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文档简介

用配方法化二次型成标准形第一页，共十三页，2022年，8月28日一、拉格朗日配方法的具体步骤用正交变换化二次型为标准形，其特点是保持几何形状不变．

问题有没有其它方法，也可以把二次型化为标准形？问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有效的方法——拉格朗日配方法．第二页，共十三页，2022年，8月28日

1.

若二次型含有的平方项，则先把含有的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形;拉格朗日配方法的步骤

2.

若二次型中不含有平方项，但是则先作可逆线性变换化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方法配方.第三页，共十三页，2022年，8月28日解例1含有平方项去掉配方后多出来的项第四页，共十三页，2022年，8月28日第五页，共十三页，2022年，8月28日所用变换矩阵为第六页，共十三页，2022年，8月28日解例2由于所给二次型中无平方项，所以第七页，共十三页，2022年，8月28日再配方，得第八页，共十三页，2022年，8月28日所用变换矩阵为第九页，共十三页，2022年，8月28日二、小结将一个二次型化为标准形，可以用正交变换法，也可以用拉格朗日配方法，或者其它方法，这取决于问题的要求．如果要求找出一个正交矩阵，无疑应使用正交变换法；如果只需要找出一个可逆的线性变换，那么各种方法都可以使用．正交变换法的好处是有固定的步骤，可以按部就班一步一步地求解，但计算量通常较大；如果二次型中变量个数较少，使用拉格朗日配方法反而比较简单．需要注意的是，使用不同的方法，所得到的标准形可能不相同，但标准形中含有的项数必定相同，项数等于所给二次型的秩．第十页，共十三页，2022年，8月28日思考题第十一页，共十三页，2022年，8月28日思考题解

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