上海市复旦附中高一(上)数学期末试卷 及解析

21a33t1+220000221a33t1+2200002学年上海市旦附中高（上）期末学试卷一.填空1分）函数fx）

的定义域是．2分）函数y=x+（﹣1x≤的反函数是f（x）=3分）设，，则fx）g（）=

．．4分）若正数a、满足log（4b）=﹣1，则+b的最小值为．5分）幂函数f（）=t﹣t+x是奇函数，则2）=

．6分）函数7分）函数y=

的单调递减区间是．的值域是．8分）设关于x的方程|x﹣6x+5=a的不同实数解的个数为n，实数a变化时，n的可能取值组合的集合为．9分）对于函数（x）++4，若存在x∈，使得f（），则称x是fx）的一个不动点已知f（x）在x∈[1，3]恒有两个不同的不动点，则实数a的取值范围．10分）若函数（x）|x﹣1|+mx﹣6|﹣3在x=2时取得最小值，则实数m的取值范围是．11分已知函数（x是定义在R上的奇函数当x＞0时（=x﹣+a，其中a∈R．①f﹣1=

；②若f）的值域是R，则a的取值范围是．12分）已知函数解析式为ft=．

，∈[1，的最大值为（tt的二.选择13分）下列函数中，在区间（，+∞）上为增函数的是（）

2﹣0.521122A．2﹣0.521122

．y=（x﹣1）C．y=x

2

Dy=log（x+114分）已知函数y=x﹣2x+3在闭区间[0，]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（）A．[1+∞）B．0，2]C．[1，2D∞，2]15分如果函数（x图上任意一点的坐（xy都满足方程（x+）=lgx+lgy，那么正确的选项是（）A．y=f）是区间（0+∞）上的减函数，且x+y≤B．（）是区间（，+∞）上的增函数，且x+≥4．y=fx）是区间（+∞）上的减函数，且x+y≥Dy=f）是区间（1，∞）上的减函数，且x+y≤16分）若函数f（）的反函数为f﹣（x函数f（x﹣1）与f（x﹣1）的图象可能是（）A．

B．

．

D．三解答题17．已知关于x的不等式log（﹣2x+3x+t＜其中t．（1）当t=0时，求该不等式的解；（2）若该不等式有解，求实数t的取值范围．18．已知函数（＞0（1）求函数f（）的反函数（2）若x≥2时，不等式

﹣

1

（x

恒成立，求实数a的范围．19某市环保部门对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后发现一天中环境综合污染指数（x）与时刻（时）的关系为24中a是与气象有关的参数，且为当天的综合污染指数，并记作M（

，∈[0．若用每天（x）的最大值（1）令t=

，x∈[0，24t的取值范围；（2）求M（）的表达式，并规定当a≤时为综合污染指数不超标，求当a在什么范围内时，该市市中心的综合污染指数不超标．

221212220．指数函数（x）满足（2）=4，且定义域R2212122

是奇函数．（1）求实数mn的值；（2）若存在实数，使得不等式f（﹣）+（2t﹣k）＞0成立，求实数k的取值范围．21．设集合M为下述条件的函数f）的集合：①定义域为R；②对任意实数x、x（x≠x有．（1）判断函数f（）=x是否为M中元素，并说明理由；（2）若函数f（）是奇函数，证明：x）；（3）设f（）和g（）都是M中的元素，求证：（x）=

也是M中的元素，并举例说明（x=

不一定是M中的元素．

212aa212aa学上市旦中一上）期数试参考答案与试题解析一.填空1分）函数fx）

的定义域是{x|x≥﹣且x≠1}．【解答】解：由题意，要使函数有意义，则解得，x≠且≥﹣2故函数的定义域为：{x|x≥﹣2且≠1}，故答案为：{x|≥﹣2且x≠．

，2分）函数y=x+2（﹣1≤≤0的反函数是f﹣（）=∈[2，3．【解答】解：∵y=x+2﹣1≤x≤

，x∴x=﹣

，2≤≤3，故反函数为故答案为：

，x∈23]．，x∈23]．3分设，

则（（x=xx（+∞）．【解答】解：∵，，∴f）的定义域是（1，+∞（）的定义域是[1+∞∴f）•g（x）=x，x∈（+∞故答案为：x，∈（1，+∞4分）若正数a、满足log（4b）=﹣1，则+b的最小值为【解答解根据题意若正数b满足log（4b=1则有a=则a+b≥=1，

1

．即ab=，

33t+33t+342﹣22x即a+b的最小值为1故答案为：1．33t+33t+342﹣22x5分）幂函数f（）=t

﹣t+x

1

是奇函数，则f（2）=2．【解答】解：函数f（）=（t﹣t+x

是幂函数，∴t﹣t+，解得t=0或t=±1；当t=0时，fx）=x是奇函数，满足题意；当t=1时，fx）=x是偶函数，不满足题意；当t=1时，fx）=x综上，f）=x；∴f2=2故答案为：2．6分）函数【解答】解：要求函数

是偶函数，不满足题意；的单调递减区间是（﹣2，1．的单调递减区间，需求函数y=

2x﹣x＞0）的增区间，由8+2x﹣x＞0可得﹣＜x＜对应的二次函数，开口向下，增区间为4区间为，1]．由复合函数的单调性可知：函数故答案为21]．

的单调递减区间是，1]．7分）函数y=

的值域是（﹣1）．【解答】解：函数y=∵2+3＞3，

==1

．∴0＜∴函数y=

．的值域是（﹣1）

222200002222故答案为（﹣1，）2222000022228分）设关于x的方程|x

﹣6x+5=a的不同实数解的个数为n，当实数a变化时，n的可能取值组合的集合为{02，4}．【解答】解：关于x的方程|x﹣6x+5=a分别画出y=|x﹣6x5与y=a的图象，如图：①若该方程没有实数根，则a＜0；n=0；②若a=0，则该方程恰有两个实数解n=2；③若a=4时，该方程有三个不同的实数根，；④当0＜a4该方程有四个不同的实数根，；⑤当a＞4该方程有两个不同的实数根，n=2n的可能取值组合的集合为023，4故答案为：{0，2，3，．9分）对于函数（x）++4，若存在x∈，使得f（），则称x是fx）的一个不动点已知f（x）在x∈[1，3]恒有两个不同的不动点，则实数a的取值范围．【解答】解：根据题意，f（）=x+ax+4在[1，3]恒有两个不同的不动点，得x=x+ax+在[1，3]有两个实数根，即x

+（a﹣1+4=0在[3]有两个不同实数根，令g（x）=x+（a﹣1）+4在[1，3有两个不同交点，

2222∴，即，解得：a∈[﹣故答案为：[﹣

，﹣3，﹣310分）若函数（x）|x﹣1|+mx﹣6|﹣3在x=2时取得最小值，则实数m的取值范围是[5，+∞）．【解答】解：当x＜时，fx）x2m﹣+186x=19+2m﹣m+7x，当1≤x＜2时（=x﹣+2m﹣x+6x=17+2m（m+5x（=12+，2≤x＜3时，fx）﹣1+mx﹣2m+18﹣6x=17﹣2m+（﹣5x，（=7当x≥时，f）=x﹣1mz﹣2m+6x﹣18=﹣19﹣（m+7x，（3）=m2，若函数f）=|x﹣1m|x﹣2|+6x﹣在x=2时取得最小值，则解得m≥5故m的取值范围为[5+∞故答案为：[5，+∞11分已知函数（x是定义在R上的奇函数当x＞0时（=x﹣+a，其中a∈R．①f﹣1=

﹣1

；②若f）的值域是R，则a的取值范围是（﹣∞，0]∪[4，+∞）．【解答】解：①函数f（）是定义在R上的奇函数，当x＞时，f）=x﹣ax+，其中a∈R，f﹣1）=f（=（a+a）=1②若f）的值域是R，

222222由f）的图象关于原点对称，可得当x＞时，f）=x﹣ax+，图象与x轴有交点，222222可得

2

﹣4a0解得a≥4或a≤0即a的取值范围是（﹣∞，0]∪[4+∞故答案为：①﹣1

②（﹣∞，0]∪[4，+∞12分）已知函数解析式为ft=

，∈[1，的最大值为（tt的．【解答】解：根据题意，函数其导数g′（）=（t﹣+=令h）=（t﹣x4

，

，令h）=0即（t﹣）x+4=0可得，x=分5种情况讨论，

，①，t1时，hx）（t﹣）x

+4为开口向上的二次函数，在12]上，有h（x）＞，则有g′（）＞0函数g（x）为增函数，则g（x）在[1，2]上的最大值为g（2=2t﹣1）﹣=2t﹣②，t=1时，hx）=4，在[，2]上，有h（x）＞0则有g′（）＞0函数g（x）为增函数，则g（x）在[1，2]上的最大值为g（2=2t﹣1）﹣=2t﹣③，0≤t＜时，h（）=（t1）x+4为开口向下的二次函数，且h0=4且h2=t＞，则在[1，2]上，有（）＞0则有g′（）＞0函数g（x）为增函数，

222220.5220.5则g（x）在[1，2]上的最大值为g（2=2t﹣1）﹣=2t﹣222220.5220.5④，当﹣3＜t＜时，（x）=（t﹣）x+4为开口向下的二次函数，令h）=0即（t﹣）x+4=0可得x=±

，有1＜则有在[1，

＜2，）上，有（x）＞，则有（x）＞函数（x）为增函数，在（

，2]上，有hx）＜则有g′（x）＜，函数g（x）为减函数，此时g（x）在[1，2上的最大值为g（

）=﹣4

，⑤，当t﹣3时，h（）=（t﹣1x+4为开口向下的二次函数，令h）=0即（t﹣）x+4=0可得x=±

，此时≤1在[1，2上，有hx）＜则有g′（）＜0函数g（x）为减函数，此时g（x）在[1，2上的最大值为g（1）=t﹣综合可得：；故答案为：

．二选择题13分）下列函数中，在区间（，+∞）上为增函数的是（）A．

．y=（x﹣1）C．y=x

2

Dy=log（x+1【解答】解：A.

在（0，∞）上是增函数，满足条件，B．（x﹣1）在（﹣∞，1]上为减函数，在[1+∞）上为增函数，不满足条件．．y=x在（0，+∞）上为减函数，不满足条件．Dy=log（+1）在（+∞）上为减函数，不满足条件．故选：A．

221214分）已知函数y=x﹣2x+3在闭区间[0，]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（）2212A．[1+∞）B．0，2]C．[1，2D∞，2]【解答】解：作出函数f（）的图象，如图所示，当x=1时，y最小，最小值是2当x=2时，y=3函数f）=x﹣2x+3在闭区间[0，m上上有最大值3最小值2，则实数m的取值范围是[12]．故选：．15分如果函数（x图上任意一点的坐（xy都满足方程（x+）=lgx+lgy，那么正确的选项是（）A．y=f）是区间（0+∞）上的减函数，且x+y≤B．（）是区间（，+∞）上的增函数，且x+≥4．y=fx）是区间（+∞）上的减函数，且x+y≥Dy=f）是区间（1，∞）上的减函数，且x+y≤【解答】解：由lg（x+y）=lgx+lgy，得，由x+y=xy得：解得：x+≥4

，再由x+y=xy得：设x＞x＞1，

（x≠则

=

．

1221212﹣11﹣11222222因为x1221212﹣11﹣11222222所以x﹣x0，x﹣1＞．则，即fx）＜fx所以y=f）是区间（1，∞）上的减函数，综上，y=fx）是区间（1，+∞）上的减函数，且x+y≥4．故选：．16分）若函数f（）的反函数为f

﹣

1

（x函数f（x﹣1）与

1

（x﹣的图象可能是（）A．

B．

．

D．【解答】解：函数f（﹣1是由fx）向右平移一个单位得到，f（x﹣1由f﹣（x）向右平移一个单位得到，而f）和f﹣（x）关于y=x对称，从而（﹣1）f

﹣

（x﹣的对称轴也是由原对称轴向右平移一个单位得到即y=x﹣排除B，；A，C选项中各有一个函数图象过点（2，0平移前的点坐标为（，0反函数必过点01移后的反函数必过点1此得选项有可能，C选项排除；故选：A．三解答题17．已知关于x的不等式log（﹣2x+3x+t＜其中t．（1）当t=0时，求该不等式的解；（2）若该不等式有解，求实数t的取值范围．【解答】解关于的不等式log（﹣2x+3x+t＜0当t=0时，不等式为log（﹣2x+3x）＜0即0＜﹣2x

2

+3x＜1

222222122222222122等价于，解得，即0＜x＜或1x＜；∴不等式的解集为（0，）∪（1（2）不等式log（﹣2x

+3x+t＜0有解，∴0＜﹣2x+3x+t1，化为2x﹣3x＜t2x﹣+1；设f）=2x﹣3x，x∈R，∴f）=f（）=，且fx）无最大值；∴实数t的取值范围是（﹣，+∞18．已知函数（＞0（1）求函数f（）的反函数（2）若x≥2时，不等式

﹣

1

（x

恒成立，求实数a的范围．【解答】解∵y=（

）

2

=（1+）

2

（x＞y＞2分）由原式有：

=

，∴x+

x∴x=

（2分）∴f

﹣

1

（x）

，x∈（1，+∞分）（2）∵（x﹣1）f（x）＞a（a﹣

）∴（x﹣

＞a（a﹣

＞0）∴（∴

+1+1＞a﹣a

﹣1

＞a（a﹣）∴（a+1＞a﹣12分）①当a+10即a＞﹣1时②当a+10即a＜﹣1时

＞a﹣1对x≥2恒成立﹣1a＜＜a﹣1对x≥2恒成立

+1

2∴a＞+1此时无解（3分）2综上﹣1＜aa∈

+1分）．19某市环保部门对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后发现一天中环境综合污染指数（x）与时刻（时）的关系为24中a是与气象有关的参数，且为当天的综合污染指数，并记作M（

，∈[0．若用每天（x）的最大值（1）令t=

，x∈[0，24t的取值范围；（2）求M（）的表达式，并规定当a≤时为综合污染指数不超标，求当a在什么范围内时，该市市中心的综合污染指数不超标．【解答题满分14分）本题共有2个小题，第小题满分（分2小题满分（9分解当x=0时，t=0

…（2分）当0＜x＜24时，因为x+12x＞0，所以

，…（4分）即t的取值范围是

．

…（5分）（2）当所以

时，由（1，则，…（1分）=…（3分）于是，g（t在t∈[，a]时是关于t的减函数，在

时是增函数，因为

，

，由

，所以，当

时，

；当即

时，

，…（6分）由Ma）≤2解得．…（8分）

22x222222所以，当22x222222

时，综合污染指数不超标．

9分）20．指数函数（x）满足（2）=4，且定义域R的函数

是奇函数．（1）求实数mn的值；（2）若存在实数，使得不等式f（﹣）+（2t﹣k）＞0成立，求实数k的取值范围．【解答】解∵指数函数y=g（x）满足：（2=4∴g（x）=2；∴f）=

是奇函数．∵f）是奇函数，∴f0=0即

=0∴n=1；∴f）=

，又由f1=﹣f（﹣）知∴m=2；（2）由（1）知f（x）

=﹣，=﹣

=﹣+易知f）在（﹣∞，+∞）上为减函数．又∵f）是奇函数，从而不等式：ft

2

﹣2t）+2t

2

﹣k）＞等价于ft

2

﹣2t）＞﹣f（2t

﹣k）（﹣2t∵f）为减函数，∴t﹣2t＜﹣2t，∴＞3t﹣2t=3（t﹣），∴＞﹣．

121222221212221212112221212111212222212122212121122212121122212121221212121212121212121．设集合M为下述条件的函数f）的集合：①定义域为R；②对任意实数x、x（x≠x有．（1）判断函数f（）=x是否为M中元素，