九年级中考数学锐角三角函数解答题压轴题提高专题练习附详细答案

九年级中考数学锐角三角函数解答题压轴题提高专题练习附详细答案一、锐三角函数1．如图，某无人机于空中A处测到目标

B、D

的俯角分别是

3

,此无人机的飞行高度AC为，随后无人机从A处续水平飞行3m到A

处（）

之间的距离（）从无人A'

上看目标的角的正切值【答案】（）米（2）

.【解析】【分析】（）直角三形即可得到结论；（）A

作

'EBC

交BC的长线于E，接A，是得到A'E60

，'

3，eq\o\ac(△,)ABC中，求得DC=

AC=20，后根据三角函数的定义即可得到结论．【详解】解：（）题得，ADC=60°，在eq\o\ac(△,)ABC中，

ACAB==sin30

（m（）A'

作

'EBC

交BC的长线于E，接A'D，则

A'E60，CEAA

3，在eq\o\ac(△,)ABC中AC=60m，，

DC=

AC=20

DE=50

tanA

D=tan'

DC=

'602==DE503

答：从无人机A

上看目标D的俯角的正切值是

．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线建立直角三角形是解题的关.2．如图，海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向，距离为25海里．在某时刻，哨所与哨所同发现一走私船，其位置C位于哨所北东53°的向，位于哨所B南东的向上．（）观察哨A与私船所在的位置的距离；（）观察哨A发走私船从C处16海里小的速度正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东的向前去拦截．求缉私艇的速度为多少时，恰好在D处成功拦截．（结果保留根号）（参考数据sin37°＝，cos37＝去tan37°≈2，tan76°）【答案】（）察哨所A

与走私船所在的位置的离15海；2）当缉私艇以每小时海里的速度行驶时，恰好在处成功拦截.【解析】【分析】（）根据三形内角和定理求ACB＝再解eq\o\ac(△,)，利用正弦函数定义得出即；（）点C作于M，知、、M在条直线上．解eq\o\ac(△,)，求出CMAM．eq\o\ac(△,)AMD中，求出、，出CD．缉私艇的速度为x海里小时，根据走私船行驶CD所的时间等于私艇行驶AD所用的时间列出方程，解方程即可．【详解】（）中，ACB

BAC

90

.在

RtVABC

中，

sinB

ACAB

，所以

ACAB37

（海里）答：观察哨所A

与走私船所在的位置

的距离为15海.（）点

C

作

，垂足为，由题意易知，、C、M在条直线上在

中，

，

AC

.在

eq\o\ac(△,)ADM中

MD

，所以MD76

.所以

AD

AM

2

MD

2

2

36

2

17CDMD24

.设缉私艇的速度为海/小时，则有

9

，解得v经检验，v是方程的解.答：当缉私艇以每小时6海的速度行驶时，恰好在D处功拦截【点睛】此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．3．小红将笔记本电脑水平放置在桌子，显示屏OB与板OA所在水平线的夹角为时，感觉最舒适（如图），侧面示意图为图；使用时为了散热，她在底板下面垫入散热架＇后，电脑转到AO＇＇置（如图3）侧面示意图为图．知，＇OA于CO＇．（）求CAO＇的度数．（）示屏的部＇原来升高了多少？（）图4，入散热架后要使显示屏OB＇水平线的夹角仍保持，显示屏＇＇绕点O＇顺时针方向转多少度？【答案】（）CAO′=30°；2）36﹣12方向旋转30°．

）；）显示屏′B应点O按时针

【解析】试题分析：1）过解直角三角形即可得到结果；（）点作AO交的延长线于D，过解直角三角形求得BD=OBsin=12

，由C、O、三点共线可得结果；（）示屏′B应点O按时针方向旋30°，得EO′B′A=30°，是示屏O′B应绕点按时针方向旋转．试题解析：1）O于，，，sin′=；（）点作AO交的延长线于DsinAOB=120°，，BOD=24×′=30°，，′C=60°，′B′=120°，AOAO′C=180°，′B′+O﹣﹣=36﹣）；显屏的顶部比原来升高了﹣（）示屏′B应点O按时针方向旋30°，理由：显屏′B与平线的夹角仍保持EO，，′B，EOFO，显屏′B应点按顺时针方向旋转．

=12

，BD=OBsinBOD，，O考点：解直角三角形的应用；旋转的性质．4．在正方形中对角线AC交于点，P在线段BC上不含点），

，PE交BO于点，过点B作BF，足为F，AC于点G．

（）点P与点C重合时（如图1）．求证；（）过观察测量、猜想：

BFPE

=

，并结合图2证你的猜想；（）正方形改菱，其他条件不变（如图3），求值．（用含的子表示）

BFPE

的【答案】（）明见解析2

BF1（PE22

【解析】解：（）明四形ABCD是方形，与C重合，，∠．，GBO=90°—，EPO=90°BGO．EPO．POE（）．（）

1

．证明如下：如图，过P作PM//ACBG于M，BO于，0．OBC==45，．NB=NP．0—，∠—，MBN=NPEBMNPEN（）BM=PE．BPE=

，BPN=，．，MFP=90．又PF=PF，BPF（）BF="MF"，BF=

BM．

BF1PE，即．2（）图，过P作PM//AC交BG于M，交BO于N，ACB=，BOC=90．由（）理得

BM，∠．∠0，BMNPEN

BMBNPEPN

．在eq\o\ac(△,)BNP中1tan

=．

BM2BF，tan，PE

=tan

．（）正方形性质可由AAS证eq\o\ac(△,)POE．（）P作交BG于M，交BO于，过ASA证eq\o\ac(△,)BMNPEN得到，过ASA证eq\o\ac(△,)BPF得到BF=MF，即可得出

BF1

的结论．（）P作交BG于点M，BO于点，（）证得BF=

BM，EPN，从而可证eq\o\ac(△,)BMNPEN，

BMBN和eq\o\ac(△,)BNP中tan=即PEPN可求得

BF1=tanPE2

．5．如图，平台高，处得楼房顶部点的角为45°，部点C的俯角为30°，楼房CD的度（3＝．）．

【答案．米．【解析】试题分析：首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造关系式求解．试题解析：如图，过点B作BECD于，根据题意，，CBE=30°ABAC，AC四形为形，，在eq\o\ac(△,)CBE中CBE=

BE

，BE=CE•cot30°=12×

3=12，在eq\o\ac(△,)BDE中由，得DE=BE=12．（3

+1）≈32.4．答：楼房CD的度约为．考点：解直角三角形的应—角俯角问题．6．如图（）在平面直角坐标系中，点A（，6）点B（0．eq\o\ac(△,)CDE中，，，，角边CD在y轴上，且点与重合．eq\o\ac(△,)CDE沿y轴正方向平行移动，当点C运到点时停止运动．解答下列问题：（）图2）当eq\o\ac(△,)CDE运动到点与O重时，设CE交AB于M求BME的度数．（）图3）在eq\o\ac(△,)CDE的运动过程中，当CE经点时求BC的．（）eq\o\ac(△,)CDE的动过程中，设AC=heq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)的叠部分的面积为，请写出S与之的函数关系，并求出面积S的大值．

【答案】（）BME=15°；（2BC=4

；（）≤2时S=﹣

h+4h+8，当≥2时S=18﹣．【解析】试题分析：1）图2，对顶角的定义知BME=，BME的度数，需先求出的数．根据三角形外角的定理进行解答即可；（）图3，已知可OBC=，OB=6，通过解直eq\o\ac(△,)BOC就求出BC的长度；（）要分类论≤2时如4作MNy轴交轴于点，MFDE交DE于点F，EDC﹣eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)EFM；当≥2时，如图3，OBC．试题解析：解：1）图，在面直角坐标中，点（，6）点B（，）．OA=OB，，，

，OCE=60°，CMA=OCE﹣﹣，BME=CMA=15°；如图，

eq\o\ac(△,)EFMS=Seq\o\ac(△,)EFMS=S，，OBC=DEC=30°，OB=6，

，BC=4

；（）≤2时，如图4，作MNy轴交y轴点，MFDE交DE于，CD=4，

，，AN=NM﹣FM，AN=MN=4+hFMCMN，

，

，解得﹣

，S=SEDC

﹣=

×4×4

﹣（）×（﹣）﹣

h+4h+8，②如3，≥2时OBC

=OC×OB=

（﹣）×6=18﹣．考点：、角的外角定理2、似、解直角三角形7．如图，在矩形中，AB＝cm，＝cm，连BD，eq\o\ac(△,)ABD绕B点顺时针方向旋转得eq\o\ac(△,)AB′D′（与B重），且点D′刚好落在BC的长上D′与相于点E．（）矩形eq\o\ac(△,)A′D重叠部分（如图中阴影部分A）的面积；（）eq\o\ac(△,)A′BD′以每秒2cm的度沿直线向右平移，如图，B移动到点停止移动．设矩形与D重叠部分的面积为，移动的时间为，请你直接写出y关x的函数关系式，并指出自变量x的值范围；（）（）的平移过程中，是否存在这样的时间x，eq\o\ac(△,)AA′成为等腰三角形？若存在，请你直接写出对应的x的，若不存在，请你说明理．

ABCE′CED′CEDABCE′CED′CED【答案】（）

；（2）详见解析；（）eq\o\ac(△,)AAB成为等腰三角形的的有0秒、

6秒、．【解析】【分析】（）据旋转性质可知BD＝＝，＝D﹣BC，由B′D′＝''CE'D'

可求出CE即可计eq\o\ac(△,)CED的积S＝﹣；（）类讨论当≤x≤

时和当＜≤4时，分别列出函数表达式；5（）类讨论当AB＝′时；当′＝′′时；当AB＝′时，根据勾股定理列方程即可．【详解】解：（）AB＝cm＝cm，BD＝cm，根据旋转的性质可知′D＝＝，＝′D﹣＝cm，B′D′′＝

'''D'CD'

＝S

＝﹣＝

22

（2）；（）当0≤x

时，CD＝x+2，＝（+1），2S

CD′E＝+3x，y＝②当

×6×8﹣﹣x﹣＝x2﹣3+；4≤x时，′＝﹣x，＝（﹣x）

y

48x＝x﹣x．3（）如图，当′′时，x＝秒；②如2，＝′′时，A′N＝BMBB′M2+

，＝＝，5AN

N2＝，（﹣

18）+（x）＝，5解得：＝

，＝（舍去）；③如2，＝AA时，A＝＝BB′+′M＝x+

，＝＝，AB

BB′＝AN2′N2

36+4＝（﹣

）+（x+）解得：＝

．综上所述，使eq\o\ac(△,得)′成为等腰三角形的的值有：0秒

6秒、．【点睛】本题主要考查了图形的平移变换和旋转变换，能够数形结合，运用分类讨论的思想方法全面的分析问题，思考问题是解决问题的关键．8．如图，在平面直角坐标系中，直线DE交x轴点（0）交y轴点D（，40）直线：＝

+5交x轴点A，交轴点，交直线于P，过点作

1111111111111111111111111111x轴交直线于，EF为边向右作正方形EFGH．（）边EF的；（）正方形EFGH沿线FB的方向以每秒个位速度匀速平移，得到正方形FG，在平移过程中边FG始终与轴直，设平移的时间为秒（t＞）．①当移到点时，求的；②当GH两点中有一点移动到直线DE上，请直接写出此正方形EFGH与重叠部分的面积．【答案】（）15；（）；②120【解析】【分析】（）据已知（，）点D0，），求出直线的线解析式y=-

x+40，求出P点坐标，进而求出F点标即可；（）易求B（，），当点移到点时，t=101010=10；②F点动到F'的离是10，垂x轴向移动的距离是，点H运到直线DE上时，在eq\o\ac(△,)F'NF中

NF1MH4=，eq\o\ac(△,)中EM3

，t=4，

×(12+)×11=；当点G运动到直线DE上，在eq\o\ac(△,)F'PK中

1=，F3PK=t-3，，eq\o\ac(△,)PKG'中

t＝＝，，（15-7=120.KG3【详解】（）直线DE的线解析式y＝kx+b将点，），点D（，），

k

，

k

43

，b

y＝

x+40，直线AB与直线DE的交点P，），由题意知F（，），＝；（）易求B（，），BF＝当1

10，移动到点时＝101010＝；②当运动到直线DE上时，F点移动的距离是t，在eq\o\ac(△,)F'NF中，

=，NF3FN，＝3t，MH'＝＝，EM＝＝﹣＝﹣，在eq\o\ac(△,)DMH'中MH4EM3

，

tt3

，t＝，＝3MH'＝，＝)

；当点运到直线DE上，

F点移动的距离是t，＝

10，PF'10

﹣，在eq\o\ac(△,)F'PK中1F

，PK＝3，＝﹣，在eq\o\ac(△,)PKG'中

t4＝＝，t3t＝，＝﹣7120.【点睛】本题考查一次函数图象及性质，正方形的性质；掌握待定系数法求函数解析式，利用三角形的正切值求边的关系，利用勾股定理在直角三角形中建立边之间的联系，准确确定阴影部分的面积是解题的关键．9．如图，点M（－，）圆心的圆与y轴轴分别交于点A、、、，线y＝－

－

与M相于点，交x轴于点E，y轴于点F．（）直接写、M的径、的长；（）图2，HQ交x轴点P，且DP:PH＝:，求的；（）图3，K为线段上动点（不与E、C重），连交M于点，AT交轴于点N．是否存在一个常数a，终满足MN·＝a，如果存在，请求出的；如果不存在，请说明理由．

【答案】（）r=2，CH=2（）（）【解析】【分析】（）直线y＝－

；－

中，令，求E的标，即可得到OE的长为；连接MH根eq\o\ac(△,)EMHeq\o\ac(△,)相似即可求得半径为2；再由，，知CH是eq\o\ac(△,)EHM斜上中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出C的长；（）接、．根据相似三角形的判定得eq\o\ac(△,)，而求得的，在直角三角形CDQ，即可求得D的弦值，即为的值；（）接AKAM，长AM与圆交于点G，接，圆周角定理可知，，3=4，MAN，eq\o\ac(△,)AMK△NMA即可得出结论．【详解】（），，（）图1，接QC、，，QHC=，

易eq\o\ac(△,)△，，得，于CD=4；（）图2，接，，长AM，与圆交于点G，连接，由于而在

和

，故中，

，，故，；；eq\o\ac(△,)AMK△NMA;即：故存在常数，终满足常数a="4"解法二：连结，明

得10．图，公路为东西走向，在点A

北偏东

方向上，距离

千米处是村庄，在点A北东53.5，离10米处是村庄；要在公路旁建一个土特产收购站P(取在上，得M，两庄到P站距离之和最短，请在图中作出的置（不写作法）并计算：（）M，

两村庄之间的距离；（）PM

、

距离之和的最小值（考数据：sin36.5°＝，＝，＝计算结果保留根号）【答案】M，两村庄之间的距离为29千(2)村、到P站的最短距离和是55千．【解析】【分析】（）关AB的称点N'AB交，连结与AB交于，则P为特产收购站的位置．求出，DM，利用勾股定理即可解决问题（）题意可、到上P的离之和最短长度是MN的长．【详解】解：作关于的对称点与交于E，结MN’与交P，则P为特产收购站的位置．（）eq\o\ac(△,Rt)中，AN，NAB=36.5°NE=•sinNAB•sin36.5°=6，=AN•cosNAB=10•cos36.5°=8，过M作AB于，

在eq\o\ac(△,)MAC中=5，MAB=53.5°AC=MA•sinAMB=MA，MC=MA=MA•cos36.5°=4，过点M作MD于点D，在eq\o\ac(△,)MND中MD=AE-=5，ND-MC=2MN=，即M，两村庄之间的距离为

千米．（）题意可M、N到AB上点P的离之和最短长度就是的长．DN′=10，，在RtMDN中由勾股定理，得MN′==55（千米）村、到站的最短距离和是55千．【点睛】本题考查解直角三角形，轴对称变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．11．图，在eq\o\ac(△,)ABC中C＝90°A＝，4，点P从A出，沿以秒个位度的速度向终点运．过点P作PDAC于D点不与点A，重)，作DPQ＝60°，交线于．设点的动时间为秒．（）含的代数式表示线段DC的_________________；（）t时，点Q与重合时；（）线段的垂直平分线经eq\o\ac(△,)一中点时，求出t的值．【答案】（）

；（）；（）的值为或.【解析】【分析】（）求出AC用三角函数求出，即可得出结论；（）用，可得出论；（）三种情，利用锐角三角函数，即可得出结论．【详解】（）AP=,AB=4,A＝30°

,AD=（）AQ=2AD=

；

当AQ=AC时Q与C重合即=t=1；（）如图，当PQ的直平分线过AB的点时PGF90°，PG＝＝＝，＝＝A＝AQP＝，FPG＝，PFG＝30°，PF2PG，＋＝＋＝，t＝②如，当的垂直平分线过的中点时，＝，＝AC

，＝＝AP＝在eq\o\ac(△,)NMQ中AN＝，③如，当的垂直平分线过BC的中点时BFBC＝，＝PQ，30°.＝＝＝，BHBF在eq\o\ac(△,)PEH中PH＝AH＝＋＝＋，2t＋5，t.即当线段PQ的垂直平分线经eq\o\ac(△,)一边中点时t的为或或.【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数，垂直平分线的性质，正确作出图形是解本题的关键．12．图，建筑物

上有一旗杆，与

相距

的处测旗杆顶部的仰角为

，观测旗杆底部的仰角为

，求旗杆

的高度（考数据：,

，

）【答案】旗杆的高度约为【解析】【分析】在eq\o\ac(△,)BDC中根据tanBDC=

.

求出BC，接着eq\o\ac(△,)ADC中根据tan【详解】

=

即可求出的长度解：在eq\o\ac(△,)中

=1，BC=CD=40m在eq\o\ac(△,)中，

=

=1.19AB7.6m答：旗杆AB的高度约为7.6m.【点睛】此题主要考查了三角函数的应用13．知抛物线＝

2x﹣x+2与x轴于点AB两，交轴于点抛物线的对3称轴与x轴交于H点分别以、OA为作矩形AECO．(1)求线AC的析式；(2)如，为直线AC上方抛物线上的任意一点，在对称轴上有一动点，当四边形AOCP面积最大时，求﹣的值．(3)如，eq\o\ac(△,)沿线AC翻折eq\o\ac(△,)ACD，eq\o\ac(△,)沿直线平eq\o\ac(△,)A'C．得点、在直线AC上是否存在这样的点D，使eq\o\ac(△,)′ED为角三角形？存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】＝

+2点M坐为（﹣，），四边形的面积最大，此时3|PMOM有大值

；(3)存在，′坐标为：4）或（6，）（，）．【解析】【分析】（）x＝，则y2，＝，x＝或﹣，出点A、、坐，即可求解；（）接交称轴于点，此时|PM﹣有大值，即可求解；（）在；分′D′A；AD′；ED′′三种情况利用勾股定理列方程求解即可．【详解】（）x＝，则y2，＝，x＝或﹣，（6，）B20）、（，2），函数对称轴为：＝﹣2，点坐标为（﹣，

），点坐标为（，，则过点C的直线表达式为＝，将点A坐标代入上式，解得

，则：直线AC的表达式为：y

+2（）图，过作x轴的垂线交于点H．四边形面eq\o\ac(△,)的积eq\o\ac(△,+)eq\o\ac(△,)ACP的积，四边形AOCP面最时，只需eq\o\ac(△,)ACP的面积最大即可，设点P坐标为m，

1m2m+2），则G坐标为mm），3S

ACP

11PG•（m2+2m﹣）m﹣m，当＝3时上式2632

========取得最大值，则点P坐为（﹣3

）．连接交称轴于点M，此时，﹣|最大值，直线的表达式为y

，当x﹣时，y，：点坐为（﹣，3

），PM﹣|的大值为：

(2))

2

=．（）在．AE，＝ADC＝，＝，≌DCM），＝DM，＝，设：EM＝，则：MC＝﹣．eq\o\ac(△,)DCM中由勾股定理得：MC＝DC+MD，：6﹣）2＝

2a2，解得：

，则：MC，点D作x轴的垂线交x轴于点N，EC于．eq\o\ac(△,)中

8DH•MCMD•，即：3

2，则：DH

6，，：点D的坐标为（，）；55设eq\o\ac(△,)沿直线AC平了m个单位，则：点坐（6

，1010

），点D坐标为（

63m18，510

），而点坐为（﹣，），则'D'

=

())

=36，AE2

(

mm)22m101010

，

=

(

243m32m128))2m510510105

．eq\o\ac(△,)′ED为直角三角形，分三种情况讨论：①当A'D'2

+

'E

=

时，36+

m

2

432m128210

10，解得m=，此时D（

618m，510510

）为（，；②当A'D'2

+

'

=

'E

时，36+

m

2

32m128mm10510

，解得：

++m=

，此时（

618m，510510

）为（－，2）；③当A'E

+

=

'D'

时，

m

2

432m128210

=36，得m=

或=

，此时（

618m，510510

）为（－6，）（-，）．综上所述：坐为：（，）或（62）（

-

，）．【点睛】本题考查了二次函数知识综合运用，涉及到一次函数、图形平移、解直角三角形等知识，其中（）图是本题难点，其核心是确定平移后A′、的坐标，本题难度较大．14．图，直线过点，．

与轴于点，轴于，物线为轴一动点，过点且直轴直线分别交直线

经及抛物线于点，．（）空：点的坐标为，物线的解析式为；（）点在段

上运动时（不与点，重合）①当为何值时，线段

最大值，并求出

的最大值；②求使

为直角三角形时的；（）抛物线有且只有三个点到直线构成的四边形的面积．

的距离是，请直接写出此时由，，，【答案】（）

，；（）当

时，

有最大值是3；②使

为直角三角形时的为3或

；（），，，构成的四边形的面积为6或【解析】【分析】

或

.

（）点A坐标代入直线表达式y＝表达式，即可求解；（）设：点P（，）（，

，求出＝，点AB的坐标代入二次函数）求出PN值表达式，即可求解；分BNP＝、NBP＝BPN＝三情况，求解即可；（）抛物线有且只有三个点N到直线AB的离，则只能出现：在AB直下方抛物线与过点的线与抛物线有一个交点N，直线AB上的交点两个，分别求解即可．【详解】解：（）点坐标代入直线表达式

，解得：则点坐标为

，则：直线表达式为：，

，令，：，将点的坐标代入二次函数表达得：

，把点的标代入二次函数表达得：解得：，

，故：抛物线的解析式为：

，故：答案为：

，

；（）

在线段

上，且

轴，点

，

，

，

，抛线开口向下当②当把

时，有最大值是，时，点的纵坐标为，代入抛物线的表达式得：；

，解得：

或0（去）当设：直线

时，的表达式为：

，两直线垂直，其值乘-，，把点的坐标代入上式，解得：

，则：直线

的表达式为：，

将上式与抛物线的表达式联立并解得：

或（舍去）当故：