直线与圆和圆的切线的判定性质和画法

直线与圆和圆的切线的判定性质和画法第一页，共四十六页，2022年，8月28日2、“大漠孤烟直，长河落日圆”是唐朝诗人王维的诗句，它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象。如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线,那你能根据直线与圆的公共点的个数想象一下，直线和圆的位置关系有几种？（1）d<r点在圆内（2）d=r点在圆上（3）d>r点在圆外第二页，共四十六页，2022年，8月28日观察⊙0与直线L的运动l......第三页，共四十六页，2022年，8月28日..观察⊙0与直线L的运动.l第四页，共四十六页，2022年，8月28日1、直线与圆相离、相切、相交的定义。直线和圆的位置关系是用直线和圆的公共点的个数来定义的，即直线与圆没有公共点、只有一个公共点、有两个公共点时分别叫做直线和圆相离、相切、相交。相离相交相切切点切线割线交点交点第五页，共四十六页，2022年，8月28日思考直线与圆有第四种关系吗？即直线与圆是否有第三个交点？第六页，共四十六页，2022年，8月28日小问题：能否根据基本概念来判断直线与圆的位置关系？直线与圆的公共点的个数第七页，共四十六页，2022年，8月28日是是非非１、直线与圆最多有两个公共点。…（）

√第八页，共四十六页，2022年，8月28日.O是是非非×.C２、若C为⊙O上的一点，则过点C的直线与⊙O相切。…………()第九页，共四十六页，2022年，8月28日是是非非3、若A、B是⊙O外两点，则直线AB

与⊙O相离。……………()×.A1.B1.O.A.B.B2.A2第十页，共四十六页，2022年，8月28日是是非非√.C4、若C为⊙O内一点，则过点C的直线与⊙O相交。（）.O第十一页，共四十六页，2022年，8月28日小问题：能否根据基本概念来判断直线与圆的位置关系？直线与圆的公共点的个数新的问题：是否还有其它的方法来判断直线与圆的位置关系？第十二页，共四十六页，2022年，8月28日ddd.O.O.Orrr相离相切相交1、直线与圆相离=>d>r2、直线与圆相切=>d=r3、直线与圆相交=>d<r<<<看一看想一想当直线与圆相离、相切、相交时，d与r有何关系？lll.A.B.C.D.E.F.NH.Q.d表示圆心O到直线l的距离，r表示⊙O的半径第十三页，共四十六页，2022年，8月28日直线与圆的位置关系当d>r，当d=r，当d<r，d表示圆心O到直线l的距离，r表示⊙O的半径那么直线l与⊙O相离那么直线l与⊙O相切那么直线l与⊙O相交第十四页，共四十六页，2022年，8月28日填空：1、已知⊙O的半径为5cm，O到直线a的距离为3cm，则⊙O与直线a的位置关系是_____。直线a与⊙O的公共点个数是____。2、已知⊙O的半径是4cm，O到直线a的距离是4cm，则⊙O与直线a的位置关系是____。动动脑筋相交相切两个第十五页，共四十六页，2022年，8月28日3、已知⊙O的半径为6cm，O到直线a的距离为7cm，则直线a与⊙O的公共点个数是____。4、已知⊙O的直径是6cm，O到直线a的距离是4cm，则⊙O与直线a的位置关系是____。零相离第十六页，共四十六页，2022年，8月28日直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系

相交

相切

相离图形

公共点个数

公共点名称

直线名称圆心到直线距离d与半径r的关系2个交点割线1个切点切线d<rd=rd>r没有第十七页，共四十六页，2022年，8月28日练习：1、设⊙O的半径为4，点O到直线a的距离为d，若⊙O与直线a至多只有一个公共点，则d为…（）A、d≤4B、d＜4C、d≥4D、d＝42、设⊙p的半径为4cm，直线l上一点A到圆心的距离为4cm，则直线l与⊙O的位置关系是……………（）A、相交B、相切C、相离D、相切或相交CD第十八页，共四十六页，2022年，8月28日思考：圆心A到X轴、Y轴的距离各是多少?题1：.AOXY已知⊙A的直径为6，点A的坐标为（-3，-4），则⊙A与X轴的位置关系是_____,⊙A与Y轴的位置关系是______。BC43相离相切第十九页，共四十六页，2022年，8月28日例2、在RtABC中，∠C=90°，AC=3cm,BC=4cm,

圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？则以C为(1）r=2cm,(2)r=2.4cm(3)r=3cmCAB34分析：D

3、故应求什么？怎么做？须比较点C到直线AB的距离与半径r的大小2、要判断圆与AB的位置关系须比较什么？C到直线AB的距离4、要求CD,应考虑用什么方法？等面积法或射影定理1、什么叫点到直线的距离？点到直线的垂线段的长度第二十页，共四十六页，2022年，8月28日圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？例2、在RtABC中，∠C=90°，AC=3cm,BC=4cm,

则以C为(1）r=2cm,(2)r=2.4cm(3)r=3cmCAB34D∵∠C=90°，AC=3cm,BC=4cm,

解：过C点作CD⊥AB,垂足为D∴AB=5∵SABC=AC×BC=AB×CD∴3×4=5×CD∴CD==2.4即d（1）当r=2cm时,d>r∴圆与AB相离（3）当r=3cm时,d<r∴圆与AB相交（2）当r=2.4cm时,d=r∴圆与AB相切第二十一页，共四十六页，2022年，8月28日讨论：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径作圆。1、当r满足________________时，⊙C与直线AB相离。2、当r满足____________时，⊙C与直线AB相切。3、当r满足____________时，⊙C与直线AB相交。BCAD45d=2.4cm30cm<r＜2.4cmr=2.4cmr＞2.4cm第二十二页，共四十六页，2022年，8月28日

如图：已知∠AOB=30°，M为OB上一点，且OM=5cm，以M为圆心，以r为半径的圆与直线OA有怎样的位置关系？为什么？（1）r=2cm;(2)r=4cm;(3)r=2.5cm.解：过点M作MN⊥OA于点N∵在Rt△OMN中，∠AOB=30°,OM=5cm.∴MN=2.5CM即圆心M到直线OA的距离d=2.5cm（1）当r=2cm时，∵d>r，∴⊙M与直线OA相离。（2）当r=4cm时，∵d<r，∴⊙M与直线OA相交。（3）当r=2.5cm时，∵d=r，∴⊙M与直线OA相切。大家动手,做一做2.5cm第二十三页，共四十六页，2022年，8月28日在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径作圆。想一想?

当r满足________________________时,⊙C与线段AB只有一个公共点.

r=2.4cmBCAD453d=2.4cm或3cm<r≤4cm第二十四页，共四十六页，2022年，8月28日如图：菱形ABCD的边长为5cm，∠B=60°当以A为圆心的圆与BC相切时，半径是

，此时⊙A与CD的位置关系是

。思考题：第二十五页，共四十六页，2022年，8月28日2、识别直线与圆的位置关系的方法：（1）一种是根据定义进行识别：

直线L与⊙o没有公共点直线L与⊙o相离。直线L与⊙o只有一个公共点直线L与⊙o相切。直线L与⊙o有两个公共点直线L与⊙o相交。

（2）另一种是根据圆心到直线的距离d与圆半径r数量比较来进行识别：

d>r直线L与⊙o相离；

d=r直线L与⊙o相切；

d<r直线L与⊙o相交。1、直线与圆的位置关系3种：相离、相切和相交。第二十六页，共四十六页，2022年，8月28日圆的切线的判定、性质和画法第二十七页，共四十六页，2022年，8月28日如图，直线l是圆O的切线，切点为A，圆O的半径为r.⑴圆心O到切线l的垂线段的长度等于什么?圆心O到切线l的垂线段的长度是圆心O到切线l的距离d,从而它等于半径r.·OAl第二十八页，共四十六页，2022年，8月28日⑵由于圆心O到切线l垂线段的长度等于半径OA的长度，且点A在切线l上，因此圆心O到切线l的垂线段就是________.切线的性质定理圆的切线垂直于过点的半径.从第⑵点的结论得出：半径·OAl第二十九页，共四十六页，2022年，8月28日

如图,直线l是圆O的切线,切点为A,∠OBA=40°,求∠AOB.·OABl解:由于线段OA是过切点的半径,因此OA⊥l,从而∠OAB=90°,于是∠AOB=90°－40°=50°40°第三十页，共四十六页，2022年，8月28日因此l1_____________l2.()·Ol1l2BA求证:经过直径两端点的切线互相平行.已知:如图,AB是圆O的直径,l1

分别是经过点A,B的切线.求证:__________.∵OA是圆O的半径,l是过点A的切线,∴l1_______OA.(）同理l2_________OB从而l1_______AB,且l2_______AB.l1∥l2证明:⊥⊥⊥⊥∥切线判定定理

垂直同一条直线的两条直线平行第三十一页，共四十六页，2022年，8月28日直线l就是所求作的切线,如图·O·Al过圆O上一点A画圆O的切线.过圆O上一点A的切线l与半径OA有什么关系?据切线的性质定理,l⊥OA,由此受到启发,过点A作一条直线l与OA垂直,据切线的判定定理,L就是圆O的切线.作法:⑴连结OA;⑵过点A作直线l与OA垂直.分析:第三十二页，共四十六页，2022年，8月28日大圆的弦AB所在直线是小圆的切线,切点为C,···ABO练习求证:C是线段AB的中点.1.如图,这是手表的圆形表盘,两个圆的圆心都是O,C∴C为AB的中点证明:两个同心圆.连接OA,OB∴△OAB为等腰三角形OA=OBC为切点,OC⊥AB即OC为△ABO的高,∴OC为△ABO的中线第三十三页，共四十六页，2022年，8月28日2.证明:圆心到圆的割线的距离小于半径．第三十四页，共四十六页，2022年，8月28日3.画一个圆O,在圆O上任取一点A,过点A画圆O的切线.直线l就是所求作的切线,如图·O·Al作法:⑴连结OA;⑵过点A作直线l与OA垂直.第三十五页，共四十六页，2022年，8月28日直线和圆的位置关系有几种？

知识回顾⑴相离；⑵相切；⑶相交；d<rd=rd>r用数量关系如何来判断？．Ｏl┐dr．Ｏl┐dr．Ｏl┐dr第三十六页，共四十六页，2022年，8月28日

观察与思考问题1：下雨天，转动的雨伞上的水滴是顺着伞的什么方向飞出去的?问题2：砂轮转动时，火花是沿着砂轮的什么方向飞出去的?第三十七页，共四十六页，2022年，8月28日

动手做一做●O画一个圆O及半径OA，画一条直线l经过⊙O的半径OA的外端点A，且垂直于这条半径OA，这条直线与圆有几个交点？

┐Al直线l一定是圆O的切线吗？由此，你知道如何画圆的切线吗？思考：第三十八页，共四十六页，2022年，8月28日1、定义：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

条件：(1)经过圆上的一点；如果直线l是⊙O的切线，点A为切点，那么半径OA与l垂直吗？

一、圆的切线：∵直线l是⊙O的切线

知识归纳(2)垂直于该点半径；●O┐Al思考：●OAl2、性质：圆的切线垂直于经过切点的半径。

∴圆心O到直线l的距离等于半径∴OA是圆心O到直线l的距离∴l⊥OA∵l⊥OA，且l经过⊙O上的A点∴直线l是⊙O的切线第三十九页，共四十六页，2022年，8月28日例1、如右图所示，已知直线AB经过⊙O上的点A，且AB＝OA，∠OBA＝45°，直线AB是⊙O的切线吗？为什么？解：直线AB是⊙O的切线。理由如下：在圆O中，又∵∠OAB＋∠OBA＋∠AOB＝180°

例题欣赏∵因为AB＝OA，∠OBA＝45°(已知)∴∠AOB＝∠OBA＝45°(等边对等角)∴∠OAB＝180°－∠OBA－∠AOB＝90°∴直线AB⊥OA又∵直线AB经过⊙O上的A点∴直线AB是⊙O的切线ABO●第四十页，共四十六页，2022年，8月28日

练一练1、判断题：2、以三角形的一边为直径的圆恰好与另一边相切，则此三角形是__________三角形直角×(1)垂直于圆的半径的直线一定是这个圆的切线。（）(2)过圆的半径的外端的直线一定是这个圆的切线。（）×第四十一页，共四十六页，2022年，8月28日

练一练3、如图，AB是⊙O的直径，∠B＝45°，AC＝AB。

AC是⊙O的切线吗？为什么？解：AC是⊙O的切线。理由如下：又∵∠BAC＋∠B＋∠C＝180°∵AC＝AB，

∠B＝45°(已知)∴直线AC⊥AB又∵直线AC经过⊙O上的A点∴直线AC是⊙O的切线∴∠C＝∠B＝45°(等边对等角)∴∠BAC＝180°－∠B