对200考9年高考数学上海卷理科第22题的深入研究试

-1-1-12-1-1-1-1-1-1-1-1-1-12-1-1-1-1-1-1-1对2009年高考数上海卷理科第22题的深入研究卫福山（上海市松江二中）年高考数学上海卷理科第题如下：已知函数y=f是y=f(x)的函数。定义：若对给定的实数a(≠0)，函数y=f(x+a)互反函数，则称y=f(x)满足a和质。若函数y=f(ax)互为反函数，则称y=f(x)满足a性质。（1判断函数+1(x0)是否满足1和性，并说明理由；（2求所有满“和质的一次函数；（3设函数y=f(x)(＞)对任何＞满足积”求y=f(x)的表达式。这道题目的得分率很低，特别是第）问的得分率低于，是一道难度偏大的题。但从数学研究的角度笔者对这题进行了较深入的研究得还是有一定的价值的中学数学教师的教学有一定的启示。一、对题目的理解本题算是一道概念学习型问题函数的概念引发而来的中而言并不陌生，但反函数是学生学习中的难点。学生解答本题时暴露出的问题是对题目的理解不深、不透。．关于题设的理解（1从代数角度，由于y=f的函数为，故函数y=f(x+a)(x+a)为反函数即满足f(x+a)=f(x)-a。同理，函数y=f(ax)与(ax)函数则f(ax)

1a

f(x)

。（2从几何角度，不妨假定a＞，于函数的象是由函数y=f(x)图象向左平行移动a个单位得到的，函数(x+a)图象是由函数y=f(x)图象向左平行移动个单位得到的函数y=f(x+a)y=f的象关于直线对称y=f(ax)与的图象关于直线y=ax称。．关于问题的理解试题的第）问和第2）问是让考生研究满“和质的殊函数，这里起点很低，一个是给定一个具体函数考按照定义去验证个是让考生利用待定系数法求出一类满足“和质的数（即一次函数3问要求很高，让考生探求满“积性质的函数表达式,里要深刻理解给定与任”的差异对给定的实数a≠)，则为（常）参数；对任何a＞，则a视（变）参数，因此第）和第（3问对参数的求不同。二、对问题的深入思考关于第）问，给出前提一函数，解决起来问题不大。但是反问一下：满“2和性质的数是否一定是一次函呢？或者更一般地和性的函数是否一定是一次函数呢？这里题目中给”两字尤为重要事上对定的实数a(a≠)函不一定是一次函数，如满1和质的数可以f(x)=-x+b(∈)f(x)=[-x]等满“和质的函数可以是f(x)=-x+b(b∈R)

32

x

(c∈等，即满足a和性质的函数不一定是一次函数。如果对任何实数数f(x)满性质果如何呢？笔者经过研究发现结果是肯

**********定的，有如下的命题。命题：设y=f(x),xR是等函数，且对任何实数≠有f(x+a)=f(x)-a，（b为何实数证法：令f(x+1)-f(x)=-1当x∈N时，：f(2)-f(1)=-1,f(3)-f(2)=-1,……f(n)-f(n-1)=-1,相加得。因此，当x∈N

时，有f(x)=-x+f(1)+1令

1n

∈N)则有fx(x)n

，于是：相加得

f(1)f

11，即f()f(1)

。同样，

f(

mm)(1)nn

（n∈N,m∈N于是对任何正有理数x，+1用-x代x有，样得对任何负有理数x，f(x)=-x+f(1)。于是对任何有理数x，有。对任何x∈R利用实数的稠密性，存在一串有理{}使得n利用初等函数的连续性，有

limnn

f(lim)f)ffnnnnnn

。又由已知条件f(1)的值无法确定，是（常）参数，令f(1)+1=b(b∈R)，得f(x)=-x+b。证法：令f(1+a)=f(1)-a由于a为何实数，令1+a=x则，于是有。令∈，得。证法：由于方程对何∈,x成，不妨先将x看作参数，看是变量，于是f(x+a)=-(x+a)+f(x)+x，且此时成是参数。记f(x)+x=b(b，即，再用x代有f(x)=-x+b(b)【评注】对任何实a，则视a为参数，这就是证法中以令a=1,a=中令，x∈R的原因。证法是辨证看待变元、x，解题简单。关于第（）问，有了第（）的深入理解就很简单了。简解如

12

以及证法2解由函数y=f(x)(＞0)对任何a0足积”即

f)

1a

fx)

，视x参

-1-1-1-1-1-1-1a-1-1-1-1-1-1-1a数，为变量，将方程改写成

f()

x)ax

，这里＞＞，然

f(

，否则与f(x)存反函数矛盾x为参数令xf(x)=kx代ax

kfx

。三、对试题编制的想法笔者认为这样一道高考试题的想法很好反数的概念与函数图象的平移缩换结合起来又及到最基本又最要的加法法运算而进一步的研究又发现本题涉及含参数的问题中参数与变量的辩证看待。学生在学习反函数时，常常不能正确区分记号f与“f”实f(x)存反函数f(a)=ba=f(b)的函数是(x)-a的反函数是

y

1a

f)

从中我们或许能感受反函数反函数与f互反函数出发编制与及f均关的试题在时的解题中也会遇到足f(x)=f(x)（即自反函数的数表达式，样的函数很多，比如y=x

y

1x，y……xx结合自己对问题的深入思考，笔者有以下的一些想法。（1对给定的实数a，满“a和性”的函数不一定是一次函数，如前面的反例，但如果结合高等数学有关连续的知识后，若要求函数是连续函数时结果如何呢？即问题问题：函数x∈R是续函数且对给定的实数a(a≠)，有，则f(x)=-x+b（为任何实数）是否成立？对满足性”有全类似想法，即问题问题2：函数x＞0是连函数，且对给定的实数＞0)有

f()

1a

f(x)

，则

f(x)

kx

(0)

是否成立？（2）到本题解上的启发，我们也可以研究对给定的实数a(a≠)，数y=f(x+a)与(x-a)为反函数及函数y=f(ax)

yf

互为反函数的函数的相关性质，在此不一一写出，有兴趣的读者可以去尝试。一、职业生涯规划的意义、以既有的成就为基础，确立人生的方向，提供奋斗的策略。、突破生活的格线，塑造清新充实的自我。、准确评价个人特点和强项。、评估个人目标和现状的差距。、准确定位职业方向。6、重新认识自身的价值并使其增值。、发现新的职业机遇。8、增强职业竞争力。、将个人、事业与家庭联系起来。二、正确的心理认知、认清人生的价值社会的价值并不被所有的人等同接受“人云亦云”并不等于自我的人生价值人生价值包括：经济价值、权力价值、回馈价值、审美价值、理论价值、超越既有的得失每个人都很努力，但成就并不等同。后悔与抱怨对未来无济于事自我陶醉则像“龟兔赛跑”中的兔子。人如运动场上的竞技，当下难以断输赢。、以万变应万变任何的执着都是一种“阻滞”前途的行为想想“流水”的启示“学非所用”是真理三、剖析自我的现状

部健康情是有病痛？是否有不良的生活习惯？是否有影响健康的活动？生活是否正常？有没有养生之道？自我充实有长？经常阅读和收集资料吗？是否正在培养其他技能？休闲管理有固定的休闲活动？有助于身心和工作吗？是否有休闲计划？、事业部份财富所得：薪资多少？有储蓄吗？有动产、有价证券吗？有不动产吗？价值多少？有外快吗？社会阶层的位是什？还有升迁的机会吗？是否有升迁的准备呢？内外在的人际关系如何？自我实现：喜欢现在的工作吗？理由是什么？有完成人生理想的准备吗？、家庭部份生活品质家环境如何？有没计划换房子？家庭的布置和设备如何？有心灵或精神文化的生活吗？小孩夫妻父有习计划吗？家庭关系妻和谐吗？是否拥有共同的发展目标？是否有共同或个别的创业计划？父母子女与父母公婆与叔与岳家的关系如何？是否常与家人相处通游？家人健康有小孩吗？小孩多大？健康吗？需要托人照顾吗？配偶的健康如何？家里有老人吗？有需要你照顾的家人吗？四、人生发展的环境条件、友伴条件：朋友要多量化、多样化、且有能力。、生存条件：要有储蓄、发展基金、不动产。、配偶条件：个性要相投、社会态度要相同、要有共同的家庭目标。、行业条件：注意社会当前及未来需要的行业，注意市场占有率。、企业条件：要稳定，则在大中型企业；要创业，则在小企业。公司有改革计划吗公司需要什么人才？、地区条件：视行业和企业而定。、国家（社会）条件：注意政治、法律、经济（资源、品质与文化、教育等件，该社会的特性及潜在的市场条件。、世界条件：注意全球正在发展的行业，用“世界观”发展事业。五、人生成就的三大资源、人脉：家族关系、姻