备战2022年高考数学二轮复习培优专题 第08讲 导数及其应用

第八讲导数及其应用A组一、选择题1．已知定义在上的函数，是的导函数，若，且，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集是（）A．B．C．D．答案C解析：设，则，∵，∴，∴，∴在定义域上单调递增，∵，∴，又∵，∴，∴，∴不等式的解集为故选：C.2．设函数，其中，若仅有一个整数，使得，则的取值范围是（）A．B．C．D．答案D.解析：，由题意得，的单调性为先递减后递增，故，即在上单调递减，在上单调递增，又∵，，∴只需，即实数的取值范围是，故选D.3．（2017年高考全国3卷文）已知函数有唯一零点，则a=A.B.C.D.1【答案】C【解析】函数的零点满足，设，则，当时，；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，当时，函数取得最小值，为.设，当时，函数取得最小值，为，若，函数与函数没有交点；若，当时，函数和有一个交点，即，解得.故选C.4.曲线在点处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为（）A．B．C．D．答案A解析:因,故切线的斜率,切线方程，令得；令得，故围成的三角形的面积为，应选A。5.曲线在点处的切线方程是（）A．B．C．D．答案A解析：，，，曲线在点处的切线方程是，故选A.二、填空题6．已知函数的导函数的图象关于原点对称，则。答案解析：依题意关于原点对称，时为奇函数，符合题意。7．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是______．答案解析：，由题意在上有两个根，设，若，则在为增函数，最多只能有一解，不合题意，故，当或者时，，，当时，，时，，因此，由题意，所以．三、解答题8．已知函数其中.（1）当时，求在点处的切线方程；（2）求的单调区间；（3）当时，判断函数零点的个数.（只需写出结论）.解析：（1）当时，，，，所以切线方程为.（2）的定义域：，，令，，当时，令，得，令，得，的增区间为，的减区间为.当时，恒成立，在上单调递增，当时，，或；，，所以的增区间为，，的减区间为.当时，，或，，，所以的增区间为，，的减区间为.（3）当时，零点的个数为.9．设函数（其中为自然对数的底数，且），曲线在点处的切线方程为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若对任意，与有且只有两个交点，求的取值范围．解析：（Ⅰ）由，得，由题意得，∵，∴；（Ⅱ）令，则任意，与有且只有两个交点，等价于函数在有且只有两个零点，由，得，①当时，由得，由得，此时在上单调递减，在上单调递增，∵，，（或当时，亦可），∴要使得在上有且只有两个零点，则只需，即，②当时，由得或，由得，此时在上单调递减，在和上单调递增．此时，∴此时在至多只有一个零点，不合题意，③当时，由得或，由得，此时在和上单调递增，在上单调递减，且，∴在至多只有一个零点，不合题意，综上所述，的取值范围为．10．已知，函数，.（1）求的极小值；（2）若在上为单调增函数，求的取值范围；（3）设，若在（是自然对数的底数）上至少存在一个，使得成立，求的取值范围.解析：（1）由题意，，，所以时，；当时，.所以在上是减函数，在上是增函数，故.（2）因为，所以，由于在内为单调递增函数，所以在上恒成立，即在上恒成立，故，所以的取值范围是.（3）构造函数，当时，由得，，所以在上不存在一个，使得.当时，.因为，所以，，所以在上恒成立，故在上单调递增，，所以要在上存在一个，使得，必须且只需，解得，故的取值范围是.另外：（3）当时，，当时，由，得.令，则，所以在上递减，.综上，要在上存在一个，使得，必须且只需.11．对于函数的定义域为，如果存在区间，同时满足下列条件：①在上是单调函数；②当的定义域为时，值域也是，则称区间是函数的“区间”．对于函数．（1）若，求函数在处的切线方程；（2）若函数存在“区间”，求的取值范围．解析：（1）时，，则，∴函数在处的切线方程为，即．（2），列表如下：0减增极大值减设函数存在“区间”是（i）当时，由上表可知，两式相减得，即，所以，代入，得，欲使此关于的方程组在时有解，需使与的图象有两个交点，在是减函数，在是增函数，且，所以此时满足存在“区间”的的取值范围是．（ii）当时，由上表可知，，即，设，当时，，为增函数，当时，，为减函数，欲使此关于的方程有两解，需使与在有两个交点，所以有，解得．所以此时满足存在“区间”的的取值范围是．（iii）当时，由上表可知，，两式相减得，，此式不可能成立，所以此时不存在“区间”．综上所述，函数存在“区间”的的取值范围是．B组选择题1．已知等比数列的前项的和为，则的极大值为（）A．2B．3C．D．答案D解析：因,即,故题设,所以,由于,因此当时,单调递增；当时,单调递减,所以函数在处取极大值,应选D.2．设函数是函数的导函数，，则使得成立的的取值范围是（）A．B．C．D．答案A解析：令，由得，所以在定义域上递增，即是，可得，使得成立的的取值范围是，故选A。3．定义在上的可导函数，当时，恒成立，则的大小关系为（）A．B．C．D．答案A解析：构造函数，当时，，即函数单调递增，则,同理,由,可知.故本题选A．4．己知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为（）A．B．C．D．答案D解析：因为函数满足为偶函数且，所以且，令，则在上恒成立，即函数在上单调递减，又因为，所以由，得，即不等式的解集为；故选D．二、填空题5．若直线是曲线的一条切线，则______．答案解析：，设切点为，则将①代入②得，即，或，（舍去）或．6．已知函数若与的图象上分别存在点使得关于直线对称，则实数的取值范围是．答案解析：设,由题意,即在上有意义,即在上有意义,令,求导,当时,,则,即.三、解答题7．已知函数。（1）曲线在处的切线与直线垂直，求的值；（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值。解析：（1）切线的斜率∴，∴。（2）由题意，设①当时，因为，所以，所以在上是单调递增函数，所以关于的不等式不能恒成立，②当时，令，因为，得，所以当时，，当时，，因此函数在是增函数，在是减函数，故函数的最大值为令，因为在上是减函数，又因为，，所以当时，。所以整数的最小值为2。8．已知函数，直线为曲线的切线（为自然对数的底数）．（1）求实数的值；（2）用表示中的最小值，设函数，若函数为增函数，求实数的取值范围．解析：（1）对求导得．设直线与曲线切于点，则，解得，所以的值为1.（2）记函数，下面考察函数的符号，对函数求导得当时，恒成立当时，，从而∴在上恒成立，故在上单调递减．，∴，又曲线在上连续不间断，所以由函数的零点存在性定理及其单调性知唯一的，使．∴；，，∴，从而，∴，由函数为增函数，且曲线在上连续不断知在，上恒成立．①当时，在上恒成立，即在上恒成立，记，则，当变化时，变化情况列表如下：30极小值∴，故“在上恒成立”只需，即．②当时，，当时，在上恒成立，综合①②知，当时，函数为增函数．故实数的取值范围是9．已知函数为常数）的图象在处的切线方程为.（1）判断函数的单调性；（2）已知,且,若对任意,任意与中恰有一个恒成立,求实数的取值范围.解析:（1）由的定义域为,可得,由条件可得,把代入可得,,,在上递减.（2）由（1）可知,在上单调递减,在上的最小值为,最大值为,只需或,即对恒成立，或对恒成立,令,则,令可得.而恒成立,当时,单调递减；当时,单调递增.最大值为,而,显然,在上最大值为.又或,即或,实数的取值范围是.10．已知函数．（1）若曲线在点处的切线方程为，求的值；（2）设函数，其中b为实常数，试讨论函数的零点个数，并证明你的结论．解析：（1），因为切线过原点，所以，解得：（2），等价于，注意令，所以（i）当所以H（x）无零点，即F定义域内无零点。（ii）当，当x<0时，因为上单调递增，而又又因为，其中，取，所以，由此由零点存在定理知，在上存在唯一零点（2）当时，单调递减；当时，单调递增。所以当时，H（x）有极小值也是最小值，。（1）当（2）当（3）当而又因为令，其中所以，从而，，故综上所述：C组选择题1．已知函数，设两曲线有公共点，且在该点处的切线相同，则时，实数的最大值是（）A．B．C．D．答案D解析：设切点为，则由切点处的斜率相同且切线相同得，……①，……②。因为，所以由①得,并将其代入②得，．设,利用导数法求得函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以,则．选D．2．已知直线是曲线：与曲线：的一条公切线，若直线与曲线的切点为，则点的横坐标满足（）A．B．C．D．答案D解析：记直线与曲线的切点为因为,则直线的方程为,又直线的方程为,从而且,消去得,即,设,则,令解得,则函数在上递增，又，无零点，得在上单调递减，可得，所以，故选D.3．已知函数,若,且对任意的恒成立,则的最大值为（）A．B．C．D．答案B解析：由题设可得,令,则.令.则函数的零点就是函数的极值点.设并记极值点为,则,由于,故,而且不难验证当时,,单调递减；当时,,单调递增,所以,因此,由于且,所以,故应选B.4．已知函数，，若对恒成立（其中是自然对数的底数），则的取值范围是（）A.B．（-1,0）C．D．答案A解析：当时,,故函数在上单调递减；当时,,故当时,,函数在上单调递增；当时,,函数在上单调递减.故在上函数取最大值.而当时，设,可得，故不等式可化为,即不等式在恒成立，令，也即不等式在上恒成立。当对称轴时,只需，即时不等式恒成立;当时，只需，但这不可能；当时，则只需，这也不可能.所以综上实数的取值范围是,应选A。二、填空题5．已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是_____.答案.解析：当时，，则函数的导数且恒成立，由解得即，此时函数单调递增，由解得即，此时函数单调递减，若在区间上单调递增，则解得，即当时，在区间上单调递增，满足条件．当时，在上单调递增，令，则则在为减函数，在上为增函数则，解得.综上，实数的取值范围是，故答案为：.6．已知函数在上是增函数，函数，当时，函数的最大值与最小值的差为，则．答案解析：因为函数在上是增函数，所以在上恒成立，即，即；因为，若，即时，在单调递减，则（舍），当，即时，函数在上递减，在上递增，且，所以，即，解得；故填．三、解答题7．设函数．（1）讨论函数在定义域上的单调性；（2）若对任意的，总有，求的取值范围．解析：（1）函数的定义域为．令，则．①当时，，所以，从而；②当时，因为，所以，所以；=3\*GB3③当时，，方程有两个不相等的实数根（不妨设）．因为，所以，所以当时，，从而；当或时，，从而．综上可知，当时，函数在定义域上单调递增；当时，函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减，其中．（2），即．在区间上，．令，则．令，则，所以函数在区间上单调递减．因为，所以存在唯一的，使得，且时，，即；当时，，即．所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此在上，．因为，所以，即．故当时，．因此．故实数的取值范围是．8．已知函数（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）求证：，不等式恒成立．解析：（Ⅰ）的定义域为，若，在上单调递增②若，当时，，在单调递减，当时，，在单调递增．（Ⅱ）等价于令，则由（Ⅰ）知，当时，，即.所以，则在上单调递增，所以即有时，9．已知函数．（1）求函数在点处的切线方程；（2）求函数的单调区间；（3）若存在，使得（是自然对数的底数），求实数的取值范围．解析：（1）因为函数，所以，又因为，所以函数在点处的切线方程为．（2）由（1），，因为当时，总有在上是增函数．又，所以不等式的解集为，故函数的单调增区间为，递减区间为．（3）因为存在，使得成立，而当时，，所以只要即可又因为的变化情况如下表所示：00减函数极小值增函数所以在上是减函数，在上是增函数，所以当时，的最小值．的最大值为和中的最大值．因为，令，因为，所以在上是增函数，而，故当时，，即；当时，，即．所以，当时，，即，函数在上是增函数，解得；当时，，即，函数在上是减函数，解得．综上可知，所求的取值范围为．10．设函数（1）若函数是定义域上的单调函数，求实数的取值范围；（2）若，试比较当时，与的大小；（3）证明：对任意的正整数，不等式成立．解析：（1）∵又函数在定义域上是单调函数．∴或在上恒成立若在上恒成立，即函数是定义域上的单调地增函数，则