中考数学压轴题专题直角三角形的边角关系的经典综合题附详细答案

中考数学压轴题专题直角三角形的边角关系的经典综合题附详细答案一、直三角形的边关系1．如图，从地面上的点看一山坡上的电线杆，测得杆顶端点的仰角是45°，前走到达B点测得杆顶端点P和杆底端点Q的角分别是和．（）求BPQ的度数；（）该电线的度（结果精确到）备用数据：

，【答案】（）BPQ=30°；（）电线杆的高度约为9m．【解析】试题分析：1）长PQ交线AB于，根据直角三角形两锐角互余求得即可；（）PE=x米在直eq\o\ac(△,)和eq\o\ac(△,)BPE中根据三角函利用表出AE和BE根据AB=AE-BE即可列出方程求得x的，再在直eq\o\ac(△,)BQE中用三角函数求得的，则的度即可求解．试题解析：延长交直线AB于点，（）BPQ=90°-60°=30°；（）PE=x米在直eq\o\ac(△,)中，则AE=PE=x米PBE=60°BPE=30°在直eq\o\ac(△,)BPE中，BE=AB=AE-BE=6，

3PE=x米3则x-

x=6，解得：．

则3+3米．在直eq\o\ac(△,)中QE=BE=（）（3）．3PQ=PE-QE=9+3

3-（3+3）≈9米）．答：电线杆的高度约米考点：解直角三角形的应仰角俯角问题．2．如图，在O的接三角形中ACB＝，＝，作AB的垂线l交O于另一点D，足为设是

上异于A，C的个动点，射线AP交l于，接PC与，交AB于(1)求eq\o\ac(△,)；(2)若AB＝，，PD的；(3)在运过程中，设x的取值范

＝，AFD＝，与之间的函数关系式不要求写出【答案】（）明见解析；2）

；（）

.【解析】试题分析：1）用圆周角定理证APD＝，到APC＝FPD，由＝PDC，可证明结.（），，用股定理即可求得BC，的长，则由AC=2BC得，由△可求得AE，的，由

可eq\o\ac(△,)APB是腰直角三角形，从而可求得的长，eq\o\ac(△,)是等腰直角三角形求得，而求得DF的长，由（eq\o\ac(△,)△得，即可求得的.（）接BP，AD，据圆的对称性，可得，由AGP可

，由角的转换可得，eq\o\ac(△,)△可，式相乘可得结果试题解析：1）内接于圆，FPC＝，又B＝－BCE，ACE＝APD，APD＝FPC.

＋＝＋，即APC＝FPD.又＝，△PDF.（）接BP，设

，，，

.

.△ABC，

，即

.

.AB，如图，连接BP

.

，是等腰直角三角.＝45°，

.AEF是等腰直角三角.EF=AE=4.∴DF=6.，即由（eq\o\ac(△,）)△得.PD的长为（）图，连BP，，，AC=2BC，根圆的对称性，得，AB，AE，ABP＝AFD.

.

.，△DGBAGD△，

..

.

，即

.

，

.与之的函数系式为

.

考点：单动点题；2.圆周角定理3.相似三角形的判定和性质勾股定理；等直角三角形的判定和性质；垂径定理锐三角函数定义由际问题列函数关系式3．2018年12月10日，郑州市城乡规划局网站挂出《郑州都市区主城区停车场专项规划》，将停车纳入城市综合交通体系，计划到2030年在主城区新建停车泊位33.04万个，年初，某小区拟修建地下停车库，如图是停车库坡道入的设计图，其中MN是水平线，，ADDE，AB垂足分别为，，坡道的坡度为1：3，＝米，点C在上，＝米，CD是高标志屏的高度（标志牌上写有：限高米），如果进入该车库车辆的高度不能超过线段CF的，则该停车库限高多少米？（结果精确到0.1米参考数据

≈1.41

3）【答案】该停车库限高约为米．【解析】【分析】据题意得出

，即可得出tan，在eq\o\ac(△,)中，根据勾股定理可求得，即可得出的切值，再在eq\o\ac(△,)CEF中设＝，可求出x，从而得出CF＝的长．【详解】解：由题意得，BMN，A＝B，

＝

，DE，在eq\o\ac(△,)中，tan＝DE＝，又DC0.5＝，CF，+＝90°DE，A＝90°，A＝，

，FCE＝

．在eq\o\ac(△,)中，设EF＝＝x（x＞），CE＝2.5，代入得（

）＝+3x2解得x1.25，CF＝3

≈2.2，该车库限高约米【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，坡面坡角问题和勾股定理，解题的关键是坡度等于坡角的正切值．4．如图，直线y＝

+2与轴交于点，y轴于点B，抛物线y＝﹣x+bx+c经过、两，与轴的另一个交点为．（）抛物线解析式；（）据图象直接写出满足

1+2﹣+bxc的x的值范围；2（）点D为该抛物线上的一点、连结，若＝CBO求点D的标．

1211212112【答案】（）

32

；（2）当≥0或x﹣；3D点坐标为（，）（，﹣3）【解析】【分析】（）直线y＝

+2求、的标，然后根据待定系数法即可求得抛物线的解式；（）察图象找出直线在抛物线上方的x的取值范围；（）图，过D点作轴垂线，交x轴于点E，求出CO＝，＝，再＝，出tanDAC＝CBO，从而有，【详解】

DECOAE

,最分类讨论确定点的坐标．解：（）y＝

+2可：当＝时，y＝；y＝时，＝4，（﹣，）B（，），3把、的坐标代入y＝x+bx+c得2，2抛线的解析式：y

32x（）x≥0或x4时

1+2﹣+bxc2（）图，过D点作轴垂线，交x轴于点E，由

32x

令＝，解得：＝，x＝﹣CO＝，＝，设点D的坐标为（，

32m

），DAC＝CBO，＝CBO，在eq\o\ac(△,)和eq\o\ac(△,)BOC中有

DECOAEBO

，13m2m当D在x轴上方时，2m解得：＝，m＝﹣（不合题意，舍去），

112112点的标0，）．13当D在x轴下方时，2m解得：＝，m＝﹣（不合题意，舍去），点的标2，），故满足条件的D点坐标为，）（，﹣）．【点睛】本题是二次函数综合题型，主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式．解题的关键是能够熟练掌握一次函数和二次函数的有关知识解决问题，分类讨论是第（）的难点．5．在正方形中是一条对角线，点是BC上一点（不与点重），连接AE，eq\o\ac(△,)ABE沿BC方平移，使点B与点重，得eq\o\ac(△,)DCF，过点E作于点G，接，．（）图①题意补全图判线段FG与DG之的数量关系与位置关系，并证明；（）知正方的边长为，当＝60°时求BE的长．【答案】（）见解析，＝，，解析；2）BE.【解析】【分析】（）补全图形即可，②连BG，由证eq\o\ac(△,)BEGGCF得出BGGF，由正方形的对称性质得出＝，得出＝，证出＝90°，出FGDG即可，）过点作DH，AC于点H．由等腰直角三角形的质得出＝＝，直角三角形的性质得出＝＝＝，出DF＝2＝3，eq\o\ac(△,)DCF中，由勾股定理得出CF＝3，可得出结果．

【详解】解：（）补全图形如图1所，②FG＝，，由如下，连接BG如图2所，四形是方形，＝45°，＝，CEG是腰角三角形＝，GECGCE＝，＝GCF＝，由平移的性质得＝，eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)中GCF

，

CG（）＝，在方形对线上，＝，＝，＝BGE，＝，CGF+AGB＝90°，CGF＝，DGF90°，DG.（）点作，交AC于点．图3所,在eq\o\ac(△,)ADG中，DAC＝，＝＝

2，在eq\o\ac(△,)DHG中AGD＝，

GH＝

DH3

＝

2

＝6，DG＝＝6，＝＝3，在eq\o\ac(△,Rt)中，CF＝BE＝＝3．

43

＝3，【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、解直角三角形的应用等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键．6．如图，是的径，O为圆心AD、是圆的弦，且PBD延长PD交圆的切线BE于点E(1)判直线是为O的切线，并说明理由；(2)如果，3，PA的；(3)将段PD以线AD为称作对称线段，正在圆O上如图2求证：四边形为菱形．【答案】（）明见解析；2）；）证明见解.【解析】【分析】（）接，AB是圆的径可ADB=90°，进而ADO+PDA=90°，可得出直线PD为O的切线；

（）据BE是O的线，，即可求得P=30°，由PD的线，得，根据三角函数的定义求得OD，勾股定理得OP，即可得出（）据题意证PDA=PBD=ABF，AB是的直径，，设，则可表示出DAF=，，圆内接四边形的性质得出的值，可得eq\o\ac(△,)BDE是边三角形．进而证出四边形为菱形．【详解】（）线PD为O的切线，理由如下：如图，接，AB是圆的径，，，又DO=BOPBD，PBD，，PDA=90°，，点D在上直PD为O的切线；（）BEO的切线，，，P=30°，PDO的线，在eq\o\ac(△,)中，，3，

tan

ODPD

，解得OD=1，

PO

2

2，﹣﹣；（）图2，依题意得：，，PBDABF

111111111111111111PBD=ABF，AB是圆的径，，设，则DAF=，DBF=2x°，四形内接，，即90°+x+2x=180°，解得x=30°PBD=，BE、是的线，DE=BE，，是边三角形，BD=DE=BE，又﹣ADF=90°﹣，BDF是边三角形，BD=DF=BF，DE=BE=DF=BF，四形DFBE为形【点睛】本题是一道综合性的题目，考查了切线的判定和性质，圆周角定理和菱形的性质，是中档题，难度较大．7．如图，在平面直角坐标系中，直线DE交x轴点（0）交y轴点D（，40）直线：＝

+5交x轴点A，交轴点，交直线于P，过点作x轴交直线于，EF为边向右作正方形EFGH．（）边EF的；（）正方形EFGH沿线FB的方向以每秒10个位的速度匀速平移，得到正方形FG，在平移过程中边FG始终与轴直，设平移的时间为秒（t＞）．①当移到点时，求的；②当GH两点中有一点移动到直线DE上，请直接写出此正方形EFGH与重叠部分的面积．

11【答案】（）15；（）；②120；【解析】【分析】（）据已知（，）点D0，），求出直线的线解析式y=-

x+40，求出P点坐标，进而求出F点标即可；（）易求B（，），当点移到点时，t=101010=10；②F点动到F'的离是10，垂x轴向移动的距离是，点H运到直线DE上时，在eq\o\ac(△,)F'NF中

NF1MH4=，eq\o\ac(△,)中EM3

，t=4，

×(12+)×11=；当点G运动到直线DE上，在eq\o\ac(△,)F'PK中

1=，F3PK=t-3，，eq\o\ac(△,)PKG'中

t＝＝，，（15-7=120.KG3【详解】（）直线DE的线解析式y＝kx+b将点，），点D（，），

k

，

43

，by＝

x+40，直线AB与直线DE的交点P，），由题意知F（，），＝；（）易求B（，），BF＝10，当1

移动到点时＝101010＝；

②当运动到直线DE上时，F点移动的距离是t，在eq\o\ac(△,)F'NF中，

=，NF3FN，＝3t，MH'＝＝，EM＝＝﹣＝﹣，在eq\o\ac(△,)DMH'中MHEM

，

t43

，t＝，＝3MH'＝，＝)当点运到直线DE上，

；F点移动的距离是t，＝10，PF'10

﹣，在eq\o\ac(△,)F'PK中PKF3

，

PK＝3，＝﹣，在eq\o\ac(△,)PKG'中

PKt＝＝，tt＝，＝﹣7120.【点睛】本题考查一次函数图象及性质，正方形的性质；掌握待定系数法求函数解析式，利用三角形的正切值求边的关系，利用勾股定理在直角三角形中建立边之间的联系，准确确定阴影部分的面积是解题的关键．8．如图（）已知正方形在直线MN的方BC在线MN上，是BC上点，以AE为在直线MN的方作正方形AEFG．（）接GD，证eq\o\ac(△,)ABE；（）接FC观察并直接写出FCN的数（不要写出解答过程）（）图2）将图中正方形改矩形ABCD，＝6BC8，是线段上一动点（不含端点、）以AE为在直线MN的上方作矩形，顶点G恰落在射线CD上判断当点由B向C运时FCN的大小是否总保持不变，FCN的大小不变，请求出tanFCN的．FCN的小发生改变，请举例说明．【答案】（）解析；2）FCN＝理由见解析；（）点由B向运动时，FCN的大小总保持不变，FCN＝

．理由见解析.【解析】【分析】（）据三角判定方法进行证明即可．（）FHMN于H．eq\o\ac(△,)ABEEHF，到对应边相等，从而推eq\o\ac(△,)是等腰直角三角形，FCH的数可以求得了．（）法同（），结合（）（）eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)△，得出EH=AD=BC=8，由三角函数定义即可得出结论．【详解】（）明四边形ABCD和边形AEFG是正方形，AB＝，＝＝，＝EAG＝ADC＝，BAE＝DAG，＝90°＝ABE，BAE＝DAG，

eq\o\ac(△,)ADGeq\o\ac(△,)ABE中，ABEBAE

，

ADADGABE（）（）：45°，由如下：作FHMN于，图1所：则EHF＝＝ABE，AEFABE＝90°，BAEAEB＝，FEHAEB＝，＝BAE，eq\o\ac(△,)EFHeq\o\ac(△,)ABE中，ABE

，

EFEFHABE（），＝BE，＝＝BCCHBEFH，FHC＝，＝45°．（）点由B向C运时FCN的大小总保持不变，理由如下：作FHMN于，图2所：由已知可得EAG＝BAD＝AEF＝，结合（）（2）eq\o\ac(△,)EFHeq\o\ac(△,)EFH△ABE，EH＝＝BC8，CHBE

EHFHCH

；在eq\o\ac(△,)FEH中tanFCN

FHEHCH

，当由B向运动时FCN的大小总保持不变FCN＝

．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形，矩形的判定及全等三角形的判定方法等知识点的综合运用，其重点是通过证三角形全等或相似来得出线段的相等或成比例．9．如图，在平面直角坐标系中，菱形的AB在x轴，点B坐（，），点在y轴半轴上，且＝

，动点P从C出，以每秒一单位长度的速度向D点移动（点达D点时停止运动），移动时间为t秒，过点P作平行于轴直线l与菱形的其它边交于点．（）点D坐标；（）eq\o\ac(△,)OPQ面积S关的数关系式，并求出的大值；（）直线l移过程中，是否存在t值，使S＝

S

菱ABCD

？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】（）D的坐标为（10，）．2）关的函数关系式为S＝(0t220t2t10)33

，的最大值为．3）或5+7.【解析】【分析】（）eq\o\ac(△,)BOC中求根菱形性质再求D的坐标；（）分两种情况分析当0t时和当4＜≤10时，根据面积公式列出解析式，再求函数的最值；3）两种情况分析：当t时，4t＝，当4＜≤10时，【详解】

tt

ABCD菱形ABCD菱形解：（）eq\o\ac(△,Rt)BOC中BOC90°，OB＝，B＝OBB

，OC

2

OB

2

四形为形，x轴点的标，）（）AB＝＝，的坐标为（﹣，0，点A的标为（，）．分两种情况考虑，如图1所．①当0≤4时，PQ＝＝，OQ＝t，S＝

OQ＝t，＞，当＝时，取得最大值，最大值为16；②当4t时，设直线AD的析式为y＝kx（k），将（，），D10，）入y＝+b，：10k

k，解得：，16b3直的解析式为

x

．当＝时

y

t

，4t)33

PQtt32QStt(2,3

当＝时S取最值，最大值为

．(0t综上所述：关t的数关系式为＝220t2t10)33（）＝OC．当0t时，t＝，解得：＝；

，的最大值为．

1212当4＜≤10时，

t2t3

＝，解得：＝﹣（舍去），＝

7．综上所述：在直线l移过程中，存值，使＝

菱A

，的值为3或5+7．【点睛】考核知识点：一次函数和二次函数的最值问数结合，分类讨论是关.10．有一个Z型工件（工件厚度忽略不计），如图所示，其中为20cm，为60cm，ABC＝，＝，该工件如图摆放时的高度（即到CD的距离）．（结果精确到m，参考据：

≈1.73）【答案】工件如图摆放时的高度约为61.9．【解析】【分析】过点A作AP于，交BC于，由CQP＝AQB、CPQ＝B＝A＝＝eq\o\ac(△,)ABQ中得分别求得AQBQ的，结合BC知CQ的长，eq\o\ac(△,)CPQ中可得，据＝+PQ得出答案．【详解】解：如图，过点A作CD于点P，交BC于，

＝，CPQ＝B＝，A＝C＝60°，eq\o\ac(△,)ABQ中＝BQ＝tan＝＝

（）（），＝﹣＝20

（）eq\o\ac(△,)CPQ中PQ＝sin＝60﹣20

）301）cm，AP＝+PQ＝（﹣）（）答：工件如图摆放时的高度约为61.9．【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义求得相关线段的长度是解题的关键．11．图，某次中“海联”潜演习中，我军舰测潜艇的角为30°．于军舰A正上方1000米的反潜直升机侧得潜艇C的角为68°试根据以上数据求出潜艇