幂级数测试题

11/11

第十四章

幂级数单选题:1设幂级数的收敛半径为

Ｒ

，则下列断语中正确的是（A）在上一致收敛。（B)在内某些点处非绝对收敛。(Ｃ)

的收敛半径大于

。(Ｄ）对任意的

，在上一致收敛。。2.若幂级数在处收敛，在处发散，则该级数（A）在处发散；

(B)在处收敛；(Ｃ）收敛区间为

;

（D)当时发散。

3。幂级数级数的收敛域是(Ａ）

(Ｂ）

（Ｃ）

(Ｄ)

4.若幂级数的收敛半径为R,那么(Ａ)，

（Ｂ）

，（C)，

（D)不一定存在．

5。如果能展开成

的幂级数，那么该幂级数

(A）

是

的麦克劳林级数;

（B)不一定是

的麦克劳林级数；

(C）不是

的麦克劳林级数；

（D）

是在点处的泰勒级数。6。

如果,则幂级数(A)当时,收敛;

（B）

当时,收敛；(C）

当时，发散;

(D）

当时,发散7。。设级数在

处是收敛的，则此级数在处

(A)发散；

(Ｂ)绝对收敛；

(C)条件收敛；

(D）不能确定敛散性.

8幂级数在其收敛区间的两个端点处A

全是发散的.

B。

全是收敛的Ｃ.

左端点发散，

右端点收敛。

D

左端点收敛,

右端点发散9.

函数展开成的幂级数的方法是．

10．

幂级数的收敛域为

答案:

１—10

ＤＤＢDA

ADDDＡ

填空题:１。

若幂级数在内收敛,

则应满足＿___＿＿_＿__．

2。

设幂级数的收敛半径为2,

则级数的收敛区间为_＿_＿＿＿＿＿__.

3.级数的和函数为＿＿_______.

4。

设是一等差数列

,

则幂级数收敛域是＿_＿_＿＿_＿＿_.

5．

与有相同的__＿＿＿_＿＿___。

6.

的幂级数展开式__＿__＿____＿___＿__。

７。

幂级数只有在____＿_____＿区间内才有和函数。

8。

经过逐项微分或逐项积分后幂级数________＿＿_不变．

９．

的幂级数表达式_＿＿___＿___＿_。

10.

级数

在区间_____＿_＿_收敛。

答案:

1．

.

4。(-1,１）

5.

收敛区间。

。

6.

7.

收敛.

8。

收敛半径。

9．

计算题1。

求幂级数的收敛域及和函数.

2.

求幂级数的收敛域及和函数.

３。

求幂级数的收敛半径与收敛域

（１)

4.

将函数展开为的幂级数,

并指出收敛域。

５．

求函数在x＝1处泰勒展开式．

６．

设幂级数

当

时有

且

求该幂级数的函数．

７.

将展成

x的幂级数.

８．

求幂级数的和函数.

９。

试求幂级数的收敛区域及和函数1０。

设,确定的连续区间，并求积分的值

答案：

1。

解

因

且当时级数都发散，

故该级数的收敛域为

（—1,1），

令

,

则

，。２.

解:

收敛半径，

当时,

原级数发散，

故原级数的收敛域为

（-1,1）。

设其和函数为，

3。（1)

解

记

,

由于

，

故

收敛半径R=1，

收敛区间为

(-1,1）

当时，

由于,

故级数发散，

所以该级数的收敛域为

(－1,1）。

(2）

解

记

因为

所以收敛半径Ｒ=1，

收敛域为

［－１，1].

4.

解

而

而级数与的收敛域都是

[－1，１］,

故当

时

５．

解

因

.

6。

设和函数

则

即

．

解上述关于的二阶微分方程,

得

．

7.

解

易看出

,

而

两边求导，

得

.８。

级数的和函数为

９.

由于级数在上收敛，

所以当时，有

10．

因为幂级数的收敛域是,所以在上的连续,

且可逐项积分。

。证明题：

1。

设

在内收敛，

若也收敛，

则

.

２.

设f为幂级数在

（－Ｒ,R）

上的和函数,

若f为奇函数，

则原级数仅出现奇次幂的项，

若f

为偶函数,

则原级数仅出现偶次幂的项。３.

设函数定义在

[0，1]上,

证明它在

(０,１)

满足下述方程:

4。

设

证明当

时，

级数

收敛．5．

设幂级数，的收敛半径分别为，设,证明:当时,幂级数绝对收敛。6。

设,求证：

其中

7.

设,，。证明：当时，满足方程。

8。

若幂级数的收敛半径为R（>0），

且在(或时收敛，

则级数在[0,R]（

或

[－Ｒ,0］)上一致收敛．

9。

设函数在区间内的各阶导数一致有界,即存在正数M,

对一切，

有,

证明：

对内任一点与有

．

１0。

证明:

满足方程．答案：

１.

证明:

因为当

收敛，

有

又当时,

收敛,

从而可知

在左连续，于是。

2.

，

,

当为奇函数时，

有,

从而

，

这时必有

。

当为偶函数时,

有此式当且仅当.３．证明：

设

则

。

所以

故

。0〈x<1．4.

因为

所以

，

，取极限得到

，

从而级数的收敛半径故

时,

级数收敛．5．

对于任意

,由于，所以，绝对收敛。

又所以绝对收敛.

６。

时,

，

,故

从而

7．

由于

，幂级数的收敛半径是1，所以当时,可微，且

故

即满足方程.