《等差数列的前n项和》第2课时示范课教学PPT课件【高中数学】

等差数列的前n项和第2课时导入新课问题1

等差数列的前n项和公式是什么？若知首项、末项与项数，若知首项、公差与项数，

问题2

数列是特殊的函数，那么等差数列前n项和与函数是什么关系呢？不是！当公差为零时，它是关于n的一次型函数．具体内容等差数列｛an｝的前n项和公式与函数的关系等差数列前n项和公式又可化成式子：

当d≠0，此式可看作二次项系数为

，一次项系数为a1－

，常数项为零的二次函数式；

它的图象是抛物线

上的一群独立点．

追问：等差数列｛an｝的前n项和是不是可看成是定义域为正整数集或正整数集的子集上的二次函数？具体内容等差数列前n项和的最值（1）在等差数列｛an｝中，

（2）因为

，若d≠0，则从二次函数的角度看：

当d＞0时，Sn有最小值；当d＜0时，Sn有最大值；且n取最接近对称轴的自然数时，Sn取到最值．初步应用例1

某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多两个座位．问第1排应安排多少个座位？解答：设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位数依次排成一列，构成数列｛an｝，其前n项和为Sn．根据题意，数列｛an｝是一个公差为2的等差数列，且S20＝800．可得：a1＝21，因此，第1排应安排21个座位．由S20＝20a1＋×2＝800，

初步应用遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，建立数列模型．等差数列在实际生产生活中也有非常广泛的作用．将实际问题抽象为等差数列问题，用数学方法解决数列的问题，再把问题的解回归到实际问题中去，是用数学方法解决实际问题的一般过程．需要注意以下两点：（1）抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型．（2）深入分析题意，确定是求通项公式an，或是求前n项和Sn，还是求项数n．初步应用例2

已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn，若a1＝10，公差d＝－2，Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由．法1：由d＝－2，由a1＝10，d＝－2，可知，当n＜6时，an＞0；所以，S1＜S2＜…＜S5＝S6＞S7＞…当n＝6时，an＝0；当n＞6时，an＜0．也就是说，当n＝5或6时，Sn最大．得an＋1－an＝－2＜0，得an＝10＋（n－1）×（－2）＝－2n＋12．得an＋1＜an，所以｛an｝是递减数列．因为S5＝

［2×10＋（5－1）×（－2）］＝30，

所以Sn的最大值为30．初步应用例2

已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn，若a1＝10，公差d＝－2，Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由．法2：因为由a1＝10，d＝－2，

所以，当n取与

最接近的整数，

即5或6时，Sn最大，最大值为30．SnnO11

初步应用1．在等差数列中，求Sn的最小（大）值的方法：（1）利用通项公式寻求正、负项的分界点，则从第一项起到分界点该项的各项和为最大（小）．（2）借助二次函数的图象及性质求最值．2．寻求正、负项分界点的方法：（1）通过解不等式与解方程得到正、负项的分界点．（2）利用到y＝ax2＋bx（a≠0）的对称轴距离最近的左侧的一个正数或离对称轴最近且关于对称轴对称的两个整数对应项即为正、负项的分界点．例3

数列｛an｝的前n项和Sn＝33n－n2，初步应用（1）法一：（公式法）当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝34－2n，又当n＝1时，a1＝S1＝32＝34－2×1满足an＝34－2n．故｛an｝的通项公式为an＝34－2n．（1）求｛an｝的通项公式；（2）问｛an｝的前多少项和最大；（3）设bn＝|an|，求数列｛bn｝的前n项和Sn′．例3

数列｛an｝的前n项和Sn＝33n－n2，初步应用（1）法二：（结构特征法）由Sn＝－n2＋33n知Sn是关于n的缺常数项的二次型函数，所以｛an｝是等差数列，（1）求｛an｝的通项公式；（2）问｛an｝的前多少项和最大；（3）设bn＝|an|，求数列｛bn｝的前n项和Sn′．由Sn的结构特征知

解得a1＝32，d＝－2，所以an＝34－2n．例3

数列｛an｝的前n项和Sn＝33n－n2，初步应用（2）法一：（公式法）令an≥0，得34－2n≥0，所以n≤17，故数列｛an｝的前17项大于或等于零．又a17＝0，故数列｛an｝的前16项或前17项的和最大．（1）求｛an｝的通项公式；（2）问｛an｝的前多少项和最大；（3）设bn＝|an|，求数列｛bn｝的前n项和Sn′．例3

数列｛an｝的前n项和Sn＝33n－n2，初步应用由Sn＝－n2＋33n的图象可知：当n≤17时，an≥0，当n≥18时，an＜0，故数列｛an｝的前16项或前17项的和最大．（1）求｛an｝的通项公式；（2）问｛an｝的前多少项和最大；（3）设bn＝|an|，求数列｛bn｝的前n项和Sn′．（2）法二：（函数性质法）由y＝－x2＋33x的对称轴为x＝

．

距离

最近的整数为16，17．

例3

数列｛an｝的前n项和Sn＝33n－n2，初步应用（3）由（2）知，当n≤17时，an≥0；当n≥18时，an＜0．＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝33n－n2．（1）求｛an｝的通项公式；（2）问｛an｝的前多少项和最大；（3）设bn＝|an|，求数列｛bn｝的前n项和Sn′．所以当n≤17时，Sn′＝b1＋b2＋…＋bn例3

数列｛an｝的前n项和Sn＝33n－n2，初步应用当n≥18时，＝a1＋a2＋…＋a17－（a18＋a19＋…＋an）

（1）求｛an｝的通项公式；（2）问｛an｝的前多少项和最大；（3）设bn＝|an|，求数列｛bn｝的前n项和Sn′．＝S17－（Sn－S17）＝2S17－SnSn′＝|a1|＋|a2|＋…＋|a17|＋|a18|＋…＋|an|＝n2－33n＋544．初步应用（1）在等差数列中，求Sn的最大（小）值，其思路是找出某一项，使这项及它前面的项皆取正（负）值或零，而它后面的各项皆取负（正）值，则从第1项起到该项的各项的和为最大（小）．由于Sn为关于n的二次函数，也可借助二次函数的图象或性质求解．（2）求等差数列｛an｝前n项的绝对值之和，关键是找到数列｛an｝的正负项的分界点，然后去掉绝对值号，转化为等差数列的求和问题．课堂练习练习：教科书P24练习1、2、3、4．归纳小结等差数列前n项和Sn与二次函数的关系；等差数列前n项和Sn的最值求解．作业布置作业：教科书P25习题4.25、6、7、9．1目标检测数列｛an｝是首项为23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负．（1）求数列的公差．（3）当Sn＞0时，求n的最大值．（2）求前n项和Sn的最大值．解答：（1）由已知a6＝a1＋5d＝23＋5d＞0，a7＝a1＋6d＝23＋6d＜0，

（2）∵d＜0，又d∈Z，∴d＝－4；∴｛an｝是递减数列，又a6＞0，a7＜0，∴当n＝6时，Sn取得最大值，S6＝6×23＋

（－4）＝78；

1目标检测数列｛an｝是首项为23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负．（1）求数列的公差．（3）当Sn＞0时，求n的最大值．（2）求前n项和Sn的最大值．

所求n的最大值为12．又n∈N*，整理得：n（50－4n）＞0，（3）Sn＝23n＋

（－4）＞0，

2目标检测某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？