线性空间与线性变换

线性空间与线性变换第一页，共八十四页，2022年，8月28日知识脉络图解集合与映射线性子空间基本性质基与维数元素的坐标线性空间的定义生成子空间基变换与坐标变换子空间的交与和子空间的直和线性空间分解为子空间的直和同构映射线性空间的同构向量空间第二页，共八十四页，2022年，8月28日重点、难点解读线性空间是我们第一次用公理化的方法来定义的数学结构，即将一个具有加法与数乘运算且这些运算封闭，并满足八条算律的集合定义为线性空间。应该说这是在数学思想方法上是一次新的飞跃。有了这一概念，我们就可以用统一的方法来处理许多数学对象。本章的重点之一是线性空间的基与维数。因为在确定了有限维线性空间的基之后，一方面明晰了线性空间的结构（由基生成整个线性空间），另一方面将线性空间中抽象的元素及规定的运算与中具体的向量及向量的运算相对应，因此可归结为对中向量的讨论，即它们具有相同的代数结构。第三页，共八十四页，2022年，8月28日本章的另一个重点与难点是子空间的和与直和。能够将一个线性空间分解为若干个子空间的直和，则这个线性空间的研究就归结为若干个较简单的子空间的研究。应掌握直和的概念和等价条件。一、线性空间的判定1、线性空间的定义对于线性空间的定义，我们应注意以下几点：①线性空间具有一般性，其中的元素不一定是通常意义下的向量，可以是数、矩阵、多项式、函数等。②线性空间具有抽象性，这主要体现在两个运算上，其中加法与数乘未必就是我们所熟悉的数、矩阵、多项式、函数的加法与数乘运算，之所以这样称呼，是因为所定义的这两种运算满足通常的加法与数乘运算所具有的运算规律。在同一非空集合及同一数域上按不同规则来定义这两种运算，所构成的线性空间是不同的。第四页，共八十四页，2022年，8月28日③线性空间定义中，当取不同的数域时，线性空间的定义形式不改变，但线性空间中的一些性质，如线性相关性、维数等，一般要改变。要验证一个非空集合是线性空间，除了需要验证其元素对所规定的加法与数乘运算封闭外，还需逐一验证这两种运算应满足的八条算律；而要否定一个非空集合是线性空间，只要说明两个封闭性及八条算律中有一条不成立即可。2、线性空间的简单性质（1）零元素是唯一的；（2）任意元素的负元素是唯一的；（3）（4）如果，则或第五页，共八十四页，2022年，8月28日（1）V是实数域上的线性空间；并指出什么函数是零元素；的负元素是什么函数；（2）证明：V不是有限维线性空间。证首先可证V关于加法与数乘封闭。显然，和仍为定义在闭区间上的实函数，所以，再验证加法应满足的4条算律：有例1、设V是定义在闭区间上所有实函数的集合，在V上定义的加法为：对为函数定义实数乘函数为第六页，共八十四页，2022年，8月28日这4条中，只证，对，有最后验证数乘满足的4条算律：也只证第一式。对，有规定零函数为则规定的负元素为则第七页，共八十四页，2022年，8月28日综上即证V是R上的线性空间，零元素是零函数，即的负元素为（2）下证，即证存在任意多个线性无关的函数。令即V不是有限维线性空间。则可证线性无关，由于任意大，所以而故第八页，共八十四页，2022年，8月28日例2、设是数域P上的线性空间，对规定（1）证明：关于以上运算构成P上的线性空间；（2）设，求证（1）由加法的定义知对加法封闭，并容易验证加法满足交换律与结合律。且设分别是中的零元，则是的零元。对存在使得第九页，共八十四页，2022年，8月28日其次由数乘的定义知对数乘封闭，且都成立。所以是P上的线性空间。（2）设是的一组基，是的一组基。令先证个向量，线性无关。令第十页，共八十四页，2022年，8月28日即于是故线性无关。又对，有，其中有从而即可由线性表示，它们为的一组基，从而第十一页，共八十四页，2022年，8月28日二、线性子空间的判定1、线性子空间的概念设V是数域P上的线性空间，W是V的一个非空子集合，如果W对于V的两种运算也构成P上的线性空间，则称W为V的一个线性子空间。由V的一组元素的所有可能的线性组合构成的集合构成V的一个子空间，称之为由生成的子空间，记为验证线性空间V的非空子集W是否构成子空间，只要验证W对于V的两种线性运算的封闭性。第十二页，共八十四页，2022年，8月28日2、线性子空间的有关结果（1）如果数域P上的线性空间V的非空子集W对于V的两种线性运算封闭，即对于任意有又对于任意有，则W是V的子空间。（2）设（Ⅰ）：和（Ⅱ）：是线性空间V中的两组元素，如果元素组（Ⅰ）可由（Ⅱ）线性表示，则而的充分必要条件是元素组（Ⅰ）与（Ⅱ）等价。（3）设和是线性空间V的两个子空间，则它们的交也是V的子空间。注两个子空间的并一般未必是子空间。第十三页，共八十四页，2022年，8月28日例1、设是数域P上全体维向量组成的线性空间，证明：的任意子空间W，必至少是一个元齐次线性方程组的解空间。证设，取W的一组基，则其中为维列向量。令则，作齐次线性方程组可得它的基础解系（其中为维列向量），则有即令作齐次线性方程组第十四页，共八十四页，2022年，8月28日由于，所以的解空间是维的。由知为元齐次线性方程组的解空间的一组基。故W是的解空间。例2、设是维线性空间V的真子空间。证明V中必有向量不在所有个空间中。证对用数学归纳法。时，结论显然正确。若，得证。否则，，必存在。我们证明存在正整数使对所有的成立。设结论对成立，证明结论对亦成立。由归纳假设，存在首先注意。否则，我们有，矛盾。我们证明上述断言成立，只需证明存在正整数，使对成立即可。第十五页，共八十四页，2022年，8月28日否则对任意的正整数，都存在使。取是个不同的正整数，则是中的某个数。于是必存在，使，故即其中于是这与矛盾。三、线性（子）空间的基与维数设V是数域P上的线性空间。如果V中有个元素线性无关，且，可由唯一线性表示，即则称为V的一组基，称为线性空间V的维数，称在基下的坐标。记为第十六页，共八十四页，2022年，8月28日设是线性空间V中的一组元素，则且元素组的任一极大线性无关组都是生成子空间的基。设W是数域P上维线性空间V的一个维子空间，是W的一组基，则这组元素必可扩充成V的一组基。即在V中必可找到个元素使得是V的一组基。例1、已知向量空间（1）求V的基和维数；（2）求V的一组标准正交基。第十七页，共八十四页，2022年，8月28日解由V的构成可知，V是4元齐次线性方程组的解空间，它的基就是该方程组的基础解系。因为故它的基础解系为所以，V是2维向量空间，是V的一组基。由Schmidt正交化方法，可求得V的标准正交基第十八页，共八十四页，2022年，8月28日例2、设线性空间V中的元素组线性无关。求元素组生成的线性空间W的一组基以及W的维数。解令因为又则线性相关。由于A的左上角有一个3阶子式不为零，故线性无关。所以，为W的一组基，且第十九页，共八十四页，2022年，8月28日解设和的解空间分别为因为的解一定是的解，此即又有，根据题设知，例3、设方阵与的秩相等，证明：元线性方程组和同解。所以故此即结论成立。例4、若以表示实系数多项式，试证：是实数域上的线性空间，并求出它的一组基。证记为实系数多项式的全体，且是R上的线性空间。第二十页，共八十四页，2022年，8月28日有从而故即证W是的子空间。从而W为实数域上的线性空间。任取，则由知即代入得令①由于且所以由①式表明可由线性表示。因为，所以W非空。第二十一页，共八十四页，2022年，8月28日整理得由线性无关得，故线性无关。综上可知为W的一组基，且四、求子空间的交与和的基与维数1、子空间的和设与是线性空间V的两个子空间，集合称为与的和，记为下证线性无关。令第二十二页，共八十四页，2022年，8月28日（2）维数定理设和是线性空间V的两个子空间，则3、求子空间的交与和的基与维数的方法设和是线性空间V的两个子空间，为求出与的基与维数，一般先将与用生成子空间来表示，即此时易知2、子空间的和的有关结论（1）设与是线性空间V的两个子空间，则也是V的子空间。第二十三页，共八十四页，2022年，8月28日为求的基与维数，可设，即且，于是从而可见问题转化为确定满足上述条件的和另外，也可利用维数公式可见求的基与维数可转化为求元素组的极大线性无关组与秩。第二十四页，共八十四页，2022年，8月28日例1、若维线性空间的两个子空间的和的维数减1等于它们交的维数。证明：它们的和与其中之一个子空间相等，它们的交与其中另一个子空间相等。证设这两个子空间分别为和，由假设可得①设，由式①有于是只有两种可能：（1）当时，有但从而此时故即证结论。第二十五页，共八十四页，2022年，8月28日（2）当时，由式①知但从而故于是结论也得证。综上可知结论成立。例2、设V是复数域上维线性空间，和各为V的维和维子空间，试求之维数的一切可能值。解设的一组基，再取的一组基则而故第二十六页，共八十四页，2022年，8月28日四、求过渡矩阵及坐标1、过渡矩阵的概念设V是数域P上的维线性空间，和是V的两组基，它们之间的关系式称为基变换公式。基变换公式可形式地写为其中称为由基到的过渡矩阵。第二十七页，共八十四页，2022年，8月28日2、过渡矩阵的有关结论（1）过渡矩阵都是可逆的；3、坐标变换公式（2）如果由基到的过渡矩阵为，则由基到的过渡矩阵为设V是数域P上的维线性空间，是由V的基到基的过渡矩阵，则V中元素在基下的坐标和在基下的坐标满足关系式或第二十八页，共八十四页，2022年，8月28日例1、设的两组基为（Ⅰ）（Ⅱ）（1）求由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵；（2）求在基（Ⅰ）与基（Ⅱ）下有相同坐标的矩阵。解（1）取的基，则有其中第二十九页，共八十四页，2022年，8月28日于是即由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵为（2）设在基（Ⅰ）到基（Ⅱ）下的坐标为则由坐标变换公式得，即可求得该齐次线性方程组的通解为（任意）于是（任意）第三十页，共八十四页，2022年，8月28日例2、设和为线性空间的两组基，且又对有记有解应选这是因为令则有从而，有即故第三十一页，共八十四页，2022年，8月28日所以五、子空间直和的判定与证明1、直和的概念设与是线性空间V的两个子空间，如果与的和满足条件①②则称这个和为直和，记为在判定两个子空间与的和是直和时，应熟练应用直和的等价条件，特别是或第三十二页，共八十四页，2022年，8月28日例1、设阶方阵两两可交换，且满足记的解空间为，的解空间为，的解空间为。证明：证对任意，有，且其中注意到两两可交换，从而可见故再证为直和。任取，即且，也即则可见故第三十三页，共八十四页，2022年，8月28日例2、设V是数域P上的一个维线性空间，是V的一组基，用表示由生成的子空间；令（1）证明：是V的子空间；（2）证明：证因为，所以，是V的非空子集。有，且从而第三十四页，共八十四页，2022年，8月28日即证是V的子空间。（2）令，则。因为所以取，先证它们线性无关。设整理得由是基得。故线性无关。对，其中，有于是即可由线性表示，故第三十五页，共八十四页，2022年，8月28日再证对，有其中于是由是基得即有从而即，故即证于是又因为且第三十六页，共八十四页，2022年，8月28日例3、设P是数域，和分别是齐次线性方程组和的解空间。证明：的充分必要条件是只有零解。解充分性若只有零解，则于是有即所以故又因为且第三十七页，共八十四页，2022年，8月28日故必要性已知若有非零解则即这与矛盾。从而只有零解。第三十八页，共八十四页，2022年，8月28日六、线性空间同构的判断与证明1、同构的概念设与是数域P上的两个线性空间，如果可以建立到的一个双射，且对任意有2、同构映射的有关结论则称为同构映射，而称线性空间与同构。设是数域P上线性空间与的同构映射，则（1）（是的零元素），（2）线性相关的充分必要条件是线性相关；第三十九页，共八十四页，2022年，8月28日（3）（4）如果是的子空间，则是的子空间，且与的维数相等；（5）同构映射的逆映射及两个同构映射的乘积还是同构映射。3、同构线性空间的有关结论（1）同构的线性空间具有反身性、对称性和传递性；（2）数域P上任一维线性空间都与同构。取定的一组基后，对任意有则就是到的一个同构映射；（3）数域P上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们具有相同的维数。第四十页，共八十四页，2022年，8月28日4、同构的判断方法要判定两个线性空间同构时，需要找到它们的同构映射；而当两个线性空间都是有限维时，也可以通过它们的维数是否相等来判定同构。例1、证明：线性空间可以与它的一个真子空间同构。证记数域P上所有常数项为零的多项式构成的线性空间为V。显然，且V中的多项式都可以表示为，其中，构造到V的映射由于对任意，当时，即是单射，显然是满射，从而是双射。第四十一页，共八十四页，2022年，8月28日又因为故是到V的同构映射，于是与它的真子空间同构。第四十二页，共八十四页，2022年，8月28日线性变换反映了线性空间中元素之间的一种基本联系，主要了解和掌握线性变换的运算、线性变换的矩阵表示，通过学习要认识到线性变换和矩阵是同一事物的两种表现形式，进一步体会矩阵的重要性。（二）线性空间第四十三页，共八十四页，2022年，8月28日知识脉络图解线性变换的定义线性变换的矩阵不同基下线性变换的矩阵的关系相似矩阵矩阵的特征值与特征向量矩阵的相似化简线性变换的本征值与本征向量找合适的基化简线性变换的矩阵线性变换的基本性质线性变换的运算值域与核哈密尔顿—凯莱定理不变子空间化简为对角矩阵化简为准对角矩阵第四十四页，共八十四页，2022年，8月28日重点、难点解读本章首先对线性变换进行了初步的讨论，其次考虑的是基的变换对于线性变换的矩阵的影响，从而引出了矩阵相似的概念。由此自然会想到如何选择一个基使线性变换在该基下的矩阵具有尽可能简单的形式。这一问题的解决依赖于线性变换及矩阵的特征值和特征向量的概念与计算。如果一个线性变换具有足够多的线性无关的特征向量，就可以有一个由特征向量组成的基，而线性变换在这一基下的矩阵就是对角矩阵。可惜的是并非所有的线性变换具有这一性质。对于一般的线性变换只能化为准对角矩阵的形式、且与空间的分解密切相关。不变子空间的引入正是为讨论空间的分解服务的。第四十五页，共八十四页，2022年，8月28日线性变换与矩阵的特征值和特征向量的概念及计算是本章的重点，其计算涉及行列式计算、多项式求根、解齐次线性方程组等，综合性很强；对其性质的了解和掌握对于证明各种类型的结论是很有帮助的。可对角化的矩阵和线性变换是一类特殊的也是重要的矩阵与变换，要掌握它们的判别条件，并能够找到相似变换矩阵即合适的基将其对角化，但这一过程本质上还是求特征值及特征向量。第四十六页，共八十四页，2022年，8月28日一、线性变换的判定与证明1、线性变换的概念设V是数域P上的线性空间，是V上的线性变换，如果对于都有则称为V的一个线性变换。如下两种变换分别称为V中的恒等变换及零变换，它们都是V的线性变换。2、线性变换的基本性质（1）（2）线性变换保持线性组合与线性关系不变，即若则第四十七页，共八十四页，2022年，8月28日又若之间有一线性关系则它们的像之间也有同样的关系（3）线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组。注①利用可知不是线性变换。②线性变换可能把线性无关的向量组变成线性相关的向量组，如零变换就是这样。但如果线性变换是一个单射，则它把线性无关的向量组变成线性无关的向量组。第四十八页，共八十四页，2022年，8月28日例1、设线性空间V是子空间的直和，即对，有，其中定义V到的投影变换为证明：（1）是线性变换；（2）证（1）有其中于是故是V上的线性变换。（2），有故第四十九页，共八十四页，2022年，8月28日二、求线性变换的矩阵设V是数域P上的维线性空间，是V的一组基。（1）如果V的线性变换和在基上的作用相同，即则（2）对V中的任一组向量，存在唯一的线性变换使（3）设是V的线性变换，基的像可以被基线性表示第五十页，共八十四页，2022年，8月28日用矩阵乘法形式表示为其中则称矩阵A为在基下的矩阵。2、线性变换在不同基下的矩阵设V是数域P上的维线性空间，和是V的两组基，且设V的线性变换在基下的矩阵为A，在基下的矩阵为B，即第五十一页，共八十四页，2022年，8月28日则即同一线性变换在不同基下的矩阵是相似的，且相似变换矩阵恰为两组基之间的过渡矩阵。在有限维线性空间中，求出线性变换在某组基下的矩阵后，不仅建立了线性变换与矩阵的对应，而且这个对应还能保持线性变换的和、数乘、乘积分别对应矩阵的和、数乘、乘积；可逆变换对应可逆矩阵、逆变换对应逆矩阵等，这就为我们用矩阵方法来研究线性变换提供了依据。第五十二页，共八十四页，2022年，8月28日例1、设是由次数小于5的一切实系数一元多项式组成的线性空间，对于中任意，以除所得商及余式分别为和，即设是到的变换，使①试证是一个线性变换，并求它在基下的矩阵。证对，用除所得的商式与余式分别为则第五十三页，共八十四页，2022年，8月28日从而所以是上的线性变换。又由式①知故其中第五十四页，共八十四页，2022年，8月28日例2、已知3维线性空间V的基（Ⅰ）和基（Ⅱ）又V的线性变换满足（1）求在基（Ⅱ）下的矩阵；解（1）将已知条件写成形式记法，有（2）求在基（Ⅰ）下的坐标。其中第五十五页，共八十四页，2022年，8月28日于是其中从而即在基（Ⅱ）下的矩阵为第五十六页，共八十四页，2022年，8月28日（2）因为所以，在基（Ⅰ）下的坐标为第五十七页，共八十四页，2022年，8月28日三、线性变换的运算及相应的矩阵设V是数域P上的线性空间，是V的两个线性变换。1、线性变换的运算（1）与的和定义为（2）P中的数与的数量乘法定义为则线性空间V上线性变换的全体，对于如上定义的加法与数乘构成数域P上的线性空间。记为（3）与的乘法定义为注线性变换的乘积仍是V的线性变换。但乘法交换律一般不成立。第五十八页，共八十四页，2022年，8月28日（4）逆变换对于线性变换，如果存在，使得（为L上的单位变换）则称是可逆的，并称为的逆变换，记为注线性变换若可逆，则其逆变换也为线性变换；线性变换可逆的充分必要条件是为双射。（5）线性变换的方幂与多项式个线性变换的乘积称为的次幂。记为设，定义并称之为线性变换的多项式。注一般来说；的多项式的加法和乘法与中的加法和乘法是一致的。第五十九页，共八十四页，2022年，8月28日2、线性变换运算的矩阵设V的线性变换与在基下的矩阵分别是A与B，则（1）在基下的矩阵为（2）在基下的矩阵为（3）在基下的矩阵为（4）可逆的充分必要条件是A可逆，且在基下的矩阵为（5）设在基下的坐标为则在基下的坐标满足第六十页，共八十四页，2022年，8月28日求线性变换的和、乘积及逆变换等可以直接根据定义，也可以分别求出所给的线性变换在某组基下的矩阵，将问题转化为相应矩阵的运算。例1、设是线性空间V的一组基，且（1）证明：是可逆线性变换；（2）求在基下的矩阵。证（1）由假设知因为，所以A可逆，故是可逆线性变换。第六十一页，共八十四页，2022年，8月28日（2）可求得，设在基下的矩阵为B，则例2、设V是维线性空间。证明：V中任意线性变换必可表为一个可逆线性变换与一个幂等变换的乘积。解设是V的任意一个线性变换，且在V的基下的矩阵为A，即第六十二页，共八十四页，2022年，8月28日设，则存在阶可逆矩阵P，Q使于是其中为可逆矩阵，满足即C为幂等矩阵。再作V的两个线性变换如下第六十三页，共八十四页，2022年，8月28日则故，其中可逆（因为B可逆），（这是因为）。注A=BC是一种矩阵分解，它是可逆—幂等分解。四、求线性变换的像空间与核空间1、线性变换的像与核设V是数域P上的线性空间，是V的线性变换，由的全体像组成的集合称为的像。记为所有在的作用下变成零向量的向量组成的集合，称为的核，记为第六十四页，共八十四页，2022年，8月28日2、线性变换的像与核的有关结论设V是数域P上的维线性空间，是V的线性变换。（1）与都是V的子空间；（2）取V的一组基，则（4）（3）若在基下的矩阵为A，则且是齐次线性方程组的解空间。3、线性变换的像与核的求法设V是数域P上的维线性空间，是V的线性变换。求与常采用如下两种方法：第六十五页，共八十四页，2022年，8月28日方法1取V的一组基，由于所以只要求得基像组，再求其秩与一个极大线性无关组，即得的维数和基；设根据来确定的维数与基。方法2求在基下的矩阵A，则A的秩就等于的维数，且由于在基下的坐标恰为A的第个列向量，利用同构知，A的列向量组的极大线性无关组对应的极大线性无关组，从而确定的基。又设，则有知，在基下的坐标恰为齐次线性方程组的解向量，从而的维数等于，且的基础解系就是在基下的坐标。第六十六页，共八十四页，2022年，8月28日例1、设是4维线性空间V的一组基，已知线性变换在这组基下的矩阵为（1）求在基下的矩阵B；（2）求的像与核；（3）若线性变换，有，问是否为可逆线性变换？为什么？解（1）由已知条件得第六十七页，共八十四页，2022年，8月28日其中所以（2）因为但下面求A的列向量组的一个极大线性无关组，令其中为A的列向量。由于第六十八页，共八十四页，2022年，8月28日所以为的一个极大线性无关组，且，故，且其中为像空间的一组基。第六十九页，共八十四页，2022年，8月28日求解齐次线性方程组，得基础解系令则为的一组基，且（3）设则由知，只有零解，从而C可逆。故为可逆线性变换。例2、设W是维线性空间V的子空间，是V上的线性变换，。证明：证设，并取它的一组基。再扩充为W的一组基，即第七十页，共八十四页，2022年，8月28日因为，所以而故下证线性无关。令则有可见但所以有第七十一页，共八十四页，2022年，8月28日由线性无关知因为所以于是例3、设是线性空间V中线性变换，若证明：与有相同的像空间的充分必要条件是证必要性已知，则对有所以存在使，于是由的任意性得。类似可证第七十二页，共八十四页，2022年，8月28日充分性已知，则对，有，此即。类似可证故五、求线性变换的本征值与本征向量1、线性变换的本征值与本征向量设是数域P上线性空间V的一个线性变换，如果存在P中的一个数和V中非零向量，使得则称为的一个本征值，而称为属于本征值的一个本征向量。2、求有限维线性空间上线性变换的本征值与本征向量第一步取V的一组基，求在该组基下的矩阵A；第七十三页，共八十四页，2022年，8月28日第二步求矩阵A在数域P中的特征值与相应的特征向量第三步A的特征值就是的本征值，而对应本征值的本征向量为3、本征子空间由属于本征值的全部本征向量，再添上零向量组成的集合构成V的子空间，称为的一个本征子空间。的本征子空间的维数等于属于本征值的线性无关本征向量的最大个数。第七十四页，共八十四页，2022年，8月28日例1、设V是数域P上的线性空间，是V的线性变换，且满足，证明：（1）的本征值为1和0；（2）的本征子空间且证（1）设是的本征值，是对应的本征向量，即因为，所以由知，即或（2）对有，于是，即反之，对，存在使于是所以即故第七十五页，共八十四页，2022年，8月28日又有若，则且于是这表明又对，有其中且即故第七十六页，共八十四页，2022年，8月28日例2、设是数域P上二次多项式，在P内有互异的根，是P上线性空间V上一个线性变换，（为单位变换），且满足。证明与是的本