋1)＝f(2－x)成立，若f(x)＝0仅有101个不同的实数根，那么所有实数根的和为()

A.150 B. C.152D.

解：由已知，函数f(x)的图象有对称轴x＝

于是这101个根的分布也关于该对称轴对称.

即有一个根就是3/2，其余100个根可分为50对，每一对的两根关于x＝3/2对称

利用中点坐标公式，这100个根的和等于

×100＝150

B例15．设

略解：由其对称性，f(x)+f(1-x）=1采用倒序相加法可知原式=500例16．(山东)已知

，则

的值等于

．故原式=（4×1+233）+（4×2+233）+…+(4×8+233)=2008例17.已知(3x＋y)2001＋x2001＋4x＋y＝0，求4x＋y的值.

所以