新高考数学一轮复习讲义5.1《平面向量的概念及线性运算》(原卷版)

§5.1平面向量的概念及线性运算最新考纲考情考向分析1.了解向量的实际背景．2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．3.理解向量的几何表示．4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.主要考查平面向量的线性运算(加法、减法、数乘向量)及其几何意义、共线向量定理，常与三角函数、解析几何交汇考查，有时也会有创新的新定义问题；题型以选择题、填空题为主，属于中低档题目．偶尔会在解答题中作为工具出现.1．向量的有关概念名称定义备注向量具有和的量；向量的大小叫做向量的(或称)平面向量是自由向量零向量长度为的向量；其方向记作0单位向量长度等于的向量非零向量a的单位向量为±eq\f(a,|a|)平行向量(共线向量)共线向量的方向或0与任一向量或共线相等向量且的有向线段两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度且方向的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律向量的加法求两个向量和的运算法则法则(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)向量的减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差法则a－b＝a＋(－b)数乘向量求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向；当λ＝0时，λa＝0(1)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(2)λ(μa)＝(λμ)a；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb3.平行向量基本定理如果a＝λb，则a∥b；反之，如果a∥b，且b≠0，则一定存在实数λ，使a＝λb.概念方法微思考1．若b与a共线，则存在实数λ使得b＝λa，对吗？2．如何理解数乘向量？3．如何理解平行向量基本定理？题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．()(2)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关．()(3)若a∥b，b∥c，则a∥c.()(4)若向量eq\o(AB,\s\up6(→))与向量eq\o(CD,\s\up6(→))是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．()(5)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．()(6)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．()题组二教材改编2．已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则eq\o(DC,\s\up6(→))＝________，eq\o(BC,\s\up6(→))＝________.(用a，b表示)3．在平行四边形ABCD中，若|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))|，则四边形ABCD的形状为________．题组三易错自纠4．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝____________.6．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝eq\f(1,2)AB，BE＝eq\f(2,3)BC.若eq\o(DE,\s\up6(→))＝λ1eq\o(AB,\s\up6(→))＋λ2eq\o(AC,\s\up6(→))(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．题型一平面向量的概念1．给出下列命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若a与b共线，b与c共线，则a与c也共线；③若A，B，C，D是不共线的四点，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，则ABCD为平行四边形；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；⑤已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中真命题的序号是________．2．给出下列四个命题：①若a∥b，则a＝b；②若|a|＝|b|，则a＝b；③若|a|＝|b|，则a∥b；④若a＝b，则|a|＝|b|，其中正确命题的个数是()A．1B．2C．3D．4题型二平面向量的线性运算命题点1向量加、减法的几何意义例1(2017·全国Ⅱ)设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则()A．a⊥b B．|a|＝|b|C．a∥b D．|a|>|b|命题点2向量的线性运算例2(1)(2019·包头模拟)在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，BE与AC的交点为F，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，则向量eq\o(BF,\s\up6(→))等于()A.eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b B．－eq\f(1,3)a－eq\f(2,3)bC．－eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b D.eq\f(1,3)a－eq\f(2,3)b(2)(2018·全国Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则eq\o(EB,\s\up6(→))等于()A.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→)) B.eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→)) D.eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))命题点3根据向量线性运算求参数例3在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2eq\r(3)，BC＝2，点E在线段CD上，若eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋μeq\o(AB,\s\up6(→))，则μ的取值范围是________．跟踪训练1(1)在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(CE,\s\up6(→))＝3eq\o(EA,\s\up6(→))，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，则eq\o(DE,\s\up6(→))等于()A.eq\f(1,3)a＋eq\f(5,12)b B.eq\f(1,3)a－eq\f(13,12)bC．－eq\f(1,3)a－eq\f(5,12)b D．－eq\f(1,3)a＋eq\f(13,12)b(2)(2018·营口模拟)在平行四边形ABCD中，E，F分别为边BC，CD的中点，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝xeq\o(AE,\s\up6(→))＋yeq\o(AF,\s\up6(→))(x，y∈R)，则x－y＝________.题型三平行向量基本定理的应用例4设两个非零向量a与b不共线．(1)若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．引申探究1．若将本例(1)中“eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b”改为“eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋mb”，则m为何值时，A，B，D三点共线？2．若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”，则k为何值？跟踪训练2已知O，A，B是不共线的三点，且eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))(m，n∈R)．(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.1．对于非零向量a，b，“a＋2b＝0”是“a∥b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋3b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝5a＋3b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝－3a＋3b，则()A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线3.如图，在正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC上的一个靠近点B的三等分点，那么eq\o(EF,\s\up6(→))等于()A.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))B.eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))C.eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up6(→))D.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))4．(2018·锦州模拟)在△ABC中，点G满足eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0.若存在点O，使得eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(BC,\s\up6(→))，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝meq\o(OB,\s\up6(→))＋neq\o(OC,\s\up6(→))，则m－n等于()A．2B．－2C．1D．－15.如图，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，则eq\o(AD,\s\up6(→))等于()A．a－eq\f(1,2)b B.eq\f(1,2)a－bC．a＋eq\f(1,2)b D.eq\f(1,2)a＋b6.如图，在△ABC中，eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，P是BN上的一点，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,11)eq\o(AC,\s\up6(→))，则实数m的值为()A.eq\f(9,11) B.eq\f(5,11)C.eq\f(3,11) D.eq\f(2,11)7．若|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2，则|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝________.8．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→))|，则△ABC的形状为________．9．若M是△ABC的边BC上的一点，且eq\o(CM,\s\up6(→))＝3eq\o(MB,\s\up6(→))，设eq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，则λ的值为________．10．(2019·包头质检)已知e1，e2为平面内两个不共线的向量，eq\o(MN,\s\up6(→))＝2e1－3e2，eq\o(NP,\s\up6(→))＝λe1＋6e2，若M，N，P三点共线，则λ＝________.11．如图所示，设O是△ABC内部一点，且eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝－2eq\o(OB,\s\up6(→))，求△ABC与△AOC的面积之比．12.如图所示，在△ABC中，D，F分别是AB，AC的中点，BF与CD交于点O，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，试用a，b表示向量eq\o(AO,\s\up6(→)).13．如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若eq\o(DE,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AD,\s\up6(→))(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2等于()A.eq\f(5,8)B.eq\f(1,4)C．1D.eq\f(5,16)14．A，B，C是圆O