2023届高考数学专题（二次函数与一元二次方程、不等式）练习（共2套附答案）

2023届高考数学专题（二次函数与一元二次方程、不等式）练习（一）

题型一解含有参数的一元二次不等式

1.已知不等式ax-3x+2>0的解集为{m:VI或x>b}

（1）求。、b\

（2）解关于x的不等式+（ac+b）x+bcVO.

2.已知函数f（x）=x2-5ax+6/（。eH）.

（1）解关于x的不等式

（2）若关于x的不等式/（x）之2a的解集为*|%之4或xWl},求实数。的值.

3.已知ox?_（q+i）x+i<o,求不等式的解集

题型二由一元二次不等式的解确定参数

1.不等式及一版+。>0的解集为{刈-2<工<1},则函数户江+乐+^的图像大致为（）

小—x—2〉0

2.若不等式组2人(5+协+弘<。的整数解只有一2,则人的取值范围是.

3.设函数/(x)=ar2+(b-2)x+3(a#0).

(1)若不等式/(x)>0的解集(fl),求。，6的值;

(2)若/⑴=2,

14

①。>0,b>0,求一+二的最小值；

ab

。若/(x)>l在火上恒成立，求实数。的取值范围.

4.若关于x的不等式(1—a)X?—4x+6<0的解集是{x|xv—3或x>1}.

(1)求实数。的值：

(2)解关于x的不等式2x?+(2—a)x—a>0.

5.关于x的不等式机X2-2X+W<0,其中加为大于0的常数.

(1)若不等式的解集为0,求实数〃，的取值范围；

(2)若不等式的解集为/,且/中恰好含有三个整数，求实数机的取值范围.

题型三一元二次方程根的分布问题

1.若实数〃为方程/一2蛆+加+6=0的两根，则（"Ip+（夕-Ip的最小值为（）

49

A.8B.14C.-14D.——

4

2.若关于x的方程f+（机-i）x+〃/-2=0的一个实根小于-1,另一个实根大于1,则实数机的取值范

围是（）

A.{加卜2c机<2}B.{〃？卜2<加<0}

C.（w|-2<m<D.1w|0</«<1!

3.已知关于x的方程x?+（加-3）x+m=0,下列结论正确的是（）

A.方程/+（川-3”+阳=0有实数根的充要条件是机e上引机<1,或机>9}

B.方程x2+（/n-3）x+机=0有一正一负根的充要条件是加€{加何<0}

C.方程x?+（机-3）x+w=0有两正实数根的充要条件是〃?e{m|0<〃?41}

D.方程/+（刃-3.+机=0无实数根的必要条件是〃7«〃切>1}

E.当加=3时，方程的两实数根之和为（）

4.若方程无x2-（2k+3）x+4左+2=0的根满足下列条件，分别求出实数％的取值范围.

（1）方程两实根均大于1;

（2）方程有一根比1大，一根比1小.

5.已知关于x的一元二次方程f+（2加-1）》+疝-3=0有实数根.

（1）求实数机的取值范围；

（2）当机=2时,方程的根为g,求代数式（x；+2网）冠+4X2+2）的值.

题型四一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系

1.若关于x的不等式+有解，则实数m的取值范围是

A.{加|私,-2或〃?..2}B.{用卜2釉z2}

C.伽|祖<一2或》?>2}D.{w|-2<m<2}

2.已知函数夕=/+3+6(。>0)有且只有一个零点，则()

A.a2-h2<4

B.a2+->4

b

C.若不等式—+6-6<0的解集为卜归<》<&}(x,<x2),则玉々>0

D.若不等式/+分+6<<?的解集为卜|再<、<々卜(x。2),且|西-々|=4,贝ljc=4

3.已知函数^=(/-1卜2+(a+l)x+l

(1)若对任意x,有夕>0,求实数”的取值范围；

(2)若产能取到不小于0的任意值，求实数。的取值范围.

4.若关于x的不等式办2+加+c>0的解集为卜卜3<x<4},求关于x的不等式阮2+2ax-c-36<0的解

集.

5.已知三个不等式：①|21|<5-h。7T。2八『1<0.

(1)若同时满足①、②的x值也满足。，求机的取值范围：

(2)若满足。的x值至少满足①和②中的一个，求机的取值范围.

答案解析

题型一解含有参数的一元二次不等式

1.已知不等式ax2-3x+2>0的解集为｛斗¥<1或

(1)求a、b：

(2)解关于x的不等式Q，+(ac+b)x+hc<0.

【答案】(1)2,(2)见解析

【解析】(1)由题意知〃>0且1,b是方程0?一3工+2=0的根,

\+b=-

所以《a，解得a=l,b=2.

h=—

(2)不等式可化为x2+(c+2)x+2c>0,即(x+c)(x+2)>0.

当-c<-2,即c>2时，不等式的解集为“|-CYX<-2｝,

当-c=-2,即c=2时，不等式的解集为“1X*-2｝,

当-c>-2,即c<2时，不等式的解集为｛x|-2<x<-c｝.

2.已知函数/(x)=x?-5ax+66(qeR).

(1)解关于x的不等式/(x)<0；

(2)若关于X的不等式f(x)±2a的解集为｛x|xN4或求实数。的值.

【答案】(1)。当。=0时，不等式的解集为0：

②当。>0时,由3a>2。,则不等式的解集为(2a,3a)；

③当。<0•时，由3a<2。，则不等式的解集为(3a,2a)；

(2)a=l

【解析】(1)不等式可化为：(x-2G(x—3a)<0.

①当”=0时，不等式的解集为0：

②当”>0时，由3。>2“，则不等式的解集为(2a,3。)；

③当“<0时，由3a<2*则不等式的解集为(3“,2”)：

(2)不等了(X)22a可化为：x2-5ax+6a2-2a>0.

由不等式/(x)22a的解集为｛x|x>4或r<1｝可知，1和4是方程x?-5ax+6a*—2a=0的两根.

J5。=1+4

故有<2c,.>解得a=L

\6a-2a=1x4

由a=l时方程为--5苫+4=0的根为1或4,则实数。的值为1.

3.已知"2-(a+])x+l<0,求不等式的解集」

【答案】见解析

【解析】当。=0时，不等式化为-x+l<0,则不等式的解集为

当。x0时，不等式可因式分解为a(x--)(x-l)<0

a

当”0时，不等式可化为则不等式的解集为｛x|x>l或x<L｝；

aa

当。=1时，不等式可化为(x-1)2<0,则不等式的解集为九

当。>1时，不等式可化为(x-L)(x-l)<0,则不等式的解集为｛x|L<x<l｝;

aa

当0<”1时，不等式可化为(x-3(x-l)<0,则不等式的解集为｛x[l<x<A；

aa

题型二由一元二次不等式的解确定参数

1.不等式d-bx+oO的解集为｛”-2<x<l｝,则函数y="2+bx+c的图像大致为()

【答案】C

【解析】：不等式加+bx+c>0的解集为｛x|-2<x<l｝,

y=ax2+bx+c=ax2-ax-2a=a(x2-x-2),图象开口向下，两个零点为2,-1.

故选：C.

2.若不等式组「'二2：,八的整数解只有一2,则衣的取值范围是

[2/+(5+2炉+54<0

【答案】-3<*<2

【解析】不等式--x-2>0的解集为(T»,-1)U(2,4«),

不等式2/+(2左+5)工+5%<0可转化为：(x+Z)(2x+5)<0,

根据已知条件不等式组的整数解只有-2,

不等式2/+(2%+5)x+5左<0的解集为

再借助数轴可得k的取值范围为-2<-kM3,解得-3V左<2,

3.设函数/卜)=加+(6-2)苫+3(。#0).

(1)若不等式/")>0的解集(T1),求。，6的值；

(2)若/(1)=2,

14

®a>0,b>0,求一■的最小值；

ab

②若〃x)>l在R上恒成立，求实数。的取值范围.

【答案】⑴(2)①9；03-2上<a<3+2&.

3=2

【解析】(1)由己知可得，尔+(6-2)x+3=0的两根是7,1

-^-=-1+1=0

a=-3

所以“，解得

b=2

-=(-l)xl=-l

(2)①/⑴=〃+6-2+3=2=＞。+6=1

当5岁时等号成立,

12

因为。+b=l,a>0,b>0,解得。=一，6=—时等号成立，

33

14

此时：的最小值是9.

ab

②+e—2)x+3>1=>cix~+(/?—2)x+2>0在R上恒,成立1,

[a>Q/、2

丁.\n他-2)_8〃<0,.

[A<0'7

乂因为a+6=1代入上式可得(Q+l『一8。<0=>Q?-6〃+1<。

解得：3-2&<°<3+20.

4.若关于x的不等式(1—a)x?—4x+6<0的解集是{x|xv—3或x>1}.

(1)求实数。的值；

(2)解关于x的不等式2x?+(2—a)x—a>0.

【答案】⑴3(2)卜|x(-l或”|}

【解析】(1)由题意，知l—a<0且一3和1是方程(1-a)x?—4x+6=0的两根,

1-tz<0

匕7.

2=-3

\-a

解得a=3.

(2)由(1)得不等式2x?+(2—a)x—a>0即为2x‘一x—3>0,

解得XV—1或x>|.二所求不等式的解集为或X)|}.

5.关于x的不等式m--2x+w<0,其中胴为大于0的常数.

(1)若不等式的解集为0,求实数〃，的取值范围；

(2)若不等式的解集为/,且/中恰好含有三个整数，求实数，〃的取值范围.

Q3

【答案】(1)m>1\(2)—<m<-

【解析】(1)由题意得一元二次不等式对应方程的判别式△=4-4/«o,

结合阳〉(),，解得加2/.

(2)由题意得一元二次不等式对应方程的判别式/=4-4加2〉0,解得-1<加<1.

又加〉0,所以

设/(%)=加--2x+m,其对称轴为x='.

m

注意到/(1)=2加-2<0,/(0)=«>0,对称轴x=，>l,

m

所以不等式“犬-2》+加<0解集4中恰好有三个整数只能是1、2、3,

f/(2)=5/n-4<0

此时4中恰好含有三个整数等价于：/(3)=10机-6<0,解得储加<土

[/(4)=17W-8>0'

题型三一元二次方程根的分布问题

1.若实数。，尸为方程犬-2〃优+加+6=0的两根，则(。-1)2+(/-1)2的最小值为()

49

A.8B.14C.—14D.-----

4

【答案】A

【解析】vA=-4(w+6)..0,

s.ni2-W-6..0,..加..3或-2.

(47-1)2+(/?-1)2=a24-^2-2(a+/?)4-2=(a+^)2-2a/7-2(a+^)+2=(2w)2

-2(加+6)-2(2m)+2=4〃/一6〃?-10=4(阳—'

•・・〃z..3或叫，-2,且3离对称轴更近，

当〃?=3时，伍-1)2+(/7-1)?取得最小值8.

故选：A.

2.若关于x的方程/+（优-l）x+〃，-2=0的一个实根小于-1,另一个实根大于1,则实数机的取值范

围是（）

A.{”“-2＜机＜2}B.{"4-2＜加＜0}

C.[in\-2＜m＜1JD.1w|0＜m＜1|

【答案】D

【解析】令y=x?+（加-l）x+机2—2,作出函数大致的图象如图所示，

.由图象知，当x=-l时；y=m2-m＜0,解得0＜用＜1；

当x=l时，y=m2+m-2＜0,解得-2＜m＜\.

综上可得，0＜相＜1,故选D.

3.已知关于无的方程x?+（加-3）x+加=0,下列结论正确的是（）

A.方程x?+（用-3）x+w=0有实数根的充要条件是或加＞9}

B.方程/+（川-3）x+/n=0有一正一负根的充要条件是me{"巾〃＜0}

C.方程/+（机-3）x+m=0有两正实数根的充要条件是机e{m\0＜/n＜l）

D.方程/+（〃L3）X+/M=0无实数根的必要条件是机《肉所＞1}

E.当机=3时，方程的两实数根之和为0

【答案】BCD

【解析】在月中，由A=（m-3）2-4,"20得，”£1或m29,故/错误：

在8中J'ix=0时，函数＞=/+（加-3）x+/n的值为％由二次函数的图象知，方程有一正一负根的充要条件

是we{川机＜0},故8正确；

A=（加一3）~—4m＞0,

在C中，由题意得＜3-加＞0,解得故C正确：

zw＞0,

在D中，由△二（加一3）2-4m＜0得1＜加＜9,又{/w|l＜加＜9}任{加帆＞1}，故D正确；

在E中，当〃?=3时,方程为/+3=0，无实数根，故E错误.

故选：BCD.

4.若方程左/一（2左+3）x+4左+2=0的根满足下歹ij条件，分别求出实数左的取值范围.

（1）方程两实根均大于1:

（2）方程有一根比1大，一根比1小.

【答案】⑴1d2”；（2）

363

【解析】设》=/+1,原方程可化为叱-3f+3A-l=0,

A>0

（1）由题意，关于•，的方程的两根均为正数，得4+芍〉。，

柱>0

32-4A-(3A--l)>0

1>0'解得修

即<

匕1>。

k

故当"毡时，原方程两实根均大于1;

36

（2）因为关于，的方程的两根为一正根和一负根，

[A>0p2-4^-l）>0

所以,即3*7八,解得0<A<；,

因2<0A------<03

故当0<%<；时，原方程有一根比1大，一根比1小.

5.已知关于x的一元二次方程%2+（2加-l）x+皿2-3=0有实数根.

（1）求实数"，的取值范围；

（2）当机=2时，方程的根为看,2，求代数式（占2+2N）（后+4工2+2）的值.

13

【答案】（1）mW—；（2）1.

4

【解析】（1）△=（2/w-l）2-4x1x（/-3）=2一4阳+1-4机2+12=-4加+13

v原方程有实根，.•・△="+1320

13

解得〃

4

（2）当阳=2时，方程为f+3x+l=0,

X]+M=・3,X1X2=1，-

•••方程的根为修，M，

x/+3xi+l=0,X22+3X2+1=0，

/.（X|2+2X|）（X22+4X2+2）

=（X|2+2X|+X1-X1）（X22+3X2七V2+2）

=(-1-Xj)(-1+X2+2)

=(-1-X1)(M+1)

=-X2-XlX2-l-Xr

=-X2-X\-2

=3-2

=1.

题型四一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系

1.若关于X的不等式-工2+〃江-1..0有解，则实数加的取值范围是

A.{%|见，-2或机..2}B.{机|-2效M2}

C.{〃1向<-2或相>2}D.徊-2<小<2}

【答案】A

【解析】因为关于x的不等式有解，所以A：*—..。，解得加.2或裾，-2.

故选A.

2.已知函数y=/+办+匕(a>0)有且只有一个零点，则()

A.a2-d2<4

B.a2+->4

b

C.若不等式一+"-6<0的解集为卜|西cxvx?}(x,<x2),则x俨2>0

D.若不等式/+分+6<<?的解集为3国「<》2卜(再<了2),且卜|-超|=4,则c=4

【答案】ABD

【解析】因为夕=x2+ax+b-(a>0)有且只有一个零点，

故可得A=a2_4b=0,即/=4/)>0，

对Z：a?44等价于"-46+420,显然伍-2)20,故A正确；

对B：/+1=46+122」4bxl=4,故8正确；

hb\h

对C：因为不等式Y+or-b<0的解集为(七/2),

故可得x,x2=-b<0,故C错误;

对。：因为不等式x2+nx+b<c的解集为(王百)，且|%-引=4,

则方程x?+ox+b-c=0「的两根为阳,X],

2

故可得yj(xt+x2)~-4X(X2=yja—c)=y/4c=2>/c=4,

故可得c=4,故。正确.

故选：ABD.

3.已知函数y=(/-l)x2+(a+l)x+l

(1)若对任意x,有了>0,求实数。的取值范围；

(2)若V能取到不小于0的任意值，求实数。的取值范围.

【答案】⑴{x|a4T或0>：卜(2)

【解析】⑴当短-1=0时,得。=±1

若。=1,y=2x+l>0不恒成立，不合题意；若”=-1,夕=1>0恒成立，符合题意

a?一]>05

当。2-1/0时，)A/1\2/2i\解得：a<-\^a>—

A=(〃+l)-4(672-l)<03

综上所述：。的取值范围为或4>(}

(2)当/一1=0时，得a=±1

若。=1,y=2x+\eR,符合题意；若。=一1,歹=1,不合题意

”—1>05

当/一1工0时，]/\2.(2八，解得：1<。4彳

A=(a+1)-4(a2-l)>03

综上所述：。的取值范围为1

4.若关于x的不等式苏+反+。>0的解集为卜卜3Vx<4},求关于x的不等式笈2+2办-。-36<0的解

集.

【答案】{x|-3<x<5}

【解析】加+fcv+c>0的解集为{工|-3cx<4},

.♦・”0且・3和4是一元二次方程尔+bx+c=0的两根，

“)b

—3+4=—

b=-a

°;解得

-3x4=-

a

「•不等Mtbx?+2ax-c-3b<0可化为一ax?+2。％+15。<0,E|Jx2-2x-15<0,

-3<x<5,

所求不等式的解集为{x|-3<x<5}.

vIo

5.已知三个不等式:①I”；③2x2+加x—1<0.

(1)若同时满足①、②的工值也满足③，求机的取值范围；

(2)若满足。的x值至少满足①和②中的一个，求加的取值范围.

17

【答案】(1)/«<-y

17

(2)——<m<\

3

【解析】解不等式①|21|<57

即x-5<2x-4<5-x,

解得xe(-l,3),

x+2

解不等式②>1

X?—3x+2

x（x—4）

（'40,解得xe[0,l）U（2,4]

（1）同时满足①、②的X值，即不等式①、②的解集取交集,

得X«O,1）U（2,3）

若③的解集为。，则[0』）U（2,3）是C的子集,

设/（X）=2工2+加工一1,

|/（0）＜0

则有潟40,-1<0

2x9+3zw-l<0

解得加4-了一

（2）满足0的x值满足①时

即Cq（-1,3）

J（T）202-加一1>0

“3)202x9+3掰一120

17

A>0BP-/H2+8>0,解得一:

-1<——<3-1<---<3

44

因为当x=0时,/(0)=-1<0

所以/（x）＜0的解集一定存在负数，

所以满足满足③的x值不可能满足②

综上所述，满足要求的加的范围为-三4〃?41

2023届高考数学专题(二次函数与一元二次方程、不等式)练习(二)

题型——元二次不等式在实数集上恒成立问题

1.已知不等式以2+X+CZ0的解集为R,且不等式x2—6(a+c)x+(“+c)-；20的解集为R,则

cx2+(a+c)x+aZ0的解集是()

A.0B.RC.{0}D.不能确定

2.若不等式(〃-2)/+2(。-2口-4<0对xGR恒成立，求实数。的取值范围.

3.已知不等式(1-a*-4x+6>0的解集为{x卜3Vx<1}.

(1)解不等式2x2+(2-a)x-a>0；

(2)〃为何值时，尔+法+320的解集为/??

4.对任意xeR,函数/(力=妙2+(>-4)》+4-2机的值恒大于零，求用的取值范围.

5.⑴关于*的不等式叁大<2对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围.

(2)若不等式x?+px>4x+p—3对一切gpa均成立，试求实数x的取值范围.

题型二一元二次不等式其他恒成立问题

1.若Vxe{x[0<x41},不等式-4x2加恒成立，则有()

A.m<-3B.m>-3

C.—3<m<0D.m>-4

2.若当0"W2时，2ax+〃+2N0恒成立，则实数。的取值范围为.

3.(1)当1W烂2时，不等式{+加工+4Vo恒成立，求实数机的取值范围.

(2)对任意一1SE1,函数y=f+(a—4)x+4—2〃的值恒大于0,求。的取值范围.

4.若关于x的不等式--2工+2>0对于满足1<x<4的一切实数x恒成立，求实数a的取值范围.

5.(1)当c=16,x=2时，求关于。的不等式-■^工？+,。(5-a)x+c>0的解集；

22'7

(2)若。=4时，对任意-Jx2+ga(5-a)x+c<0恒成立，求实数c的取值范围.

题型三一元二次不等式有解问题

1.若关于x的不等式2x2-8x-4+a40在14x43内有解，则实数。的取值范围是()

A.a<\2B.a>12C.a<10D.a>10

2.当xe｛邓4x45｝时，不等式/+如一2>0有解，则实数。的取值范围是.

3.已知函数y=4x2-2（p-2）x-2p2-p+l在-14x41时至少存在一个实数c,使y>0成立，求实数p的

取值范围.

4.已知关于x的不等式2f-9x+a<0的解集非空，对于其解集内的每一个x的值，至少能使不等式

x2-4x+3<0或x2-6x+8<0中的一个成立，求实数。的取值范围.

题型四一元二次不等式的应用

1.某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x（件）与单价P（元）之间的关系为尸=160-2x,生产x件

所需成本为C（元），其中C=500+30x元，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x的取值范围是

A.20<x<30B.20<x<45C.15<x<30D.15Vx445

2.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园（阴影部分），则其边

长x（单位：m）的取值范围是（）

A.154x430B.12<x<25C.104x430D.204x430

2.在一个限速40km/h的弯道上，甲，乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了.

事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12m,乙车的刹车距离略超过10m.又知甲、乙两种车型的刹车距

2

离Sm与车速xkm/h之间分别有如下关系：SM.=0.1x+0.01x,Sc=0.05x+0.0052则下列判断错误的是（）

A.甲车超速B.乙车超速

C.两车均不超速D.两车均超速

3.十九大以来，国家深入推进精准脱贫，加大资金投入，强化社会帮扶，为了更好的服务于人民，派调

查组到某农村去考察和指导工作.该地区有100户农民，且都从事水果种植，据了解，平均每户的年收

入为2万元.为了调整产业结构，调查组和当地政府决定动员部分农民从事水果加工，据估计，若能动

员x（x>0）户农民从事水果加工，则剩下的继续从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高2x%,而

从事水果加工的农民平均每户收入将为2（a-就）,（a>0）万元.

（1）若动员x户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植

的农民的总年收入，求x的取值范围；

（2）在（1）的条件下，要使这100户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的

农民的总收入，求。的最大值.

4.为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策：由政府协调，企业按成本价提供产品给大学毕业

生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担.某大学毕业生按照相关政策投资销售一种新型节

能灯.已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月的销售量y（单位：件）与销售

单价x（单位：元）之间的关系近似满足一次函数：^=-10x+500.

（1）设他每月获得的利润为w（单位：元），写出他每月获得的利润w与销售单价x的函数关系.

（2）相关部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元.如果他想要每月获得的利润不少于3000元,

那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少？

5.某地每年销售木材约20万n?,每立方米的价格为2400元.为了减少木材消耗，决定按销售收入的

?%征收木材税，这样每年的木材销售量减少|f万m，，为了既减少了木材消耗又保证税金收入每年不少

于900万元，贝h的取值范围是

答案解析

题型——元二次不等式在实数集上恒成立问题

1.已知不等式改2+工+020的解集为火，且不等式f-&(a+c)x+(a+c)-；NO的解集为火，则

ex?+S+c)x+a20的解集是()

A.0B.RC.{0}D.不能确定

【答案】B

【解析】又因为不等式V-啦(a+c)x+(a+c)-；20的解集为火，

则A=2(Q+C)2-4(Q+C)+2=+1<0,­

又2[(a+c)-11>0,:.a+c=\,

则不等式OX?-J-X4-C>0即为。大？+X+(1-Q)20,即+]―〃)(x+1)20,

a>0

由于不等式(ax+l-a)(x+l)±0的解集为R,则”1解得。=:，，。只.

---=-122

.a

不等式cx2+(a+c)x+aZ0即为:r+x+gzo,即为(x+lJzO,解得xeR.

故选：B.

2.若不等式(°-2)/+2(。-2口-4<0对xCR恒成立，求实数a的取值范围.

【答案】-2<a<2-

【解析】当。=2时，Y<0恒成立，

(a-2<0(a<2

当”2,。时，利用二次函数图象知仁。’则]4(”2)―(”2)(-4)<。

解得-2<a<2,

所以实数a的取值范围是-2<a<2

3.已知不等式(1一a)/-4x+6>0的解集为卜卜3Vx<1}.

(1)解不等式2/+(2-°)》-4>0；

(2)6为何值时，依2+辰+320的解集为火？

【答案】(1){x[x<-l或x>g}；(2)-6<b<6.

【解析】(1)由题意知1一。<0且一3和1是方程(1-a)--4x+6=0的两根,

l-tz<0

A-a

解得。=3.

不等式2x?+(2-a)x-“>0,即为2X2-X-3>0,

3

解得x<-l或X>].

3

所求不等式的解集为｛x|x<-l或X>]｝；

(2)ax2+fe+3>0.即为3/+云+320,

若此不等式的解集为我,贝I」A=/_4X3X340,

解得-64666.

4.对任意xeR,函数/(》)=〃7+(机-4)x+4-2〃?的值恒大于零，求加的取值范围.

【答案】不存在这样的实数〃?，使函数/'(X)的值恒大于零.

【解析】①当m=0时，函数/(x)=~4x+4的值不恒大于零，不符合题意，舍去；

②当机30时，要使得对任意xeR,函数/(x)的值恒大于零，

…rJ/n>0>0

"""L(m-4)2-4/n(4-2zn)<01[9z«2-24m+16<0'

此不等式组无解，故….

综上知，不存在这样的实数机，使函数/(x)的值恒大于零.

5.(1)关于x的不等式<2对任意实数x恒成立,求实数m的取值范围.

(2)若不等式x'+pxAdx+p-3对一切OWp"均成立，试求实数x的取值范围.

【答案】(1)m<-2；(2)m<-2和x>3

【解析】(1)首先将分式不等式变形，分离出参数m,将求m范围转化为二次函数求最值问题；(2)

将不等式变形为(x-1)p+x2-4x+3>0,结合一次函数性质得到关于p的不等式，求解p的取值范围

试题解析：(1)7X2-2X+3=(X-1)2+2>0,

不等式产+机一<2同解于4x+m<2x2—4x+6,

-2x+3

即2x2—8x+6—m>0.

要使原不等式对任意实数X恒成立，只要2x2—8x+6-m>0对任意实数x恒成立.

/.A<0,BP64-8(6-m)<0,整理并解得m<-2.

(2)x+px>4x+p—3,/.(x—1)p+x~—4x+3>0.

令g(p)=(x—1)p+x2—4x+3,

则要使它对OSp“均有g(P)>0,

g(0)>0

只要有{,八.X>3或x<7.

g(4)>0

题型二一元二次不等式其他恒成立问题

1.若Vxe{x[0<x41},不等式f-4x2机恒成立，则有()

A.m<-3B.m>-3

C.-3<zw<0D.m>-4

【答案】A

【解析】作出函数y=x2-4x=(x-2)2-4的图象，并截取在0<x41内的部分如图所示(实线部分)，由

图象知，当x=l时，歹取得最小值-3,所以，*4-3

故选：A.

2.若当04x42时，*2-2ax+a+220恒成立，则实数”的取值范围为.

【答案】{。卜24a42}

【解析】若当04x42时，x2-2ax+a+220恒成立，

贝U函数N=丁-2"+a+2在0Wx42时的最小值恒大于等于0

二次函数y=/-2亦+。+2图像的对称轴为直线：x=a

①当aN2时，函数y=/+2ax+a+2在x=2时取得最小值，Jmin=6-3a

/.6-3a>0,解得：a<2.\a=2

②当aWO时，函数y=%2+2诉+〃+2在x=0时取得最小值厂.斗而=2+a

2+a20,解得：Q2—2—24aK0

1

③当0<。<2时，函数歹=/+2ax4-67+2在x=〃时取得最小值ymin=-a+。+2

.•・一/+。+220,解得：-\<a<2?.0<^<2

综上所述：实数。的取值范围为{4-24。42}

故答案为{止24。42}

3.(1)当l£xW2时，不等式x2+/nx+4<0恒成立，求实数方的取值范围.

(2)对任意一1/1,函数、=/+(〃-4)x+4—2a的值恒大于0,求a的取值范围.

【答案】(1){w|w<-5};(2){a|a<l}.

【解析】(1)令、=/+侬+4.「产0在1人2上恒成立.y=0的根一个小于1,另一个大于2.

如图所示：

(〃7+5<0

可得1+2加+4<0，:•加的取值范围是5}.

(2);f+(〃-4)x+4—2〃>0恒成立，即f+or—4x+4—2。>0恒成立.

二.(x-2)a>—x2+4x-4.1—l<x<L1>x—2<0.匚+4七4=—(》二2)=2f

x—2x—2

令y=2—x,则当一1勺匕1时，y的最小值为1,故a的取值范围为

4.若关于x的不等式仆?一2x+2>0对于满足1<x<4的一切实数x恒成立，求实数a的取值范围.

【答案】

【解析】l<x<4...不等式"2_2》+2>0可转化为。>生」.

...当工=2,即x=2时,函数取得最大值:，

4xx22

1

a>一

2

5.(1)当c=16,x=2时，求关于。的不等式的解集；

22'，

(2)若。=4时，对任意-gx2+ga(5-a)x+c<0恒成立，求实数c的取值范围.

【答案】⑴{a|-2<a<7}；(2)pc<-||.

【解析】(1)­.-c=16,x=2时，关于。的不等式可化为/-5a-14<0,解

得-2<a<7,

所求不等式的解集为{a|-2<a<7}.

(2)当a=4时，—]X~+/a(5—a)x+c<0对任意％,1恒成立，

c<；--2x对任意恒成立，

又当X=1时，：/-2x取得最小值，为-1，

c<-|,即实数c的取值范围是k|c<-|｝.

题型三一元二次不等式有解问题

1.若关于X的不等式2x2-8x-4+a40在14x43内有解，则实数。的取值范围是()

A.a<12B.a>12C.a<lOD.a>10

【答案】A

【解析】原不等式2/-8x-4+a40在1VXV3内有解等价于aW-2x?+8x+4在1Vx《3内有解,

设函数/(x)=-2/+8x+4,_fwH&$,

所以原问题等价于“4/(x)耐

又当x=2时，/(x)_=12,

所以0412.

故选：A.

2.当xw｛x|lKxW5｝时，不等式/+必一2>0有解，则实数。的取值范围是.

【答案】。>一日｝

【解析】解：由题知△=/+8>0，且-2<0,所以方程X?+QX-2=0恒有一正一负两根，

设歹二/+办一2,作出函数的大致图象如图所示：

由图象知，不等式/+公—2>0在1wxW5上有解的充要条件是当工=5时，y>0,即25+5Q-2>0,

解得。>长23

故答案为：｛a〃>一~怖］.

3.已知函数、=4%2一2(0-2)工-2P2一2+1在一16161时至少存在一个实数的使y>0成立，求实数p的

取值范围.

【答案】］p|-3<p<|>

【解析】：次函数y=4尢2-2(p-2)x-2p2-p+l^-l<x<l时至少存在一个实数c,使歹>0的否定是:

对于一14x41中任意一个x都有”0,

[4xl2-2(p-2)xl-2p2-p+l„0,

[4x(-1)2—2(0-2)(-1)-2夕2_p+L,0,

2p~+3p—9..0,

整理得J2…

2p~-p—1..0,

3

解得p...^或p”-3.

故二次函数在-14xW1内至少存在一个实数c,使y>0成立的实数p的取值范围是{pI-3cp<5}.

4.已知关于x的不等式2x2-9x+”<0的解集非空，对于其解集内的每一个x的值，至少能使不等式

x2-4x+3<0或d-6x+8<0中的一个成立，求实数。的取值范围.

【答案】7<«<^

O

【解析】由x2-4x+3<0得l<x<3,设集合工=(1,3),

由3-6x+8<0得2Vx<4,设集合8=(2,4),所以4KB=(1,4),

设〃x)=2x2_9x+a,则/(x)<0的解集非空，设解集为C=(±,X2),其中再，当是方程〃x)=0的两

实根，且玉<工2，

要使关于x的不等式2f-9x+a<0的解集内的每一个x的值，至少能使不等式/-4x+3<0或

/-6》+8<0中的一个成立，

则需即(X],X2)U(1,4),即

81

a<一

△二(-9)~-4X2XQ>081—8Q>08

所以《/(1)=2X12-9x1+420,即.a-7>0,解得'a>7,

/(4)=2x42-9x4+a>06f-4>0a>4

所以7<a<—.

8

故得解，

题型四一元二次不等式的应用

1.某小型服装厂生产一种风衣，日销售量X(件)与单价P(元)之间的关系为尸=160-2x,生产x件

所需成本为C(元)，其中C=500+30x元，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x的取值范围是

A.20<x<30B.20<x<45C.154x430D.15<x<45

【答案】B

【解析】设该厂每天获得的利润为V元，

贝ijy=(160-2x)•x-(500+30x)=-2x2+130x-500,(0<x<80),

根据题意知，-2/+130》-50041300、解得：204xW45,

所以当204x445时，每天获得的利润不少于1300兀，故选B.

2.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于3001/的内接矩形花园（阴影部分），则其边

长x（单位：m）的取值范围是（）

A.154x430B.12<x<25C.104x430D.204x430

【答案】C

【解析】设矩形的另一边