河北省2023中考数学复习第四单元图形的初步认识与三角形第20讲锐角三角函数试题

PAGEPAGE1第20讲锐角三角函数1．(2022·天津)sin60°的值等于(C)A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),2)D.eq\r(3)2．(2022·张家口模拟)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，cosA＝eq\f(12,13)，那么tanA＝(D)A.eq\f(12,5)B.eq\f(13,12)C.eq\f(12,13)D.eq\f(5,12)3．(2022·沈阳)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，那么BC的长是(D)A.eq\f(4,3)eq\r(3)B．4C．8eq\r(3)D．4eq\r(3)4．(2022·保定模拟)如图，在4×4的正方形网格图中有△ABC，那么sin∠ABC＝(A)A.eq\f(\r(5),5)B.eq\f(2\r(5),5)C.eq\f(1,2)D.eq\f(3,4)5．如图，AC是旗杆AB上的一根拉线，测得BC＝6米，∠ACB＝50°，那么拉线AC的长为(D)A．6sin50°米B．6cos50°米C.eq\f(6,sin50°)米D.eq\f(6,cos50°)米6．(2022·绍兴)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A，D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，那么∠EAD的余弦值是(B)A.eq\f(\r(3),12)B.eq\f(\r(3),6)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(\r(3),2)7．(2022·龙岩)如图，假设点A的坐标为(1，eq\r(3))，那么sin∠1＝eq\f(\r(3),2)．8．(2022·襄阳)如图，AD是△ABC的中线，tanB＝eq\f(1,3)，cosC＝eq\f(\r(2),2)，AC＝eq\r(2).求：(1)BC的长；(2)sin∠ADC的值．解：(1)过点A作AE⊥BC于点E.∵cosC＝eq\f(CE,AC)＝eq\f(\r(2),2)，AC＝eq\r(2)，∴CE＝AE＝1.∵tanB＝eq\f(AE,BE)＝eq\f(1,3)，∴BE＝3.∴BC＝BE＋CE＝4.(2)∵AD是△ABC的中线，BC＝4，∴BD＝2.∴DE＝BE－BD＝1.∴DE＝AE，即Rt△ADE是等腰直角三角形，∠ADE＝45°.∴sin∠ADC＝sin45°＝eq\f(\r(2),2).9．(2022·邢台模拟)如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，△ABD是等边三角形．如图2，将四边形ACBD折叠，使点D与点C重合，EF为折痕，那么∠ACE的正弦值为(D)A.eq\f(\r(3)－1,7)B.eq\f(1,2)C.eq\f(4\r(3),7)D.eq\f(1,7)10．(2022·石家庄模拟)如图，∠AOB＝90°，且OA，OB分别与函数y＝－eq\f(2,x)(x＜0)，y＝eq\f(3,x)(x＞0)的图像交于A，B两点，那么tan∠OBA的值是(B)A.eq\f(2,3)B.eq\f(\r(6),3)C.eq\f(\r(6),2)D.eq\f(3,2)11．(2022·重庆)某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动，如图，在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36°，然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B处，然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D处，斜面AB的坡度(或坡比)i＝1∶2.4，那么大树CD的高度约为(参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73)(A)A．8.1米B．17.2米C．19.7米D．25.5米12．(2022·石家庄模拟)如图，点A在半径为3的⊙O内，OA＝eq\r(3)，P为⊙O上一点，当∠OPA取最大值时，PA的长等于(B)A.eq\f(3,2)B.eq\r(6)C.eq\f(\r(3),2)D．2eq\r(3)13．(2022·乐山)如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A处接到指挥部通知，在他们东北方向距离12海里的B处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东75°方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时14海里的速度沿北偏东某一方向出发，在C处成功拦截捕鱼船，求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间．解：设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为x小时，由题意得∠ABC＝45°＋75°＝120°，AB＝12，BC＝10x，AC＝14x，过点A作AD⊥CB的延长线于点D，在Rt△ABD中，AB＝12，∠ABD＝60°，∴BD＝AB·cos60°＝eq\f(1,2)AB＝6，AD＝AB·sin60°＝6eq\r(3).∴CD＝10x＋6.在Rt△ACD中，由勾股定理，得(14x)2＝(10x＋6)2＋(6eq\r(3))2，解得x1＝2，x2＝－eq\f(3,4)(不合题意，舍去)．答：巡逻船从出发到成功拦截所用时间为2小时．14．(2022·北京东城区模拟)阅读以下材料：在学习完锐角三角函数后，老师提出一个这样的问题：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝1，∠A＝α，求sin2α(用含sinα，cosα的式子表示)．聪明的小雯同学是这样考虑的：如图2，取AB的中点E，连接CE，过点C作CD⊥AB于点D，那么∠CEB＝2α，然后利用锐角三角函数在Rt△ABC中表示出AC，BC，在Rt△ACD中表示出CD，那么可以求出sin2α＝eq\f(CD,EC)＝eq\f(sinα·AC,\f(1,2))＝eq\f(sinα·cosα,\f(1,2))＝2sinαcosα.阅读以上内容，答复以下问题：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝1.(1)如图3，假设BC＝eq\f(1,3)，那么sinα＝eq\f(1,3)，sin2α＝eq\f(4\r(2),9)；(2)请你参考阅读材料中的推导思路，求出tan2α的表达式(用含sinα，cosα的式子表示)．图1图2图3解：取AB中点O，连接CO，过点C作CD⊥AB，交AB于点D.∵AC＝cosα，BC＝sinα，∴CD＝eq\f(AC·BC,AB)＝sinα·cos