函数奥赛题通性训练

-1-2函性题-1-2A级选择★1若a，≠1，F(x)是一奇数，则G(x)

1a

1)是（）2（）函（）函（）奇偶函数（D）偶性a有★2设f(x)是定在实数集上的期为2的周期函数，是偶函数。已当x∈，3]f(x)=x，则x∈[-2时，f(x)的析式（）（）f(x)=x+4(B)f(x)=2-x（）f(x)=3-|x+1|(D)f(x)=2+|x+1|★．f(x)，g(x)是义在-∞，+）上的两个函，对任意实数xy满f(x＋y)+(x－y)=2f(x)g(x),若f(0)=0，不恒等0，（）f(x)g(x)都奇函（）f(x)，g(x)都是函数（）f(x)偶函数g(x)奇函数（）f(x)是函数g(x)是函数。★4函y=f(x)反数()数yf(x)在[0∞上减函数（）增数（）减数（）时增函数，有时减函数（）时增函数，有时减函数，有时常数函数。★5函与数的图象间的系是（（）于轴对称（B）关x轴称（）于线对称（D）关直线对称

上（）填空1★6函f(x)对切实数都满f(x)f()，且程f(x)=0有个实根这三个实根的是2________.★★★．设奇函数y=f(x)定义域为R，f(1)=2，对意x,x，有))当x＞12212时f(x)是函数则函数(x)在间[-3，上最大______.★8定域是实数域的函数f(x)，对意实数x都f(x)=f(x+2)则…+f(1992)+f(1994)=_____。★★★．设函数f(x)的义域(，∞，且单递增，满足f(2)=1，f(xy)=f(x)+f(y)（）明f(1)=0f(1)=0。（）f(4)（）f(x)+f(x-3)≤2，的范。（）出个符合上述要的函数。

B级★10．函数f(x)对任实数x满足f(2-x)=f(2+x)，f(7-x)=f(7+x)，且f(0)=0求：f(x)在-3030]上少有13个零点且f(x)是以10周期的函数★★★数f和fπ的小正周期分别2π和明f(x)=sinx+sinπx不是周函数12★★★．证明若函数y=f(x)在上的解关于点y)和线x=b(b＞a)皆对称，f(x)为周期数。0★★★．设f是个实数集R射到自身的数，并且对任x∈均有f(x)|≤，及f(x)ff(x)f).6证f是期函数，即存一个非零实数C，使得任何x∈，成立f(x+C)=f(x).

2200参考案2200A级★．B，G(x)是数。。当x∈[－2，1]时x+43].f(x)=f(x+22)=f(x+4)；x∈[－，2]，由于f(x)为函数∴f(x)=－x∴当x[－，0]时＝f(x－－－x＋2．．。x=0f(－－f（y将y代成，f(xy)+f(x+y)=2f(x)g(－∴g(－．A如果一个函数在反函数，那它们的单调状相同。．。(x,y－图象任意一点，则0y－a)f[a－x点2ay)在f(ax)图象上;反之也成立.0000．的图象关x

对，其中一根必，两根之是。所有实之和是5。2．xx0,0,由f(x)为函数，且(∞)上增函，故在（－∞）上也为函数且12f(2)=f(1+1)=2f(1)=4用义易知，(x)在(上增函数[，-2]上最大值是f．f(x)R的奇函数，且…=f(1994)=0，原式为。9）取，y=2，得f(2)=f(12)=f(1)+f(2).∴（）（）f(x)+f(x+3)=f[x(x-3)]≤2=f(4)所x24,但0,故＜4.（）取f(x)2B级10关于对。＝f(2+2)＝f(2－2)＝f(0)＝0,f(10)＝－＝f(4)＝，是（0，10]上少有两个零点＋＝＋＋x)f(7－3－x)f(4－x)＝＋－x)f(2－＋＝f(x)，f(x)以10为期f(－30)=f(30＋3×．综上在[，上至有个点。11．证，若周期为T，sinx＋T）＋π＋＋sinπxT2xππiios222

①存x使得0

πx2cos2

0,将

代①，sin

T

于对每个x∈RπxTsin2

由

π，0,

sin

Tππsinπ,π,,mZ,2

于k=m，盾。12．提（－a）是它的一周期，由已知(ax)