等边三角形第二课时

13.3.2等边三角形(第二课时)例1.如图13-3-55，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABD=30°，AB=AD，DC⊥BC于点C.若BD=2，求CD的长．典型例题精析

解：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC.又∵AB=AD，∴∠ADB=∠ABD，∴∠DBC=∠ABD=30°.∵DC⊥BC，∴∠C=90°.∵在Rt△BDC中，∠DBC=30°，BD=2，∴CD=BD=1．1．如图13-3-56，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB+BC=12cm，则AB等于()A．6cm B．7cm C．8cm D．9cmC变式练习2．如图13-3-57，△ABC是等边三角形，AD⊥ BC，DE⊥AB.若AB=8cm，则AE=

．6cm3．如图13-3-58，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E、F，∠EDF= 60°，AE=2cm，则AD=

.4cm例2.如图13-3-59，在等边三角形ABC中，AE=CD, AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q.

求证：BP=2PQ.证明：在等边三角形ABC中，AB=AC,∠BAE=∠C=60°.又∵AE=CD,∴△ABE≌△CAD,∴∠CAD=∠ABE,∴∠BPQ=∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP=∠BAE=60°.∵BQ⊥AD,∴∠PBQ=30°,∴BP=2PQ.4．如图13-3-60，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M、N在边OB上，PM=PN.若MN=2，则OM等于()A．3 B．4 C．5 D．6变式练习C5．如图13-3-61，在△ABC中，∠C=90°, ∠BAC=60°,AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E.若CE=3cm，则BE的长为

cm.66．如图13-3-62，AB=AC，∠BAC=120°，点E在AB边上，EF垂直平分AB，交BC于点F，EG⊥BC，垂足为G.若GF=4，求CF的长．解：连接AF．∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°.∵EF⊥AB，EG⊥BF，∴∠BEG+∠GEF=90°．又∵∠B+∠BEG=90°，∴∠GEF=∠B=30°，∴在Rt△GEF中，EF=2GF=8.∴在Rt△BEF中，BF=2EF=16.∵EF垂直平分AB，∴AF=BF=16，∴∠BAF=∠B=30°，∴∠FAC=120°-30°=90°.又∵∠C=30°，∴FC=2AF=32．1．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，最小边BC=4cm，最长边AB的长是()A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm基础过关精练D2．如图13-3-63，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是()A．3．5 B．4．2C．5．8 D．7D3．如图13-3-64，在△ABC中，∠C=90°，∠B= 30°，AD平分∠CAB交BC于点D，E为AB上一点，连接DE，则下列说法错误的是()A．∠CAD=30° B．AD=BDC．BD=2CD D．CD=EDD4．(2016黔南)如图13-3-65，在△ABC中，∠C= 90°，∠B=30°，AB的垂直平分线ED交AB于点E，交BC于点D.若CD=3，则BD的长为

．65．如图13-3-66，在△ABC中，AB=AC，∠BAC= 120°，D是BC的中点，DE⊥AC，则=

．6．如图13-3-67，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于点E，交BC的延长线于点F.若∠F=30°，DE=1，则BE的长是

．27．如图13-3-68，点P为△ABC的BC边上一点，且PC=2PB，∠ABC=45°，∠APC=60°，CD⊥ AP，连接BD，求∠ABD的度数．解：∵∠APC=60°，CD⊥AP，∴∠PCD=90°-∠APC=90°-60°=30°，∴PC=2PD．∵PC=2PB，∴PB=PD，∴∠PBD=∠PDB．又∵∠APC=∠PBD+∠PDB，∴∠PBD=∠APC=×60°=30°.∵∠ABC=45°，∴∠ABD=∠ABC-∠PBD=45°-30°=15°．8．如图13-3-69，在四边形ABCD中，AD=4，BC=1，∠A=30°，∠B=90°,∠ADC=120°，求CD的长.解：延长AD、BC交于点E.则∠E=180°-90°-30°=60°.∵∠CDE=180°-120°=60°,∴∠DCE=60°,∴△CED是等边三角形.设CD=x，则BE=1+x,AE=4+x.在Rt△ABE中，∠A=30°，∴AE=2BE,即4+x=2(1+x)，解得x=2,即CD的长为2.9．如图13-3-70,已知∠MON=30°,点A1、A2、A3……在射线ON上,点B1、B2、B3……在射线OM上,△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4……均为等边三角形.若OA1=1,则△A6B6A7的边长为()A．6 B．12 C．32 D．64能力提升演练C10．如图13-3-71，△ABC是等边三角形，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.若BC=2，则BE+CF=

．111．如图13-3-72，在△ABC中，AB=AC,D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC,∠EBC=∠E= 60°.若BE=6,DE=2,则BC的长度是

.812．如图13-3-73，点D是等边△ABC中BC边上一点，DE⊥AB于点E，连接AD、CE相交于点P． 若∠APE=60°，CD=1，求△ABC的边长．拓展探究训练解：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠ACB=∠B=60°，AB=AC=BC．∵∠APE=∠DAC+∠ACE=60°，∠BAC=∠DAC