专题09二次函数压轴综合问题-决胜2022年中考数学压轴题（江苏）（解析版）

决胜2022中考数学压轴题全揭秘精品(江苏专版)

专题09二次函数压轴综合问题

【例1】(2020•宿迁)

【考点1］二次函数与面积综合问题

【例1】(2020•宿迁)二次函数yno？+bx+B的图象与x轴交于A(2,0),B(6,0)两点，与y轴交于

点、C,顶点为E..

(1)求这个二次函数的表达式，并写出点E的坐标；

(2)如图①，。是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当8。的垂直平分线恰好经过点C时，求点

D的坐标；

(3)如图②，P是该二次函数图象上的一个动点，连接OP,取。尸中点Q,连接。C,QE,CE,当

△CEQ的面积为12时，求点P的坐标.

【分析•】(1)由于二次函数的图象与x轴交于A(2,0)、B(6,0)两点，把A,8两点坐标代入y=

a^+bx+3,计算出a的值即可求出抛物线解析式，由配方法求出E点坐标：

(2)由线段垂直平分线的性质可得出CB=CD,设0(4,〃7),由勾股定理可得42+(〃?-3)2=62+32.解

方程可得出答案；

1113

(3)设CQ交抛物线的对称轴于点例，设尸(〃，-no2-2〃+3),则Q(-n,-n02-n+-),设直线

4282

1-311Q19

C。的解析式为y=fcc+3,贝!jgr一九+a=丁%+3,解得4=彳九一2—水求出M(4,n-5——),ME

=〃-4一竽.由面积公式可求出"的值.则可得出答案.

【解答】解：(1)将A(2,0),B(6,0)代入丫=以2+朋什3,

徨(4Q+26+3=0

行［36。+68+3=0'

解得k=4

3=-2

二次函数的解析式为y=jx2-2A+3.

Vy=扛2-2x4-3=^(%-4)2-1,

：.E(4,-1).

(2)如图1,图2,连接C8,CD,由点C在线段3。的垂直平分线CN上，得CB=CD.

设。(4,/??),

VC(0,3),由勾股定理可得：

42+(w-3)2=62+32.

解得加=3±内.

•••满足条件的点。的坐标为(4,3+V29)或(4,3-V29).

(3)如图3,设C。交抛物线的对称轴于点M,

图3

1113

设尸(〃，-nz—2〃+3),则Q(―n,—川—九+一),

4282

131

设直线CQ的解析式为y="+3,则一九之一九+-=一成+3.

822

1Q13

解得女=彳〃-2——,于是CQ：y=(~n-2--)x+3,

4n4n

,13I?

当工=4时L，y=4(-n-2--)+3=〃-5---,

4nn

1212

：.M(4,/t-5--n),ME=77-4-n-.

S^CQE=S^CEM^-S^QEM=x•ME=^-1n-(n-4-竽)=12.

An2-4«-60=0,

解得鹿=10或/?=-6,

当〃=10时，P(10,8),当〃=-6时，P(-6,24).

综合以上可得，满足条件的点P的坐标为(10,8)或(-6,24).

【变式1・1】(2019•常州)如图，二次函数y=-/+笈+3的图象与无轴交于点A、B,与)，轴交于点。，点

A的坐标为(-1,0),点。为。。的中点，点尸在抛物线上.

(1)b=2；

(2)若点尸在第一象限，过点P作P"_L工轴，垂足为“，PH与BC、BO分别交于点M、N.是否存

在这样的点P,使得PM=MN=NH?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)若点P的横坐标小于3,过点尸作尸。，30,垂足为Q,直线尸。与x轴交于点R,且SNQB=2S

△QRB，求点尸的坐标.

y

1\1\

AaAa

(备用图)

【分析】(1)把点A坐标代入二次函数解析式即求得b的值.

(2)求点从C、O坐标，求直线8C、8。解析式.设点P横坐标为，，则能用r表示点尸、M、N、H

的坐标，进而用含f的式子表示nW、MN、NH的长.以PM=MN为等量关系列得关于/的方程，求得

,的值合理(满足「在第一象限)，故存在满足条件的点P,且求得点尸坐标.

(3)过点P作轴于F，交直线8。于E,根据同角的余角相等易证NEPQ=NO8O,所以cos

NEPQ=cosNOBD=举，即在RtZXPQE中，cosNEPQ=*=等：在RtAPF/?中，cos/RPf=靠=

0ICt3It\

竽，进而得PQ=管尸E,PR=^PF.设点P横坐标为f,可用f表示PE、PF,即得到用，表示PQ、

PR.又由SNQB=2SAQRB易得PQ=2QR.要对点尸位置进行分类讨论得到PQ与尸R的关系，即列得

关于/的方程.求得t的值要注意是否符合各种情况下/的取值范围.

【解答】解：(1)•••二次函数y=-/+加+3的图象与x轴交于点A(-1,0)

-1-%+3=0

解得：b=2

故答案为：2.

(2)存在满足条件呢的点P,使得PM=MN=NH.

•••二次函数解析式为y=-X2+2JC+3

当x=0时y=3,

：.C(0,3)

当y=0时，・/+2x+3=0

解得：xi=-LX2=3

(-1,0),B(3,0)

・・・直线BC的解析式为y=-戈+3

・・,点。为OC的中点，

3

：.D(0,一)

2

直线BO的解析式为尸一聂+,，

,22

设P设-?+2r+3)(0<r<3),则P设7+3),N设一夕+»H设0)

•*.PM=-尸+2r+3-(-f+3)=-尸+3/,MN=-7+3-(一±+&)=一3+/NH=一，+怖

:.MN=NH

•：PM=MN

-r+3t=

解得：力=；,f2=3(舍去)

115

：.P(-,—)

24

115

・•・尸的坐标为(一，—),使得PM=MN=NH.

24

(3)过点尸作轴于尸，交直线8。于E

•・・。3=3,。。=邑NBOD=90°

BD=\/OB2+OD2=岁

•/non0B32店

..cosZOBD=-^=^=-r

—

,/PQA-BD于点。，PFLx轴于点F

：.ZPQE=ZBQR=NPFR=9G°

：.ZPRF+ZOBD=ZPRF+ZEPQ=900

：.NEPQ=ZOBD,即cosNEPQ=cos/OBD=詈

在RtZ\PQE中，cos/E尸。=盎=举

：.PQ=等PE

pp2/~c

在Rt^PFRW，cos/RPF=%=W

，PR=^=与PF

11

,:SAPQB=2S&QRB，SAPQB=qBQ・PQ,SAQRB=《BQ・QR

：.PQ=2QR

设直线BD与抛物线交于点G

；一；x+*=—/+2x+3,解得：Xi—3（即点B横坐标），X2=

.♦.点G横坐标为一;

设尸（?>-P+2/+3）则E（Z,—5+授）

：.PF=\-?+2r+3|,PE=\-r+2t+3-（一$+|）|=|-?+|/+||

①若一gvr<3,则点P在直线上方，如图2,

,PF=-P+2f+3,PE=-?+|什|

,/PQ=2QR

2

：.PQ=勺PR

2y/52V5

・•・一PE=g-PF,即6PE=5PF

532

/•6（iP+今+务=5（-P+2/+3）

解得：n=2,t2=3（舍去）

：.P（2,3）

②若-1«-热则点P在x轴上方、直线80下方，如图3,

此时，PQ<。/?,即S/、PQB=2SAQRB不成立.

③若r<-1,则点尸在x轴下方，如图4,

：.PF=-（-r+2r+3）=1-2f-3,PE=-1/+|-（-?+2t+3）=r-|r-|

,;PQ=2QR

：.PQ=2PR

275V5

:.——PE=2,—PF,即2PE=5PF

52

2（、-=5（尸-2/-3）

解得：力=-g，,2=3（舍去）

413、

P（-W，Q"）

综上所述，点P坐标为（2,3）或（―寺,—掾）•

【变式1-2］（2019•无锡）已知二次函数（a>0）的图象与x轴交于A、B两点，（A在B左

侧，且。4<。8）,与y轴交于点C.

（1）求C点坐标，并判断6的正负性；

（2）设这个二次函数的图象的对称轴与直线AC相交于点。，已知£>C：CA=1：2,直线BO与），轴交

于点E,连接BC

①若△BCE的面积为8,求二次函数的解析式；

②若△8CZ）为锐角三角形，请直接写出OA的取值范围.

【分析】(1)确定C(0,-4),贝IJOAVO8,则对称轴在y轴右侧即一言＞0,即可求解；

-DCDMMC1I

(2)①过点D作DM±Oy,则一=—=—=-,DM=^AO,求出D（〃?，-6）,B（4，〃，0）、

JCAOACO22

OE=8,山％£F=界4义4机=8,即可求解；②分NCD8为锐角、当N8CO为锐角时，两种情况，分

别求解即可.

【解答】解：(1)令x=0,则y=-4,，C(0,-4),

：OA<OB,.•.对称轴在y轴右侧，即一白>。

Va>0,，6<0；

(2)①过点。作轴，

V

y

eDCDMMC1

则—=-=-=一，

CAOACO2

1

：.DM=/。，

设A(-2/??,0)/w>0,则AO=2m,DM=m

VOC=4,:・CM=2,

：.D(加,-6),B(4w,0),

~M。MEOE-6

则k

OEOE

，0E=8,

S\BEC=gx4X4m=8,

・・/72=1,

(-2,0),B(4,0),

设y=。(x+2)(x-4),

即y=a^-2ax-8a,

令x=0,则y=-8〃

：.C(0,-8a),

-8〃=-4,。=

2

..y|X-X-4；

②由①知8(4w,0)C(0,-4)D(小，-6),则NC8D一定为锐角,

CB2=16m2+16,CD2=m2+4,DB2=9m2+36,

当NCCB为锐角时,

CD2+DB2>CB2,

m2+4+9/M2+36>16m~+16,

解得-2<w<2；

当NBC。为锐角时,

CD1+CB2>DB2,

m2+4+16>+16>9/W2+36，

解得小>北蜘1V-舍）,

综上：V2<m<2,2>/2<2m<4;

故：2&V04V4.

【变式1-3］（2020•姑苏区校级二模）如图1,在平面直角坐标系中，直线）=营+2与x轴交于点A,与y

轴交于点C,二次函数）=一吴+乐+。的图象经过A、C两点，与x轴的另一交点为点艮

（1）求二次函数的表达式;

（2）当时，二次函数y=—|■x2+Z>x+c的最大值为-2加，求机的值;

（3）如图2,点。为直线AC上方二次函数图象上一动点，连接BC、CD,设直线B。交线段AC于点

图1图2

【分析】⑴抛物线产—1?+版+。经过4C两点，则［°=Txl6-4b+c,解得卜=一|,即可

(C=21c=2

求解；

(2)分mW-2.5、〃?2-1.5、-2.5<m<-1.5三种情况，利用函数的增减性即可求解；

1-)51A

(3)证明△DMES/XBNE,则SI：S=DE：BE=DM：BN=(-^/2-2a)：-=(〃+2)2+^,即

22255

可求解.

【解答】解：(1)根据题意得A(-4,0),C(0,2),

二•抛物线)=一#+历什c经过人C两点，则卜二一2'16一的+?解得(6二一公

(c=2k=2

.123q

..)=一平+2；

/22

(2)由抛物线的表达式知，抛物线的对称轴为直线x=-1,

①当ni+1<—|(/nW-2.5)时,

当x=m+l时，y=一32一±+2=一寺(m+1)2—1(加+1)+2=-2/n,解得〃2=0或-1(舍去)；

②当心一割寸，

当x=m时，y=一#—1^+2=—1/;?+2=-2m,解得m=1?(舍去)或上，亘；

③当-2.5<m<-1.5时，

当x=—，时,y=—ix~-,x+2=—ix(_,)2+,x,+2=~2m,解得m=-

乙乙乙/(乙/)乙XO

对,25十1+旧

综上，团=一去或-----；

(3)如图1,令y=0,

・・X1=14,尤2=1，

：.B(1,0),

过。作。轴交AC于M,过8作4N_Lx轴交4C于M

/.DM〃BN,

:ADMES/\BNE,

.".SI：S2=DE：BE=DM：BN,

设O(a,-%2-,4+2),

1

•\M（〃，一〃+2）,

2

•：B（1.0）,

5

・・.N（1,-）,

2

1）51o4

.".Si：S2=DM：BN=（一加2—2〃）：-=（tz+2）2+5；

2255

4

・・.当。=-2时，Si：S2的最大值是

【考点2］二次函数与相似综合问题

【例2】（2020•连云港）在平面直角坐标系宜»中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”.如

图，抛物线人尸；/一|龙-2的顶点为£>,交x轴于点A、B（点A在点8左侧），交y轴于点C.抛物

线上与L1是“共根抛物线”，其顶点为P.

（1）若抛物线上经过点（2,-12）,求上对应的函数表达式；

（2）当8P-CP的值最大时，求点P的坐标；

（3）设点。是抛物线心上的一个动点，且位于其对称轴的右侧.若△OPQ与△4BC相似，求其“共

根抛物线”上的顶点尸的坐标.

【分析】(1)由题意设抛物线Li的解析式为尸〃(x+1)(x-4),利用待定系数法求出“即可解决问题.

(2)由题意8P=AP,如图1中，当A,C,P共线时，8P-PC的值最大，此时点P为直线AC与直

线》=|的交点.

(3)山题意，顶点。(|,-奈，NPDQ不可能是直角，第一种情形：当//»。=90°时，①如图3

-1中，当△QDPsAABC时.②如图3-2中，当时.第二种情形：当N/)QP=90°.①

如图3-3中，当XPDQs△ABC时.②当ADPQs△ABC时，分别求解即可解决问题.

【解答】解：(1)当y—0时，-x^—^x-2=0,解得x=-1或4,

22

.X(-1,0),B(4,0),C(0,-2),

由题意设抛物线◎的解析式为y=4(x+l)(X-4),

把(2,-12)代入产a(x+D(x-4),

-12=-6a,

解得a=2,

二抛物线的解析式为y=2(x+1)(x-4)=2x2-6x-8.

(2):抛物线42与Li是''共根抛物线”，4(-1,0),B(4,0),

•••抛物线人上的对称轴是直线x=|,

.•.点P在直线上，

：.BP=AP,如图1中，当A,C,P共线时，BP-PC的值最大，

此时点P为直线AC与直线x=|的交点，

•；直线AC的解析式为y=--2,

3

：.P(-,-5)

2

(3)由题意，AB=5,CB=2V5,CA=V5,

:.AB2=BC2+AC2,

：.ZACB=90°,CB=2C4,

..1231z3、225

•产2X~2X~2=2(x-2)一百’

3

.•・顶点Z)(-,一等)，

由题意，/P。。不可能是直角，

第一种情形：当/。2。=90°时，

・7、八123c/25、7173.9cn—3

.・DP=■〜_TZX_2一(—)=rx一孑七+o»QP_x_7T,

228228t2

■:PD=2QP,

2x-3=菱+率解得x=号或5(舍弃)，

339

P（一,一）.

28

②如图3-2中，当△OQPs/viBC时，同法可得PQ=2PQ,

解得广第W（舍弃），

一言）.

第二种情形：当NOQP=90°.

〜,PQAC1

①如图3-3中，当△P。0s△ABC时，—=—=一,

DQBC2

过点Q作QM_LP。于M.则△QQWS/XPQQ,

.QMPQ13391139

~DQ由图37可知，1，。百丁，

"MD2

，M£>=8,MQ=4,

，。。=4倔

,DQPD,

由一=—,可得PD=10,

DMDQ

325

*（?-f）

355

；・P（一，——）.

28

②当△OPQSA4BC时，过点Q作QM_LFO于M.

21

1后

/.QM=l,。。=%

,QDPD,口5

由7777=二7?可得「。=亍

DMDQ2

35

・（一,-Q）.

28

3393214355-35

综上所述：P点坐标为-)或（?一百）或<->或<2-

【变式2-1X2019•镇江)如图，二次函数y=-/+4x+5图象的顶点为。，对称轴是直线I,一次函数)，=fx+1

的图象与x轴交于点A,且与直线DA关于1的对称直线交于点B.

(1)点。的坐标是（2,9）

(2)直线/与直线AB交于点C,N是线段0c上一点(不与点。、C重合)，点N的纵坐标为〃.过点

N作直线与线段D4、分别交于点P、Q,使得△。尸。与△D4B相似.

①当n=暂时，求OP的长;

9

②若对于每一个确定的〃的值，有且只有一个△。尸Q与/XDAB相似，请直接写出〃的取值范围

））21

【分析】(1)直接用顶点坐标公式求即可；

9c13

(2)由对称轴可知点C(2,-),A(-1,0),点A关于对称轴对称的点(万，0),借助AQ的直线解

析式求得8(5,3)；①当〃=等时，N(2,y),可求D4=竽，DN=CO=等当PQ〃A8时，

n0

△DPQs^DAB,。尸=OP=W倔当P。与AB不平行时，DP=|V5,；②当PQ〃A8,DB=DP^,

2421921

DB=3炳,DN=g所以N(2,y),则有且只有一个△OPQ与△ZM3相似时，-

【解答】解：(1)顶点为。(2,9)；

故答案为(2,9)；

(2)对称轴元=2,

9

：.C(2,-),

5

由已知可求A(一矛0),

13

点A关于x=2对称点为(一，0),

2

则4/)关于x=2对称的直线为y=-2x+13,

：.B(5,3),

,27.27

①当时，N(2,一),

b5

..9A/5p.18L八36

・・DRAA-—2~~，DNA7=-g~，CD="g~

当时，/XDPQs丛DAB,

•••△D4Cs△。「M

.DPDN

••--,

DADC

.-.DP=1V5;

当尸Q与A8不平行时，

:•△DNQS/\DCA,

・DPDQDN

…DB-DA-DC

o

DP=|V5；

综上所述，DP=^V5,DP=^>/5；

②当尸。〃AB,DB=DP时,

DB=3底

.DPDN

••—»

DADC

24

:.DN=W，

21

•\N(2,——)，

5

991

有且只有一个△£>PQ与△DAB相似时，-<n<^

5n

故答案为9:v〃<741；

【变式2-2](2020•镇江模拟)二次函数y=“(x-3)2-1的图象记为抛物线C,它与x轴交于点A(2,

0)、B,其对称轴与x轴交于点E,顶点为。，点p(m,«)在抛物线C上(异于点A、B、。).小聪

以点E为位似中心，把A、B、D、P为顶点的四边形按相似比2：1放大，并画出了过A、B、。的对

应点的抛物线G(如图)，小明认为还可以找到一条过A、B、。的对应点的抛物线C2.

(1)a=1；抛物线C2对应的函数表达式为」=(x-3)2+2；

(2)试证明：点P的对应点在抛物线Ci或C2上；(选择其中一种情形证明)

(3)设点P(1,3)落在抛物线Ci、C2上的对应点分别为P、尸2,点。在这个平面直角坐标系上，

PiQ=2g,£>。+3>2。的最小值为，遥_.(直接写出结果)

【分析】(1)利用待定系数法解决问题即可.

(2)如图1中：按照小聪的作法作出点P的对称点P.过点P(m,«)作轴，过它的对应点

户(a,b)作产NJ_x轴，M、N是垂足(如图)，想办法求出P'坐标(用机表示)，如何利用待定系数

法求解即可.

(3)如图2中，连接PQ,PD,DQ,P\Q,P】Q,由题意点P(1,3),P\(-L6),尸2(7,-6),

E(3,0),证明△PIQPSAPIAQ，推出券'二言二^，推出PQ=*QP2,推出。Q+；Q尸2=»Q+PQ

2OP,求出尸。即可解决问题.

【解答】解：(1)把点A(2,0)代入二次函数y="(x-3)2-1中，

解得〃=1,

由题意，抛物线C2的顶点(3,2),经过(1,0)和(5,0),

•1•可以假设抛物线C2的解析式为y=a(x-3)2+2,

把(1,0)代入得到。=-1,

抛物线C2：y——^[x—3)2+2.

故答案为：1,y=-*(x-3)2+2.

(2)如图1中：按照小聪的作法作出点尸的对称点P'.

图1

过点?(〃?，〃)作尸轴，过它的对应点产(a,b)作PMLx轴，例、N是垂足(如图),

/.RtAPM£^RtAPW£,相似比1：2,

二3-。=2(3-m),*-0=2(«-0),

则点P的坐标为(2m-3,2〃)，

P(m,n)在抛物线了=(x-3)2-1上，

'.n—(zn-3)2-1,即(w-3)2=〃+1,

将x=2m-3代入抛物线Ci对应的函数表达式)=号(x-3)2-2中，

则)=々(2/«-3-3)2-2=2(m-3)2-2=2(n+1)-2=2”

：.P'(2m-3,2M)在抛物线CI上.

(另一种情形的同法可证).

(3)如图2中，连接P。，PD,DQ,P\Q,P2Q，由题意点尸(1，3),P\(-1,6),Pi(7,-6),

E(3,0),

V

222222

：.P]E=V4+6=2V13,PiP=V13,P|P2=V12+8=4V13,DP=V2+4=275,

二点Q是以点Pi为圆心，PE长为半径的圆上，

.•.尸lQ2=p|p.pp2，

.hl_pip_1

,,肃一嬴=3

"：^QP\P=ZQP\P2,

：./\P\QP^^P\PIQ,

••诵―讴-1

.••PQ=初2，

1

/.。。+处P?=DQ+PQ》DP,

：.DQ+^QP2^2y/5,

...Z)Q+：P2。的最小值2b.

故答案为2V5.

【变式2-3](2020•昆山市二模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a/+6x+c(a<0)交x轴于点4,

3

B(4,0),交y轴于点C(0,2),且抛物线的对称轴经过点(,0),过点4的直线y=-x+胆交抛物

线于另一点。，点E(1,")是该抛物线上一点，连接4。，BC,BD,BE.

(1)求直线AO及抛物线的函数表达式；

(2)试问：x轴上是否存在某一点P,使得以点P,B,E为顶点的△PBE与△ABO相似？若相似，请

求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点M是直线BC上方的抛物线上一动点（不与点B,C重合），过M作交直线BC于

点N,以为直径作则。0,在直线8c上所截得的线段长度的最大值等于—七（直接写出

【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；

（2）构建方程组确定解得D的坐标，分两种情形：①若点P在点B的左侧时，②若点P在点H的右

侧，分别求解即可.

（3）设-i/n2+|/n+l）,设。与8c的另一个交点为K,连接MK,因为MN是。。'的直

径，推出NMKN=90°,推出MK_LBC,因为推出/MWK=/C5E=定值，推出例K的值

最大时，NK的值最大，求出△BCM的面积的最大值即可解决问题.

f_±=3

【解答】解：（1）由题意可得2，

（0=16a+4b+c

・•・抛物线解析式为：y=-p+fx+2；

当y=0时，0=—±/+费+29

/.XI=-1,12=4,

・••点A坐标为（7,0）,

直线AD：y=-x+m过点A,

「・0=1+〃?，

••tn—1,

・・・直线AD的解析式为y=-X-1,

⑵由『一12：3,解得「工1或忱)

(y=-2户+尹+2(y-uty--/

：.D(6,-7),

可知，ZABE=ZDAB=45°,则90°<ZABD<\35°,

VA(-1,0),B(4,0),D(6,-7),E(1,3),

：.AB=5,AD=1®BE=3®

设P(x,0),

①若点P在点8的左侧时，

•；NPBE=NBAD=45°,

(a)当时，

一PBBE

则有77=77，

DAAB

.4-x3A/2

=运

..•户万13,

13、

:・P(—,0).

7

(b)当△PBEs/^D48时，

,PBBE

则有"777="77，

ADAB

.4-X3^2

‘加二~，

・22

,・%=一丁

22

P(—1，0).

②若点尸在点8的右侧，ZPB£=135°,

V900<ZABD<\35°,

；・NPBEW/ABD,此时△尸BE与△ABO不可能相似.

综上所述，满足条件的点尸的坐标为(1一3，0)或(-等，0).

7

(3)设W5,-。+*+1),设。O与2c的另一个交点为K,连接MK,

,:MN是。0’的直径,

・・・NMKN=9(T,

：.MK±BC,

■:MN工BE,

J/NMK=/CBE=定值,

・・・MK的值最大时，NK的值最大,

■:S/\BCM=S^MCO+S八MOB-S^BOC

=5x2X亍x4义(一歹“2+亍〃+2)——x2X4

(〃7-2)2+4,

,-1<0,

.m=2时，△8CM的面积最大，最大值为4,

•MK的最大值=—

2V53

,C(0,2),E(1,3),B(4,0),

.£C=V2,BE=3瓜BC=2场,

221

.BC=EC+BE1

./CEB=/MKN=90°,

•/KMN=NCBE,

AMKNsABEC,

MKNK

BE~EC

4面

.~NK

••泰=后

.4V5

••NK~~is-

故答案为=.

【考点3】二次函数与存在性问题

【例3】(2019•盐城)如图所示，二次函数y=k(x-1)2+2的图象与一次函数)，=h-k+2的图象交于A、

8两点，点8在点A的右侧，直线A3分别与x、y轴交于C、。两点，其中kVO.

(1)求A、B两点的横坐标；

(2)若△OAB是以04为腰的等腰三角形，求上的值；

(3)二次函数图象的对称轴与x轴交于点E,是否存在实数k,使得NOQC=2NB£C,若存在，求出

%的值；若不存在，说明理由.

【分析】(1)将二次函数与一次函数联立得：&(x-1)2+2=阮-"2,即可求解；

(2)分04=48、04=08两种情况，求解即可；

(3)求出m---hjk2+11在AAHM中，tana==丹=k+7k2+1=tan/BEC=霹=k+2,

即可求解.

【解答】解：(1)将二次函数与一次函数联立得：k(x-1)2+2^kx-k+2,

解得：x=l和2,

故点A、8的坐标横坐标分别为I和2；

(2)0A=V22+1=V5,

①当。4=43时，

即：1+必=5,解得：2=土2(舍去2)；

②当。4=08时，

4+(k+2)2=5,解得：*=-1或-3；

故人的值为：7或-2或-3；

(3)存在，理由：

①当点8在x轴上方时，

过点B作BHLAE于点H,将△AH8的图形放大见右侧图形，

过点A作N/M8的角平分线交BH于点M,过点M作MNLAB于点N,过点B作BK±x轴于点K,

图中：点4(1,2)、点8(2,k+2),则HB=\,

设：HM=m=MN,贝lj8M=1-团，

贝ljAN=AH=-k,AB=Vfc2+1.NB=AB-AN,

由勾股定理得：MB2=-NB2+MN2,

即：(1-m)2—m2+(Vfc2+1+k)2.

解得：m--P-IcJk2+1,

在中，tana=喘二骂=k+\/k2+1=tanZBEC=能=k+2,

解得：k=±V3,

此时k+2>0,则-2V*V0,故：舍去正值，

故k--V3；

②当点8在x轴下方时，

同理可得：tana=喘=g=k+VFTT=tanZB£C=需=一(妤2),

解得：女=节立或言"，

—4+

此时攵+2V0,ZV-2,故舍去------,

3

故k的值为：-百或二匕7.

3

【变式3-1](2020•沐阳县模拟)如图1,在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是(3,0),并且。4=

OC=3OB,动点P在过A,B,C三点的抛物线上，

(1)求抛物线的解析式；

(2)在抛物线上是否存在点P,使得△ACP是以AC为底的等腰三角形？若存在，求出所有符合条件

的点P的坐标；若不存在，说明理由；

(3)过动点P作PE垂直于y轴于点E,交直线AC于点。，过点。作x轴的垂线，垂足为F,连接

EF,以线段Eb的中点G为圆心，以EF为直径作。G,求OG最小面积.

【分析】（1）先求出点8,点C坐标，利用待定系数法可求解析式；

（2）由题意可得0P垂直平分AC,可求直线OP解析式为），=》，联立方程组可求点P坐标；

（3）先求出直线AC解析式为：y=-x+3,设点O坐标为（"?，-,〃+3）,由勾股定理可求E产，可求

OG的面积，由二次函数的性质可求。G最小面积.

【解答】解：（1）•••点A的坐标是（3,0）,

：.OA=3,

,：OA=OC=3OB,

：.OC=3,08=1,

.•.点C(0,3),点8(-1,0),

设抛物线的解析式为：y=a(x+1)(x-3),

.'.3=-3。，

".a--1>

，抛物线解析式为：y=-（x+1）（x-3）=-7+2x+3；

（2）•••△ACP是以AC为底的等腰三角形，

：.AP=CP,

又..Q=0C,

OP是AC的垂直平分线，

'：OA=OC,N4OC=90°,OP是AC的垂直平分线,

.♦.OP平分/AOC,

二直线。尸解析式为y=x,

，一,1+V131+>/1331一同1-V13

.•.点「坐标为,—）或（—―）；

(3)如图,

•点A的坐标是(3,0),点C坐标为(0,3),

直线AC解析式为：y=-x+3,

设点。坐标为(，"，-w+3),

：.DE=\m\,DF=\-m+3\,

：.EF2=DEr+DF1=«?2+(-nz+3)2,

•.,06的面积=3所2="而+(-m+3)2六年x[2(w-5)2+?],

4,LL

2...........97r

当ni=5时，G)G最小面积为三~.

【变式3-2](2020•天宁区校级模拟)如图，已知二次函数y=-7+〃x+3的图象与x轴交于点A,点B(3,

0),交y轴于点C,点、M(m,0)是线段08上一点(与点。、8不重合)，过点M作MPLx轴，交

BC于点P,交抛物线于点Q,连接OP,CQ.

(1)求二次函数的表达式；

(2)若NCOP=NQCP,求QP的长；

(3)若△CPQ是以CP为底边的等腰三角形，点N是线段OC上一点，连接MN,求MN+/CN的最

小值.

【分析】(1)将点8的坐标代入抛物线表达式，即可求解；

OCPC

(2)证明△。尸Cs^cQP,则而=兀，BPPC2=OC-PQ,即M求解；

(3)过点C作直线/,过点M作例交于点H,交y轴于点M则点M、N为所求点，进而求解.

【解答】解：(1)将点8的坐标代入抛物线表达式得：0=-9+36+3,解得：b=2,

故抛物线的表达式为：y=-/+2x+3；

(2)对于y=-/+2x+3,令x=0,则y=3,故点C(0,3),

贝ijOB=OC=3,故NOC8=/O8C=45°,

设直线BC的表达式为：》=履+6则［上/=°,解得：｛:二二’

故直线BC的表达式为：y=-x+3,

点M的坐标为：(5，0),则点尸、。的坐标分别为：(，〃，3-，〃)、(m.-W2+2Z?J+3),

贝!|?。=(-m2+2m+3)-(3-/n)=-m2+3m；

•.•尸Q〃)，轴，

：.ZOCP=ZCPQ,

,：2C0P=4QCP,

SCsXCQP,

：.2m2=3(-m2+3m),

9

解得：〃z=0(舍去)或g,

故PQ--m2+3m=装：

(3)轴，

:.NOCP=/CPQ,

•••△CP。是以CP为底边的等腰三角形，

：.ZQCP=ZQPC,

：.ZQCP^ZPCO=45Q,

.../OCQ=90°,即CQ〃x轴，

故点C、。关于函数对称性直线x=l对称，故点。的坐标为：(2,3)；

过点C作直线/,过点M作交于点”，交)，轴于点M则点M、N为所求点,

设直线/与y轴负半轴夹角的正弦值为即sinZHCN=j=sinZNMO,则tanNM0O=?，

则NH=gcN,

：.MN+gcN=MN+NH为最小，

VVanZNMO=辛,

二设直线MH的表达式为：>'=-%+t,

将点用(2,0)的坐标代入上式并解得：f=冬

V2

故点N(0,—),

2

则CN=OC-ON=3-字,

.,.MN+^CN的最小值=用附可”=出+£CN=卜2+(空)2+£x(3-孚)=3土产.

【变式3-3](2020•清江浦区一模)如图，抛物线丫=/+公+6经过点4(-2,0),B(4,0)两点，与y

轴交于点C,点力是抛物线上一个动点，设点。的横坐标为根(l<zn<4).连接AC、BC、DB、DC.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)当△BC。的面积等于△AOC的面积时，求成的值；

(3)当〃2=3时，若点M是x轴正半轴上的一个动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样

的点M，使得以点&D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若

不存在，请说明理由.

备用图

【分析】(1)利用待定系数法可求抛物线解析式；

(2)先求出点C坐标，8C的解析式，设点。坐标为(如-蓊+*+6),则点-*+6),可

求DE的长，由面积的数量关系可列等式，即可求解；

(3)分三种情况讨论，由平行四边形的性质可求解.

【解答】解：(1)；抛物线产—+以+6经过点A(-2,0),B(4,0)两点，

.f4a—2b+6=0

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