2017数学概率论与数理统计基础讲义

考研数学概率论与数理统计基础讲主讲：张宇张宇：名师，博士，著名考研数学辅导专家，教育部“国家精品课程建设骨育《入学统一考试数学考试参考书（大纲解析》编者之一，2007年斯洛文尼亚全球可持续发展大会受邀专家（15分钟主旨。首创“题源教学法”，对 TOC\o"1-1"\h\z\u第一讲如何处理复杂 第二讲如何求分布 第三讲如何求数字特征 第四讲如何使用极限定理 第五讲如何作估计 第一讲如何处理复杂为试验，并用字母E或E1,E2, 试验一定不发生的称为不可能，记为．③随机试验每一最简单、最基本的结果称为基本或样本点，记为．每次试验能为，随机A总是由若干个基本A是的子集，A些结果，如x＞10000，是不会出现的，我们甚至可以把这范围取为(也无妨．这里吸收律：若AB，则ABBABA；ABBAAB结合ABCABC)AB)CA(BC)AB ,AB B分配律A(BCABACABCABACAAB ,AB B基本(样本点)发生的可能性都一样．称随机试验(随机现象)的概率模型为古典概型如果古典概型的基本总数为n，A包含k个基本，即有利于A的基本

n【例】将nN(nNP{恰有n个盒 )发生的可能性都一样，即样本点落入的某一可度量的子区域AAA的位置及形状无关．称随机试验(随机现象)的概率模型为几何在几何概型随机试验中，如果SA是样本空间一个可度量的子区域，则A＝“样本点落入区域SA”的概率定义为PASA【例】甲、乙有约，上午9:00——10:00到校门口见面，等20分钟即离开.求P{相 ①P(A)1P(A)②P(AB)P(A)P(AB)③P(AB)P(A)P(B)P(AB)P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(AB)P(BC)P(AC)P(ABC) An(n3

An(n3)

P(Ai)P(A1A2A3 An)1[1P(Ai)] An，若对其中任意有限个Ai1,Ai2 ,Aik(k2)，都 Aik)P(Ai1)P(Ai2 P(Aik)，则称A1,A2 An相互独立P(④P(B|A)

P(

(P(A)0⑤P(AB)P(A)P(BA)；P(ABC)P(AB)P(CAB)P(A)P(BA)P(CAB)引例假设一个村子里有三个小偷，求失窃的概率P{失窃n定义：如果AiAiAj(i

j),P(Ai)0，则对任 BAiB,P(B)P(Ai)P(B|Aii i⑦n如果AiAiAj(i

P(

|B)P(Ai)P(B|Ai)(i1,2,,nP(Ai)(B|Ain【例】有甲、乙两人射击，轮流独立对同一目标射击P{甲命中}=P{乙命中.甲第二讲如何求分随 果对每一个，都有唯一的实数X()与之对应，并且对任意实数x，:X()x是随机 ，则称定义在上的实单值函数X()为随 量X．一般用大写字母X，Y，Z„或希腊字母，，„来表示随 设X是 PXx(xR)为 量X分布函数，或称X服从分布F(x)，记为 F(x) piPXxi，i1, pi．概率 pp 或X~ pp 2 量X的概率分布为piPXxi，则X的分布函F(x)P(Xx)P(Xxixi

（xxx则称X为连续型随量

F(x)f(t)dt，x01分布（两点分布 0XX~

PX1pPX01pX1P参数为p的0-1分布，记为 B(1,p)(0p1)A，A.A发生的次数记为X则PXkPXkCpkk)nk，k ,nn如果X的概率分布为pPXkCkpk(1p)nk，k ,n，0p1 则称X服从参数为(n,p)的二项分布，记为 B(n,p)如果X的概率分布为pkPXkqk1p，k1, ,n，0p1q1pXp假N件产品，M件正品，任取n件，取到k个正品的概率p

CkCPCPXk N

，k

，min(M,n)，NMnXNMnXPXk

e，k k

f(x)

axb其他，记为 U(a,bex若 f(x)

xx

（0，则称 E()f(x) f(x) 1 若 e22，x，则称 N(,2)【例】已知某设备由若干零部件组成，其中有i个(i0,1,2)非优质品零件的可能性相同.当设备有i个非优质品零件时，其使用 服从参数i1的指数分布，求设备使用XF(xf(x 如果X，Y是定义在同一个样本空间上的二个随量，则称二元总体(X,Y)二维随量(或二维随机向量)．如果X1,X2 ,Xn是定义在同一样本空间上的n随量，则称n元总体(X1,X2, ,Xn)为n维随量或n维随机向量．Xi称为第i个F(x, PXx,Yy(x,y)为二维随量(X,Y)的联合分布函数，简称为分布函数，记为(X,Y F(x,y) 如果二维随量(X,Y)只能取有限对值或可列对值(x1,y1)，(x1,y2)(xn,yn)，„．则称(X,Y)为二维离散型随量． P(Xxi,Yyj)，i,j1,为(X,Y)的概率分布或联合分布，记为(X,Y pij．联合分布常用表格形式表PXxYyPXxi,Yyj)pijX在Yy P(Yy P(YyXxPXxi,Yyj)pijYXx P(Xx 独立性：pipjpij(i,j1, )X,Y独立对于二维随量(X,Y)，如果存在非负可积函数f(x,y)，使 F(x,y)f(u,v)dudv(x,y) 则称(X,Y)为二维连续型随量fX(xfY(y)

f(x,f(x,

X,Y关于Y (xy)f(x,y)(f(y) (X在Yy条件下的条件密度X Y( f yxf(xy)f(x) YXx条件下的条件密度XY XffX(xfYyf(xyX,Y独立 U(0,1)，在Xx(0x1)的条件下，Y在(0,x)内服从均匀分布第三讲如何求数字特征

n1若 ，则EXxpn1pp

i若 f(x)，则EXxf(x)dx【注】若YgX)EY

g(xi)

设X是随量，如果E(XEX)2存在，则称E(XEX)2为X的方差，记为DXDXE(XEX)2

(xEX)2 离散 (xEX)2f 如果随量X与Y的方差DX0，DY0存在，则称E(XEX)(YEY)为随量X与Y的协方差并记为cov(X,Y).cov(X,Y)EXYEXEY若YX，则covX,Y)covXX)DXDXDX

cov(X,Y)，称为 量X与Y的相关系数EXYEXEXYEXDX 第四讲如何使用极限定理设数列Xn，n1, ，X为一 量（或a为一常数）.任给正数0，恒limPX

1（或n a1），则称 量序

lim X1,X2

,Xn

X（或a切 大数定律：假设Xn,n1是相互独立的 量序列，如果方D(Xk)(k1)存在且一致有上界，即存在常数CD(XkC(一切k1)，则Xnn1

1ni

n11ni ni伯努利大数定律：假设n是n重伯努利试验 A发生的次数，在每次试验Ap(0p1)nPp，即对任意0，有limP{|np|ε 辛钦大数定律：假设Xn,n1是独立同分布的 1 1

X，即对任意0，有lim Xi|ε}ni1

n EXDX2(n1)存在，则Xn nXi x}

1 xe2dt x 量Yn B(n,p)，(0p1,n1)，则对任意实数x，有np(1limP{Ynnpnp(1

xex/2dt第五讲如何作估设(X1,,XnXg(x1,,xnng中不含任何未知参g(X1,,Xn为样本(X1,,Xn)的一个统计量．若(x1,xn为样本值，则称g(x1,,xng(X1,,Xn的观测值．EX

xipi 11xf

(1)x 0x f(x,)

，求的矩估计量对未知参数进行估计时，在该参数可能的取值范围内选取使“样本获此观测值 ,xn)”的概率最大的参数值ˆ作为的估计，这样选定的ˆ最有利于(x1,,xn)的 ,Xn)为X的一个样本，则 ,Xn)取值为 ,xn)的概率 P{X1x1,,Xnxn}P{Xixi}P(xi,显然这个概率值是的函数，将其记

nL()L(x1,,xn;)P(x1;称L()为样本 ,xn)的似然函数．若ˆ L(x1,,xn;ˆ)maxL(x1,,xn;则称ˆˆ(x1,,xn为未知参数的最大似然估计值，而相应的统计ˆ(X1,,Xn)称为参数的极大(最大)似然估计