直线与圆方程的应用举例

直线与圆方程的应用举例第一页，共十一页，2022年，8月28日创设情境兴趣导入我们知道，平面内直线与圆的位置关系有三种（如图）：（1）相离：无交点；（2）相切：仅有一个交点；（3）相交：有两个交点．第二页，共十一页，2022年，8月28日创设情境兴趣导入直线与圆的位置关系，可以由圆心到直线的距离d与半径r的关系来判别（如图）：

（1）：直线与圆相离；

（2）：直线与圆相切；

（3）：直线与圆相交．

第三页，共十一页，2022年，8月28日创设情境兴趣导入设圆的标准方程为

则圆心C(a，b)到直线的距离为

比较d与r的大小，就可以判断直线与圆的位置关系．

第四页，共十一页，2022年，8月28日问题Ⅰ:一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70km处，受影响的范围是半径长为30km的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？轮船港口台风70km40km第五页，共十一页，2022年，8月28日思考1:解决这个问题的本质是什么？思考2:你有什么办法判断轮船航线是否经过台风圆域？思考3:如何建立直角坐标系最有利于解题？根据所建的坐标系轮船航线所在直线方程；台风圆域边界所在圆的方程分别是什么？思考4:直线的位置关系如何？对问题Ⅰ应作怎样的回答？轮船港口台风70km40km第六页，共十一页，2022年，8月28日轮船港口台风xyoAB如图所示以台风中心为原点，轮船所在的方向为X轴的正方向，取10km为长度单位，建立直角坐标系。则解：台风所在圆的方程为：x2＋y2＝9轮船所在的直线AB方程为：4x＋7y－28＝0圆心（0，0）到直线4x＋7y－28＝0的距离为r=3d>r所以这艘轮船不改变航线，不会受到台风的影响。第七页，共十一页，2022年，8月28日第二步：通过代数运算，解决代数问题；用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．第八页，共十一页，2022年，8月28日方法总结：解决实际问题的数学思想方法实际问题建立函数模型实际结果数学结果分析抽象转化反演数学方法解答第九页，共十一页，2022年，8月28日问题Ⅱ:某施工单位砌圆拱时，需要制作如图所示的木模．设圆拱高为1m，跨度为6m，中间需要等距离的安装5根支撑柱子，求E点的柱子长度（精确到0.1m）．

思考1:你能用几何法求支柱EP的高度吗？思考2:如图所示建立直角坐标系，那么求支柱EP的高度，化归为求一个什么问题？思考3:取1m为长度单位，如何求圆拱所在圆的方程？思考4:利用这个圆的方程可求得点P的纵坐标是多少？问题Ⅱ的答案如何？GBCEFOPxyDO’第十页，共十一页，2022年，8月28日A解：

以点D为坐标原点，过AG的直线为x轴，建立直角坐标系，则点E的坐标为（1，0）,圆心O’在y轴．

即

解得

所以圆心为（0，−4），圆的方程为

将x＝1代入方程（取正值）得

答

E点的柱子长度约为0.9m．

设半径为